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第02讲 平面向量常考压轴题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 3
知识点2：三角形四心与推论： 4
知识点3：极化恒等式 4
知识点4：等和线 5
03 重难点题型 6
题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 6
题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 6
题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 7
题型四：极化恒等式问题 8
题型五：等和线问题 9
题型六：四心问题 10
题型七：斜坐标系问题 11
题型八：新定义问题 13
04 过关检测 16
知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
（3）为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
知识点2：三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
知识点3：极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
知识点4：等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题
例1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________．
题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题
例4．（24-25高一下·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
例5．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题
例7．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例8．（多选题）（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则，
C．点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称
D．若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为
例9．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（ ）
A．，则的最大值为2
B．的最大值为
C．的最大值为1
D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为
题型四：极化恒等式问题
例10．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例11．（23-24高一下·江苏南京·月考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
例12．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值．
题型五：等和线问题
例13．（25-26高一下·陕西铜川·阶段检测）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值.
例14．（多选题）（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．若，则的最大值为
例15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设.
(1)当在边上运动，若时会使，求的值.
(2)若在线段上运动时，求证：.
(3)求的最大值.
题型六：四心问题
例16．（多选题）（25-26高三·全国·二轮复习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
例17．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A． B． C． D．
例18．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（ ）
A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心
变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
题型七：斜坐标系问题
例19．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记．
(1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由）
(2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求；
(3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
例20．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
例21．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．
(1)若，求；
(2)若，且与的夹角为，求；
(3)若，，求的面积的取值范围．
变式5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标．
(1)若，，求；
(2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标；
(3)若，，，，求的最小值．
题型八：新定义问题
例22．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
例23．已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ）
A． B．若与不垂直，则
C． D．若，则
例24．（多选题）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
变式6．在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ．
(1)若，求的值；
(2)求证：与的面积相等；
(3)设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．
变式7．对于给定正整数n，称有序实数组为一个n维向量，记作．特别地，称为零向量，记作．记集合．设，，若对任意，都有，则称等于，记作．对，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：，．对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关．否则，称这组向量线性无关．
(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，无需说明理由；
①，；
②，，；
③，，，；
(2)若，，线性无关，判断、、是线性相关还是线性无关，并说明理由；
(3)已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①若存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零；
②如果，，其中，则．
1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．若，则的最大值为
7．（多选题）（25-26高一下·四川达州·期中）已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．满足的点仅有一个
8．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（ ）
A．若P是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若P是的外心，，，则的最小值是
D．若，则
9．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若，且，则的面积是面积的
11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______.
12．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.
13．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________．
14．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______．
15．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________．
16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________．
17．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）如图，点分别是矩形的边上的两点，，．
(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；
(2)若，求的范围；
18．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值；
(3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值.
19．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.
(1)设，试用表示，并求；
(2)若，求的最小值.
20．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点．
(1)求的值；
(2)求的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 平面向量常考压轴题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 3
知识点2：三角形四心与推论： 4
知识点3：极化恒等式 4
知识点4：等和线 5
03 重难点题型 6
题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 6
题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 10
题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 12
题型四：极化恒等式问题 15
题型五：等和线问题 17
题型六：四心问题 21
题型七：斜坐标系问题 26
题型八：新定义问题 33
04 过关检测 39
知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
（3）为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
知识点2：三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
知识点3：极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
知识点4：等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题
例1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的夹角为，
当与重合时，；
当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时，
，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知到AF的距离为，
则，
直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为，
当在线段GF（除）上运动时，设，
所以，
当在线段GH上运动时，设，
所以，
当在线段AH（除）上运动时，设，
所以．
的最小值为；
由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值，
延长DC交AB的延长线于点，
的最大值为，
其中正八边形的外角为，故，
故，
故，
所以最大值为
故选：D
例2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示建立平面直角坐标系，则
，，
设，则，，
，
令，则，
，
可得，
故选:D.
例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
已知正方形，以建立平面直角坐标系，
，，，，
设，点在线段上，，
则，，
，
时，的最大值为.
变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________．
【答案】
【解析】设的夹角为，当与重合时，；
当在线段（除）、线段、线段、线段、线段（除）点上运动时，
，，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知，
到的距离为，
则，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
当在线段上运动时，设，
所以，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
所以的最小值为；
由投影向量的定义可知，当在线段上时，取最大值，
延长交的延长线于点，
的最大值为，
其中正八边形的外角为，由，
故，，
故，
所以的最大值为
则的范围是.
题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题
例4．（24-25高一下·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，得，变形得，
设，则，变形得，
因为，所以，因为，所以，
解不等式组，当时，解得.
故选：D.
例5．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
因为，则，
所以，
所以的范围为.
故选：D
例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知 ，得，又 ，故 ，
设，，为中点，则，得，
，已知，又，
故，得，
到直线的距离： ，
，因为 ，
所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离，
因此： ，即最小值为.
变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由点是线段上的动点（端点除外），且，
所以，且，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，此时取最小值为.
题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题
例7．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，设点，
由于，即，
所以，为锐角，且.
，则，当时，取得最大值.
例8．（多选题）（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则，
C．点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称
D．若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：，，
，，
故，A正确；
对于选项B：，，
由得 或 ，
若，可为任意值；若，则，B错误；
对于选项C：点 绕原点逆时针转后变为，故 旋转后得到点，
点关于 轴对称的点为，与旋转结果一致，C正确；
对于选项D：设，，由得；
设，则，
，
其中，因为分别是线段上（含端点）的动点，
所以，又，所以，，
又，且 ，所以，
即的范围是，D正确.
例9．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（ ）
A．，则的最大值为2
B．的最大值为
C．的最大值为1
D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为
【答案】ABD
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，.
圆的方程为，在弧上.
选项A.因为，所以.
设，则.
则.
因为最大值为，故最大值为，正确.
选项B.，在的最大值为 ，
故 ，正确.
选项C.，
则.
因为，所以的最大值为，错误.
选项D.由三角不等式，对任意点：， ，
故 等号在为正方形中心时取到，最小值为，正确.
题型四：极化恒等式问题
例10．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，连接，
则
，
因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图，
则，
所以的最大值是.
例11．（23-24高一下·江苏南京·月考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点为，连接，显然，
则
.
故选：A.
例12．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值．
【解析】（1）由题意：
，
又，
由题意，解得，
又当时，即时，与共线，
所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为；
（2）由题意：由为圆心，得，所以，
则，
由，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为.
题型五：等和线问题
例13．（25-26高一下·陕西铜川·阶段检测）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
例14．（多选题）（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得
，故A正确；
对于B，由A知，，
则
，故B正确；
对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得，
设，
所以，
当时，的最大值为5，故C错误；
对于D，由题意得，
可得，
因为，所以
，
，
因为，
所以当时，取得最大值，故D正确．
例15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设.
(1)当在边上运动，若时会使，求的值.
(2)若在线段上运动时，求证：.
(3)求的最大值.
【解析】（1）由题意，，，.
当在边上运动，由，
所以，.
由，
所以
即.
（2）由，
即，
因为点在线段上运动，所以，且，
所以，即.
（3）由（2）得，当点在线段上运动时，；
当点在线段上运动时，，其中，，所以；
当点在线段上运动时，因为三点共线，
可设，.
所以，，所以；
当点与点重合时，，此时.
所以的最大值为.
题型六：四心问题
例16．（多选题）（25-26高三·全国·二轮复习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
例17．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，所以，
又，则，同理可得，所以，
设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
例18．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.
由为的垂心，，且，
得，又，
则，，所以，
设，，则,即，，
所以，即，则，
所以，
则.
变式3．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（ ）
A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心
【答案】A
【解析】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和，
则，
由可得，
因，则平分，
同理由，可知平分，
故为的内心.
变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
设AC中点为D，如图所示，
所以，，
因为、、、四点不共线，连接，
∴四边形为平行四边形，
所以
∴.
题型七：斜坐标系问题
例19．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记．
(1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由）
(2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求；
(3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
【解析】（1）①成立，②不成立．
若，则存在非零实数满足，
因此可得，即，所以①成立，
若，可得则，因此不成立，即②不成立
（2）由，，得，，且，
所以，，
则，
故，
因为与的夹角为，则，
解得，或（舍去）
（3）依题意设、，且，，，
因为F为BC的中点，则，
因为E为BD中点，同理可得，
所以
由题意可知，，，
则
在中，由余弦定理得，所以，
代入上式得
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
因为，则，
故当时，取最大值，
则的最大值为．
例20．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
【解析】（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以．
（2）由，，得，，且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，
解得．
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，．
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则．
例21．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．
(1)若，求；
(2)若，且与的夹角为，求；
(3)若，，求的面积的取值范围．
【解析】（1），
所以，
，
.
（2）
，
解得.
（3），
，
，
设的夹角为，
.
变式5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标．
(1)若，，求；
(2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标；
(3)若，，，，求的最小值．
【解析】（1）由题意得，，，
因为，则存在实数使得，即，
整理得：，即，
因为为单位向量且不共线，所以，，得，；
（2）由题意得，，，且，则
；
因为在上的投影向量为，
因为，
故，
故在上的投影向量的斜坐标为；
（3）由题意得，，，，
设夹角为，则，则：
；
，
，则
因为，
且，故，即，
因为，故；
解得：；故；
则，故；
即，故，
则的最小值为．
题型八：新定义问题
例22．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【解析】设，坐标原点为 ，
则，，
即
，
即，当最小时W最小，
而直线与轴的交点坐标为，两交点与原点围成了等腰直角三角形，
则，所以.
例23．已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ）
A． B．若与不垂直，则
C． D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，由定义得与共线，与共线，所以，故A错误.
对于B，不妨取，，，则，所以.
因为，所以，
故，故B错误.
对于C，，故C正确.
对于D，若，则，即.
因为为非零向量，所以，所以或当时，，故D错误.
例24．（多选题）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A：由的定义知，当时，；当，.
若，由于是非零向量，所以当时，，
故，，所以，所以，故，A正确.
对于B：设有非零向量，则，所以，而，
故，故B错误.
对于C：由B知，，故，C错误.
对于D：若，，，则，D错误.
变式6．在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ．
(1)若，求的值；
(2)求证：与的面积相等；
(3)设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，，
所以 ，所以．
（2）证明与面积相等首先证明所有为定值：
因此，
，
所以，
故，
三角形面积公式：，
因此：,
,
故面积相等，得证.
（3），
，
不等式等价于，
代入得：，
整理化简得：，
因为，故，
上式是关于的一次函数，
一次函数在恒非负只需端点满足：恒成立；
，解得，
因此存在满足条件的，取值范围为或.
故.
变式7．对于给定正整数n，称有序实数组为一个n维向量，记作．特别地，称为零向量，记作．记集合．设，，若对任意，都有，则称等于，记作．对，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：，．对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关．否则，称这组向量线性无关．
(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，无需说明理由；
①，；
②，，；
③，，，；
(2)若，，线性无关，判断、、是线性相关还是线性无关，并说明理由；
(3)已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①若存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零；
②如果，，其中，则．
【解析】（1）对于（ⅰ），，；
设，可得，
则可得，取，满足，
所以线性相关.
对于（ⅱ），，，；
设，
可得，
则，
所以线性无关.
对于（ⅲ），，，，，
设，
则可得，
解得，不妨取，
所以线性相关.
（2）设，
则，
因为向量线性无关，所以解得，
所以向量线性无关.
（3）（ⅰ），如果某个，
则.
因为任意个都线性无关，所以都等于0，
所以这些系数要么全为零，要么全不为零.
（ⅱ）因为，所以全不为零，
所以由，可得，
代入，
可得，
所以，
所以，
所以.
1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】四点共线，可设，其中，，
分别是的中点，，，
，
，，，
是线段上两个动点，，，
，
当且仅当，结合，，即时取等号，
的最小值为.
2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，线段的中点分别为，
记，
则，，
∴，，
∴两边平方得：
∵，，
，
，
∴
，
当时，等号成立，所以最小值为，即的最小值为.
3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
设，则，解得，
又因为，
且、不共线，所以，这两个等式相加得，
因为，，由基本不等式可得，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由于，即.
如图所示，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
故，
在正中，，
，则.
故选D.
5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得．
又因为为三角形内心时，，，，
所以．
故可设，，，，
故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边，
由三角形面积
得，又．
故．
6．（多选题）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意得，不妨设，
原不等式表示当时取最小值，
对于A，设，
为开口向上的二次函数，当时，取最小值，即取最小值，
即，进而，解得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，
不妨用点代表向量，点代表向量，点代表向量，
由几何意义可将原式转化为动点到定点的距离之和，
由两点间线段最短，当且仅当点位于线段上时，距离之和取最小值，
即，
，故C正确；
对于D，设坐标原点为，点分别代表向量，
由上知，所以为边长为1的等边三角形，其中为定点，
因为，则有，且的三个内角均为且内接于某圆，
所以点所在的轨迹为与相对的劣弧，
边长为1的等边三角形外接圆半径，
表示点到原点的距离，因为原点恰好也在此圆上，
所以，故D正确.
7．（多选题）（25-26高一下·四川达州·期中）已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．满足的点仅有一个
【答案】AB
【解析】对于A，
圆半径为，弦，故为等边三角形，
所以，，
所以，A正确；
对于B，
过点作，交圆于点，过点作，并交的延长线于点，连接，取中点，连接，
因为，且，所以是平行四边形，
又，所以是菱形，
由投影向量可知，当两点重合时，取得最大值，
此时，
所以的最大值，B正确；
对于C，
因为是菱形，，
因为，，
所以当与平行且方向相同时，取最大值为，
当与平行且方向相反时，取最小值为，
所以，C错误；
对于D，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，
又当时，满足，故满足的点有2个，D错误．
8．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（ ）
A．若P是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若P是的外心，，，则的最小值是
D．若，则
【答案】ABC
【解析】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：，
代入奔驰定理得：，即，A正确；
选项B：若，结合奔驰定理，
得面积比.
又，，，可得，
即到三边距离相等，故是的内心，B正确；
选项C：是外心，故（为外接圆半径），
由，得圆心角.
由，得，
代入，，化简得.
因为在内，结合奔驰定理系数为正，得，
故，
所以，即，当且仅当时取等号，
最小值为，C正确；
选项D：由，整理得：，
即，根据奔驰定理，
所以，D错误.
9．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】ACD
【解析】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即.
若是的重心，则，与，所以不是的重心.
当为的外心时，，
所以，即.
当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形.
10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，且，则
B．若，则的面积与的面积之比为
C．若，则动点的轨迹经过的外心
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】ACD
【解析】选项A.，故A正确；
选项B.设中点为，中点为，
，
即，所以点为中线靠近点的三等分点，所以，故B错；
选项C.设中点为，则，
结合题设.
所以，所以，
又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确；
选项D.设为中点，，所以，
即，由，所以，所以，，三点共线，
所以．故D正确．
11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】如下图所示：
因为，易知，
又，所以，
易知三点共线，利用共线定理可得，
又，，
所以；
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
12．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______.
【答案】/
【解析】当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形，
将不等式两边同时除以，
得，，，其中为单位向量，
因此题设不等式等价于，
记夹角为，
那么，
即，
从而，得，
由于，在上单调递减，
因此的最小值对应的最大值，
当时，二次函数有唯一零点，
此时，即，
满足不等式的等号条件，说明最小值是可取的，
则，夹角的最小值为时，则.
13．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】，，因为，所以，
，，则要求的最小值等价于求的最大值，
因为与的夹角为，所以，令，，
则，整理后得，
令，则，该方程有正实数解，
故，解得，
又因为，所以，故的最大值为，
即的最大值为，此时，
所以的最小值为.
14．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为，
设，其中，则，，点积得：
， 因此的轨迹是正方形内的线段，
，将代入得： ，
这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为，
所以最大值在端点或处取得，
代入得，因此.
15．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________．
【答案】
【解析】由题意得，，则 ，
由最小值为，且由二次函数分析可知，
当时，取得最小值，
所以 ，解得，
又与的夹角为锐角，则，此时，
所以，设，
由,
又，故．
16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________．
【答案】4
【解析】因为，所以，即，①
又，即，②
所以，③
又由①②可得，解得，代入③可得，
所以的最大值是4.
17．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）如图，点分别是矩形的边上的两点，，．
(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；
(2)若，求的范围；
【解析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴 轴建立直角坐标系，
则，，，，
所以，
，，
．
（2）由，，
故，则，
所以
，
由，故．
18．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值；
(3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值.
【解析】（1）为BC中点，
又为的重心，，
.
（2）由（1）得，
三点共线，
又
（当且仅当，即时取等号）
的最小值为3.
（3）
，
由（2）知，，即.
又，
（当且仅当时取等号）
当时，取得最小值：
即的最小值为.
19．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.
(1)设，试用表示，并求；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1） ，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）由（1）知，
又，
所以，又三点共线，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
20．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，则，
所以，
则；
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
因为，所以，
已知 ， ，得 ，
设 ，则 ， ，
则，
当且仅当时，取得最小值为．

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