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第01讲 平面向量基础知识一遍过
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：向量的有关概念 3
知识点2：向量的线性运算 3
知识点3：平面向量基本定理和性质 3
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 5
知识点5：平面向量的数量积 5
知识点6：数量积的运算律 6
知识点7：数量积的性质 6
知识点8：数量积的坐标运算 6
03 重难点题型 8
题型一：平面向量的线性加减运算 8
题型二：三点共线向量定理（鸡爪模型）综合应用 8
题型三：平面向量的数乘运算及性质应用 9
题型四：平面向量的数量积运算与化简 10
题型五：平面向量的模长与夹角求解问题 10
题型六：平面向量的投影与投影向量问题 10
题型七：平面向量的实际场景应用 11
题型八：利用平面向量求解、证明几何问题 12
04 过关检测 15
知识点1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
知识点3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
知识点5：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点6：数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点7：数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点8：数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
题型一：平面向量的线性加减运算
例1．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高一下·河北唐山·期中）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
例3．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，点分别为边的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：三点共线向量定理（鸡爪模型）综合应用
例4．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．9
例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
变式2．（25-26高一下·山东·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
变式4．（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
题型三：平面向量的数乘运算及性质应用
例7．（25-26高一下·上海·期中）若，，则_________.
例8．（25-26高一下·新疆喀什·期中）化简 ________________
例9．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知，不共线，，，（），若三点共线，则______.
变式5．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心）
变式6．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________．
题型四：平面向量的数量积运算与化简
例10．（25-26高一下·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________
例11．（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________．
例12．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在△ABC中，AB＝2，，，则______．
变式7．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________.
变式8．（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
题型五：平面向量的模长与夹角求解问题
例13．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．
例14．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.
例15．（25-26高一下·上海·期中）已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______.
变式9．（2024·陕西·一模）已知向量的夹角为，则__________.
变式10．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，的夹角为，且，则______．
题型六：平面向量的投影与投影向量问题
例16．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为________.
例17．（25-26高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________
例18．（25-26高一下·山东济南·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
变式11．（25-26高一下·重庆·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.
变式12．（25-26高一下·四川达州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.
变式13．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知，则向量在向量上的投影向量是__________.
变式14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，．设在上的投影向量为，则______．
题型七：平面向量的实际场景应用
例19．（25-26高一下·山东青岛·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________．
例20．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间____________．
例21．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A． B． C． D．
变式15．（22-23高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
变式16．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A． B． C． D．
题型八：利用平面向量求解、证明几何问题
例22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点．
(1)求证：；
(2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值．
例23．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）已知在中，为中点，，，．
(1)用和表示；
(2)若，求；
(3)设和的夹角为，若，求证：．
例24．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
变式17．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图，在菱形中，若，，，.
(1)若，，求 的值；
(2)求以及的值；
(3)若与交于点，求的值.
变式18．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若点在线段上运动，设，求的最大值.
变式19．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

(1)求的值；
(2)求证：．
1．（25-26高一下·广东汕头·期中）已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　）
A． B．4 C．7 D．2
2．（25-26高一下·上海·期中）定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ）
A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假
3．（25-26高一下·北京·期中）已知非零向量，满足，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
7．（2026·北京·二模）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（25-26高一下·山东聊城·期中）下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若与反向，则
D．若，则存在唯一的实数，使得
10．（多选题）（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则
D．若，向量在方向上的投影向量为
12．（25-26高一下·上海·期中）设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是______________.
13．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，，，，为外心，则_________.
14．（25-26高一下·上海·期中）已知，，，则在方向上的投影向量为_________.
15．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知向量，，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
16．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，在中，点满足，点满足，线段与线段交于点．
(1)用和表示；
(2)求的值．
17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，．设，.
(1)用，表示：
(2)求证：，，三点共线；
(3)若，，，求的余弦值．
18．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量与向量不共线，
（1）若，，，求的值
（2）若，，，求的坐标；
（3）若，，，且，，三点共线，求实数的值．
19．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）的三边长度分别为：，，，
(1)求：的值
(2)若，，点在线段上，且
（ⅰ）试用，的适当形式表示
（ⅱ）求
20．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，向量，
(1)求向量与的夹角的余弦值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
21．（25-26高一下·天津南开·期中）已知向量，，且有．
(1)求的坐标，和在方向上的投影向量；
(2)求与垂直的单位向量的坐标；
(3)若，当时，求的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 平面向量基础知识一遍过
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01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：向量的有关概念 3
知识点2：向量的线性运算 3
知识点3：平面向量基本定理和性质 3
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 5
知识点5：平面向量的数量积 5
知识点6：数量积的运算律 6
知识点7：数量积的性质 6
知识点8：数量积的坐标运算 6
03 重难点题型 8
题型一：平面向量的线性加减运算 8
题型二：三点共线向量定理（鸡爪模型）综合应用 10
题型三：平面向量的数乘运算及性质应用 13
题型四：平面向量的数量积运算与化简 14
题型五：平面向量的模长与夹角求解问题 16
题型六：平面向量的投影与投影向量问题 17
题型七：平面向量的实际场景应用 19
题型八：利用平面向量求解、证明几何问题 22
04 过关检测 28
知识点1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
知识点3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
知识点5：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点6：数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点7：数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点8：数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
题型一：平面向量的线性加减运算
例1．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由，得： ，
，
因为点是的中点，所以： ，
，
例2．（25-26高一下·河北唐山·期中）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】在平行四边形中， ，，，
则，，
，
解得，，，所以，．
例3．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，点分别为边的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
，故，
，
点分别为边的中点，
，
，故B正确．
变式1．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可知.
题型二：三点共线向量定理（鸡爪模型）综合应用
例4．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因，，则，
故
又三点共线，则，
故，又因为是边长为1的正三角形
所以，
.
例5．（25-26高一下·重庆渝北·期中）若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】A
【解析】因为，即，可知点是的重心，
则，
因为三点共线，则，且，
可得，
又因为，则，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由点在线段上（不含端点），，得，
则，因此
，
当且仅当，即，时取得等号，
所以的最小值为.
变式2．（25-26高一下·山东·期中）在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
由得，
，
又，则，，
解得，.
变式3．（25-26高一下·陕西安康·期中）如图，在中，，过点的直线与射线，分别交于点，，且，其中，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】因为，，三点共线，所以存在实数使得.
又，，所以.
已知，
由平面向量基本定理，得，.
消去，得，因为，.
所以
.
当且仅当且，即时取等号.
所以的最小值为.
变式4．（25-26高一下·四川凉山·期中）已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由G为的重心，得，则，
整理得，而，
因此，而共线，则，
于是，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
题型三：平面向量的数乘运算及性质应用
例7．（25-26高一下·上海·期中）若，，则_________.
【答案】
【解析】因为，，所以.
例8．（25-26高一下·新疆喀什·期中）化简 ________________
【答案】
【解析】.
例9．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知，不共线，，，（），若三点共线，则______.
【答案】
【解析】由题意可知，存在使得，即，
因为，不共线，所以.
变式5．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心）
【答案】内心
【解析】分别表示同方向的单位向量，
故平分，即平分，
所以直线一定经过的内心.
故答案为:内心.
变式6．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________．
【答案】/
【解析】由，得，在线段上取点，使得，
取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点，
因此，所以.
题型四：平面向量的数量积运算与化简
例10．（25-26高一下·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________
【答案】
【解析】
，
，
.
例11．（25-26高一下·山东淄博·期中）在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________．
【答案】
【解析】由为中线可得，.
又点为中线的三等分点，所以.
因为点为的中点，所以，
又，
所以.
例12．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在△ABC中，AB＝2，，，则______．
【答案】
【解析】依题意，.
变式7．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________.
【答案】36
【解析】在中,，
所以．
变式8．（25-26高一下·江苏·期中）在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______．
【答案】1
【解析】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点，
所以 ，
，
，
，
.
题型五：平面向量的模长与夹角求解问题
例13．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）若向量满足，，则与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】设与的夹角为，由
得
两式相加得＝1，则，则，得．
例14．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.
【答案】/0.5
【解析】已知，由于与垂直，则，解得，
设与的夹角为，，
则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为
例15．（25-26高一下·上海·期中）已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】若与反向共线，则满足，解得，
此时夹角为，满足，但夹角不是钝角，因此要排除.
综上，的取值范围是.
变式9．（2024·陕西·一模）已知向量的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得，
可知.
变式10．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量，的夹角为，且，则______．
【答案】
【解析】
题型六：平面向量的投影与投影向量问题
例16．（25-26高一下·山西阳泉·期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为________.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，
则向量在方向上的投影向量为.
例17．（25-26高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________
【答案】
【解析】若向量，
则在上的投影向量为.
例18．（25-26高一下·山东济南·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【解析】∵ 向量，，
∴ ，.
根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为，
代入数据得投影向量为.
变式11．（25-26高一下·重庆·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
，因此是直角三角形，如下图所示：
过作，垂足为，因为，所以，
又因为为的中点，所以为的中点，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
变式12．（25-26高一下·四川达州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.
【答案】
【解析】由题意可得向量在向量上的投影向量为，其坐标为.
变式13．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知，则向量在向量上的投影向量是__________.
【答案】
【解析】根据投影向量公式可得，
向量在向量上的投影向量为.
变式14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，．设在上的投影向量为，则______．
【答案】
【解析】向量在上的投影数量为，方向的单位向量为，
因此投影向量 ，
已知，，因此.
则.
题型七：平面向量的实际场景应用
例19．（25-26高一下·山东青岛·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________．
【答案】
【解析】游船垂直河岸方向（正北方向）的分速度为，
则游船到达对岸的时间为.
例20．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间____________．
【答案】
【解析】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短．
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间．
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要．
故答案为：.
例21．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设航船方向与河岸夹角为，
所以，所以，
，
分钟.
故选：C.
变式15．（22-23高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，作出示意图如图所示，，
故选：B.
变式16．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度，
要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，
如图指：，
所以.
故选：A.
题型八：利用平面向量求解、证明几何问题
例22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点．
(1)求证：；
(2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值．
【解析】（1）由，则，
又，即，则.
（2），四边形为矩形，．
设C点坐标为，则，
，解得，故点坐标为，
由于，故，
又，设与的夹角为，则，
，
所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为．
例23．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）已知在中，为中点，，，．
(1)用和表示；
(2)若，求；
(3)设和的夹角为，若，求证：．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
整理得，
∴ .
（2）∵ ，，，
∴ .
∵ ，
代入数值计算得：
，
∴ .
（3）∵ 为中点，
∴ ，
∴ .
∵ 与的夹角为，，
∴ .
计算得：
，
∴ ，即.
例24．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
【解析】（1）是高，，在Rt中，，
所以.
是中线，，
，
（2），
.
另过D作交于，
是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，
.
变式17．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图，在菱形中，若，，，.
(1)若，，求 的值；
(2)求以及的值；
(3)若与交于点，求的值.
【解析】（1）由题意得，，
，
因为，
所以，，，.
（2）因为在菱形中，，,
所以,
由（1）得：
，
.
（3）设，则，
则，，
因为三点共线，所以，即，
所以，，解得，
所以.
变式18．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若点在线段上运动，设，求的最大值.
【解析】（1）由题，
.
（2）设·，
因为三点共线，所以，
所以；
设，
因为三点共线，所以，
所以.
（3）由题，
所以，
所以，
所以当时，取得最大值13.
变式19．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

(1)求的值；
(2)求证：．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，即，所以．
1．（25-26高一下·广东汕头·期中）已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　）
A． B．4 C．7 D．2
【答案】A
【解析】若向量与向量互相垂直，则，
所以，
即，解得.
2．（25-26高一下·上海·期中）定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ）
A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假
【答案】A
【解析】当以、为邻边组成平行四边形时，如图
其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积，故①真，
当时，，则，反之因为、，若，则，即，故②真.
3．（25-26高一下·北京·期中）已知非零向量，满足，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
所以得到，.
4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向），
当时，，此时，即不成立，
因此推不出，充分性不成立；
若成立，因为是非零向量，，则，
结合得，即两向量同向，因此，成立，
即能推出，必要性成立；
综上，是的必要不充分条件.
5．（25-26高一下·湖南湘潭·阶段检测）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
所以，
.
6．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】D
【解析】由，得，
即，，所以，
所以．
7．（2026·北京·二模）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由，知，对的两边同时平方，
得，即，
将代入，得，解得.
8．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，所以，
设，故，
因为，所以，
则，，
所以，
因为，其对称轴为，取得最小值，
当，取得最大值，所以
9．（多选题）（25-26高一下·山东聊城·期中）下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若与反向，则
D．若，则存在唯一的实数，使得
【答案】ABD
【解析】当，则，但是或可能不成立，A选项错误；
若满足，但是可能不成立，B选项错误；
若与反向，则，C选项正确；
若，且是非零向量，则不存在唯一的实数，使得，D选项错误；
10．（多选题）（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，则，所以A错误；
对于B，因为点是边的中点，则，所以B正确；
对于C，因为点是边的中点，则，所以，故C正确；
对于D，因为点是边的中点，则，
又点是的重心，则，
所以，故D正确.
11．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则
D．若，向量在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以有，解得，所以本选项正确；
对于B，因为，所以，
得到，即，所以，因此本选项正确；
对于C，当与的夹角为钝角时，所以有且与不是反向共线向量，
可得，得到，解得，
由上分析当时，，此时，
所以有且，因此本选项不正确；
对于D，当时，，则向量在方向上的投影向量如下，
为，所以本选项正确.
12．（25-26高一下·上海·期中）设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标.若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是______________.
【答案】
【解析】若，则，
因为向量，在斜坐标Oxy中的坐标分别为，，，
所以，，
则，
，
则在上的投影向量为.
13．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，，，，为外心，则_________.
【答案】
【解析】取中点，因为是外心，故，对分解得，
因此 ，
由得，又，
故，
同理可得，
所以.
14．（25-26高一下·上海·期中）已知，，，则在方向上的投影向量为_________.
【答案】
和
【解析】因为，因此.
向量夹角，由得，
在方向上的投影为.
方向单位向量为，因此投影向量为和.
15．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知向量，，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，知均是非零向量，
且，
令，则，
所以.
因为的夹角为锐角，所以且不同向.
（1）当时，，即，解得，
即，解得；
（2）当同向时，存在实数，使得，
即，
所以，解得.
综上，当的夹角为锐角时，且，
即实数的取值范围是.
16．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图所示，在中，点满足，点满足，线段与线段交于点．
(1)用和表示；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，则．
由，得．
（2）因为，，三点共线，设，则，
所以，
由，得，所以，
设，由（1）得，所以，
所以解得，，
所以．
17．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，．设，.
(1)用，表示：
(2)求证：，，三点共线；
(3)若，，，求的余弦值．
【解析】（1）因为，，
所以，
，
所以.
（2）因为，所以是中点，所以.
由（1）知，，
又与有公共点，所以，，三点共线.
（3）已知，，，则，，
所以.
，
.
，
，
.
又
.
所以.
18．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知向量与向量不共线，
（1）若，，，求的值
（2）若，，，求的坐标；
（3）若，，，且，，三点共线，求实数的值．
【解析】（1）因为，，所以，
因为，，，所以，
所以．
（2）因为，设，
则，解得．
因此或．
（3），
因为，，三点共线，所以，，
即，又与不共线，所以，解得，
即实数的值为．
19．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）的三边长度分别为：，，，
(1)求：的值
(2)若，，点在线段上，且
（ⅰ）试用，的适当形式表示
（ⅱ）求
【解析】（1），
；
（2）（ⅰ）
；
（ⅱ）
．
20．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，向量，
(1)求向量与的夹角的余弦值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为向量，
所以，
，，
所以.
（2）因为向量，
所以
因为与的夹角为锐角，
所以且两向量不同向，
由，解得，
又因为当时，由解得，
所以实数的取值范围是.
21．（25-26高一下·天津南开·期中）已知向量，，且有．
(1)求的坐标，和在方向上的投影向量；
(2)求与垂直的单位向量的坐标；
(3)若，当时，求的最小值．
【解析】（1）已知向量，，且有，则，即，解得，
所以，，
因此，
并且在方向上的投影向量为.
（2）设所求的单位向量，已知单位向量与向量垂直，由（1）得，
所以有，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或.
（3）由（1）得，又因为，则，，
因此，
由于，令，则，
因此要求的最小值，转化为求在上的最小值，
其中表示轴上的动点到定点的距离，表示轴上的动点到定点的距离，
因此表示，
如图所示，点为关于轴的对称点，为线段与轴的交点，
因此，当点与重合时，即共线，此时取最小值，
直线的方程为，即，得到直线与轴的交点坐标为，即，
当点与重合时，满足，
因此，可以取最小值，最小值为，
即的最小值为.

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