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第03讲 三角恒等变换的综合灵活应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：两角和与差的正余弦与正切 3
知识点2：二倍角公式 3
知识点3：降次（幂）公式 3
知识点4：半角公式 3
知识点5、两角和与差正切公式变形 3
知识点6、和化积公式 4
知识点7、积化和公式 4
解析错误: 下标越界 5
题型一：已知角度的三角函数求值问题 5
题型二：已知三角值的间接求值问题 6
题型三：依托三角值的角度求解问题 7
题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 10
题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 15
题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 19
题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 26
题型八：辅助角公式的拓展深化应用 32
04 过关检测 36
知识点1：两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点2：二倍角公式
①；
②；
③；
知识点3：降次（幂）公式
知识点4：半角公式
知识点4：辅助角公式
（其中）．
知识点5、两角和与差正切公式变形
；
．
知识点6、和化积公式
知识点7、积化和公式
题型一：已知角度的三角函数求值问题
例1．（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C．
例2．（23-24高一下·江苏徐州·月考）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
则
.
故选：C
例3．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式.
故选：A
变式1．（21-22高一上·山西·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
.
故选：D.
题型二：已知三角值的间接求值问题
例4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，因此，由同角三角函数基本关系式，
且，得，
根据正弦和角公式.
例5．（22-23高一下·北京·阶段检测）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
又，所以．
例6．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，因此 ，
所以，
所以，
化简得①；
而，
化简得②；
联立①②，相加得： 相减得： ，
由 ，得 ，
根据半角公式 ，代入 得.
变式2．（25-26高一下·山东德州·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，
所以，
所以.
题型三：依托三角值的角度求解问题
例7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
又因为、，所以，，
则，，所以，
因为，
所以，故.
故选：B.
例8．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为都是锐角，
所以，又因为，
所以，
，
因此
，
因为是锐角，
所以.
故选：B
例9．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可知，，，且，
所以不妨设，则，，则
，所以.
故选：C
变式3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，所以，
又，所以，
即，
整理得，即，
所以一个钝角一个锐角，所以，
所以，
所以.
故选：C
变式4．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，
所以，得.
故选：D
题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明
例10．（25-26高一上·广东广州·期末）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题：
(1)证明：；
(2)已知，求的值；
(3)若，证明：．
【解析】（1）利用余弦的和角、差角公式：
，
，
将两式相加：
两边同时除以2，得：
.
（2）已知，
利用（1）的恒等式，令，则：
结合已知条件，得；
.
（3），
由，得，
故．
因为，
令，则：
.
化简角，左边
令，
.
化简得
再处理，用公式：
.
将两部分代入右边：
右边.
左边与右边表达式完全相同，故：
.
例11．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明：
(1)；
(2).
【解析】（1）因为，所以，
两边同时除以，得，即.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以.
例12．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： .
②在中，求证:.
（2）若，，求的值.
【解析】（1）①，，
即.
②在中，，则，
即，结合①结论，
又，
，
又，
即.
（2）同①有
，
又，，
①，②，
②①式得，
即.
变式5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律：
，
，
，
据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：
(1)证明：；
(2)解关于的方程：，其中；
(3)求的值，其中，且．
【解析】（1）因为，，
所以
，
即；
（2）由（1）知，
即，
又，
所以
，
所以，
所以
或，
当时，解得，
又，所以；
当时，无解，
综上，方程的解为；
（3）设，
则
，
由积化和差公式得，
，
，
，，
将上面个式子相加得
，
所以.
又，且，所以，所以，所以，
即.
题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题
例13．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式及函数单调递增区间；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围；
(3)将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由图象可得，，所以，
所以，又，
所以，又，所以，
故.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意得，则，
因为为锐角三角形，所以，则，
则，得，
则，
由，得，则，
则，
故的取值范围为.
（3）由题意可得，
因为对于任意的，都有成立，
即当时，恒成立，
由可得，此时，
由可得，此时，
所以，解得，
故实数m的取值范围为.
例14．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数．
(1)已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为是偶函数，且，所以，，
，
当时，，
所以当，即时，在上取得最小值.
若存在，使不等式成立，则，即，解得，
所以实数的取值范围是；
（2）若对任意的，总存在，使成立，
则，
函数的图象过点，则，
又，所以，
所以，解得，
所以，
当时，，所以当，即时，取得最大值，
.
当时，，
若，则当时，取得最大值，
由得，解得，所以；
若，则当时，取得最大值，
由得，,所以；
若，则当时，取得最大值，
由得，,所以.
综上，．
所以实数的取值范围是．
例15．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数的对称轴方程；
(3)若函数在区间上恰有2个零点，，求的值．
【解析】（1），
令，
解得，
即函数的单调增区间为；
（2）令，解得，
所以函数的对称轴方程为；
（3），即，所以，
由，则，
若在区间上恰有2个零点，，
则，即，故，
又因为，所以．
变式6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，．
(1)求在的单调递减区间；
(2)当时，求的最大值和最小值；
(3)若，，求的值．
【解析】（1），
由，解得，
又，所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以，则，
所以，
所以的最大值为，最小值为．
（3）由，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以
．
题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题
例16．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，已知，求.
【解析】（1）因为，，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以由，得，
因为，所以，
所以，
令，则，，，
所以，，
所以.
例17．（25-26高一下·上海闵行·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）．
(1)已知，求；
(2)证明：对任意，有；
(3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围．
【解析】（1），
因为，则，
易得，，，
所以，，．
（2）若中有，不妨取，则，，
而，所以成立；
若都不是，则，
所以
，
所以，
设，则，
则，
当在的逆时针方向，即，，此时，且，
当在的顺时针方向，即，，此时，且，
所以．
（3）由题可知，，
如图建立平面直角坐标系，则的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上，
设的终点为，的终点为，，
则，
因为，，
所以，
所以，
，
所以
，
因为，所以，则，
所以．
例18．（25-26高一下·江苏泰州·期中）（1）已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做将点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.请解决下列问题：
①若，且点坐标为，求点的坐标；
②若，求证：.
（2）如图，中，，在平面内将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，记.
①若，求的长度；
②若，求长度的取值范围.
【解析】（1）①由，所以，
设与轴的正方向的夹角为，
所以，所以，
将绕起点逆时针旋转得到，
所以，且与轴正方向的夹角为，
设点，所以，所以；
②设，与轴正方向的夹角为，
所以，将绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，
所以，与轴正方向的夹角为，
设，所以，
，
所以；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，①由，
所以，即，所以，
将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，即向量绕点顺时针旋转得到，
由（1）中②得
，
设，所以，所以，
所以，所以；
②由，
所以，所以，
将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，即向量绕点顺时针旋转得到，
由（1）中②得
，
设，所以，
所以，得到，
所以
，
又，所以，，
所以，所以，
所以.
变式7．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知向量.
(1)若且，求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因为向量，且，
所以，即，又，
所以，所以.
（2）因为，所以，
又，，
且，所以，即，
化简得：，所以，即，
所以
.
变式8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）向量，函数．
(1)求的最小正周期和单调减区间；
(2)函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．
【解析】（1）
，
故的最小正周期为;
令，解得，
故的单调减区间为；
（2）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
即，
，即，
由，得，则，
故
.
题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题
例19．（25-26高一下·山东日照·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．
(1)当时，设，求的值域；
(2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．
【解析】（1）
过作，垂足为，由题意可得：，，
所以，
所以矩形的面积，
当时，
，
令，因为，所以，
则函数，其对称轴为，
当时，，
当或时，，所以，即函数的值域为.
（2）因为，
当时，
当且仅当，即
，解得或时，等号成立．
所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．
例20．（25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设.
(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当时，求加温带的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.
【解析】（1）在，中，由，
得，，
又中，由勾股定理得，
因，
当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，
所以函数关系式为，定义域为.
（2）由（1）知，，
因此，
于是.
（3）依题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，，
设，则，
，
，由，得，
，
,
于是，
令，函数在上为增函数，
则当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元.
例21．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于．
(1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
【解析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，
，圆的半径为，
点坐标为，点的坐标为，
坐标为．
（2），，
四边形的面积
，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为．
变式9．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱.
(1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数；
(2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值.
【解析】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，
根据题意，设，
由题意知旋转周期，得，，
，解得，
当时，游客甲位于，则，
由题意可得：.
（2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则.
经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，
，.
则甲、乙的高度差
，
当时，，
所以当或时，即或时，
取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为.
变式10．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2.
(1)证明为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值.
【解析】（1）设，
由已知可得，，，
所以，，.
因为的周长为2，
所以，
即，
所以.
所以，.
又，
所以， ，
所以，为定值.
（2）方法一：
所以最小值为.
方法二：
.
由，
化简得.
因为，当且仅当时，等号成立
所以，，
整理可得，
所以，
整理得，
所以.
方法三：
设
.
令，
则.
当且仅当时，S的最小值为.
题型八：辅助角公式的拓展深化应用
例22．（24-25高一下·上海·期中）函数的值域为_____．
【答案】
【解析】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ，
整理为关于 的二次函数，
令 ，可知 ，
因此，
易知该抛物线的对称轴为，
因此函数 在区间 上是单调递减的，
所以函数最大值在 处取得，即 ，
最小值在 处取得，即 ，
因此，该函数的值域为 ．
例23．（25-26高一下·上海普陀·期末）锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为，所以，且为锐角三角形，所以，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
故的取值范围是
例24．（25-26高一下·北京西城·期中）已知函数．
①若，则______；
②若，使成立，则的最小值是______．
【答案】 /
【解析】.
① 当时，，
.
② 的最大值为，最小值为，
的最大值为.
要使，成立，则需满足且.
此时可得：
，
，
两式作差得，令，即.
又，
当时，取得最小值为.
变式11．（25-26高一下·上海宝山·期中）若函数的最大值为13，则常数__________.
【答案】
【解析】已知函数的最大值为13，
则，解得，进而.
变式12．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图像关于对称，则实数______.
【答案】
【解析】函数 ，其中，
由函数图象关于对称．可知，
解得，故，所以.
变式13．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）若时，取得最大值，则______．
【答案】/
【解析】依题意，，
其中锐角由确定，当且仅当时，取得最大值，
因此，即，则，
所以.
1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，所以，
所以，所以.
2．（25-26高一下·北京延庆·期中）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故，故，
所以，故.
3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由二倍角的余弦公式，得，
由于，则，因此，，
因此，故A正确.
4．（25-26高一上·天津·期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
5．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为锐角，且，
所以，则，
所以．
6．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
两边同除以，得，
所以，因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以最大值为．
7．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】因为，，所以，
由同角三角函数的基本关系得，
由两角和的正切公式得，
而，，可得，
故，因此．
8．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图：
当时，，，
设劣弧的长为，则.
因为，所以，.
所以.
因为，所以，所以.故；
又，
因为，所以，所以.故.
综上，.
9．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B错误
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
10．（多选题）（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】依题意，函数，
由，得，
则函数的图象关于点对称，即，
当时，；当时，，BD是，
不存在整数，使得，AC不是.
11．（多选题）（25-26高一下·贵州毕节·期中）下列关于函数的说法正确的是（）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．在区间上单调递增
C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到
D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为
【答案】AB
【解析】
选项A：令，解得，当时，，A正确.
选项B：即，令，
因为，所以在区间上单调递增，B正确.
选项C：左移得，C错误.
选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点，
则三个零点只能为：，故，D错误.
12．（多选题）（25-26高一下·全国·阶段检测）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ）
A．
B．函数的对称中心为
C．若，则
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于选项，，故正确；
对于选项
令，故对称中心为，选项错误；
对于选项，，
，故选项正确；
对于选项，，
令，
则，
对称轴为，所以当时，取到最大值，此时故D选项正确.
13．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是，则的值________；
【答案】
【解析】因为，又，则，解得.
14．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域为______；
【答案】
【解析】因为，由辅助角公式得
，
因为，，所以，，
所以的值域为.
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，且，则______.
【答案】
【解析】由，，可得，
则，，
则.
16．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______．
【答案】 /
【解析】因为，所以．
因为，所以．
因为，
所以.
．
因为，
所以
．
17．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知
(1)求 的值;
(2)求的值.
【解析】（1）且，.
且，
因此，；
（2）由（1）知，，，，
，
、，，
因此，.
18．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值；
（2）化简：.
【解析】（1）由二倍角公式：，
由余弦差角公式：.
由于原式分母不为0，故，则，
化简得，两边平方得
，
解得.
（2）将代入得
，
则分子
，
由降幂公式可知分母，
从而原式.
19．（25-26高一下·上海·期中）某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数）
(1)若，求EF的长；
(2)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值.
【解析】（1）连接，因为 ，
所以 和 为直角三角形，
在 和 中， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ,
故 ,
所以 ,（米）.
（2）设 ，则由（1）得，，
（平方米）
当且仅当 时等号成立，解得 ，
此时 （米），
所以点 距离点 为 米时，绿化区面积最大，最大值为 平方米．
20．（25-26高一下·上海·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若，，求的值；
(3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值．
【解析】（1）
，
函数的最小正周期为，
令，解得对称轴为，
令，即，则或，
解得或．
（2），解得，
，
，则位于第四象限，，
，
．
（3）方程在上有两个不同的解、，等价于与
在有两个不同交点，
，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
最大值为，最小值为，且，
作出函数大致图象如下：
由图象可知，且时，直线与有两个交点，
解得且，
当，即时，两交点关于对称轴对称，
则；
当，即时，两交点关于对称轴对称，
则．
21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围.
【解析】（1）因为
，
所以函数的最小正周期为，
由可得，
故函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，
则，
当时，，则，故.
故函数在上的取值范围为.中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 三角恒等变换的综合灵活应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：两角和与差的正余弦与正切 3
知识点2：二倍角公式 3
知识点3：降次（幂）公式 3
知识点4：半角公式 3
知识点5、两角和与差正切公式变形 3
知识点6、和化积公式 4
知识点7、积化和公式 4
解析错误: 下标越界 5
题型一：已知角度的三角函数求值问题 5
题型二：已知三角值的间接求值问题 5
题型三：依托三角值的角度求解问题 6
题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 6
题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 8
题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 9
题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 11
题型八：辅助角公式的拓展深化应用 13
04 过关检测 15
知识点1：两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点2：二倍角公式
①；
②；
③；
知识点3：降次（幂）公式
知识点4：半角公式
知识点4：辅助角公式
（其中）．
知识点5、两角和与差正切公式变形
；
．
知识点6、和化积公式
知识点7、积化和公式
题型一：已知角度的三角函数求值问题
例1．（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24高一下·江苏徐州·月考）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例3．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（21-22高一上·山西·期末）（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知三角值的间接求值问题
例4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（22-23高一下·北京·阶段检测）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
例6．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26高一下·山东德州·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：依托三角值的角度求解问题
例7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例8．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
例9．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明
例10．（25-26高一上·广东广州·期末）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题：
(1)证明：；
(2)已知，求的值；
(3)若，证明：．
例11．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明：
(1)；
(2).
例12．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： .
②在中，求证:.
（2）若，，求的值.
变式5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律：
，
，
，
据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：
(1)证明：；
(2)解关于的方程：，其中；
(3)求的值，其中，且．
题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题
例13．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式及函数单调递增区间；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围；
(3)将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．
例14．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数．
(1)已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
例15．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数的对称轴方程；
(3)若函数在区间上恰有2个零点，，求的值．
变式6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，．
(1)求在的单调递减区间；
(2)当时，求的最大值和最小值；
(3)若，，求的值．
题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题
例16．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，已知，求.
例17．（25-26高一下·上海闵行·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）．
(1)已知，求；
(2)证明：对任意，有；
(3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围．
例18．（25-26高一下·江苏泰州·期中）（1）已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做将点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.请解决下列问题：
①若，且点坐标为，求点的坐标；
②若，求证：.
（2）如图，中，，在平面内将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，记.
①若，求的长度；
②若，求长度的取值范围.
变式7．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知向量.
(1)若且，求的值；
(2)若，求的值.
变式8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）向量，函数．
(1)求的最小正周期和单调减区间；
(2)函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值．
题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题
例19．（25-26高一下·山东日照·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．
(1)当时，设，求的值域；
(2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．
例20．（25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设.
(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当时，求加温带的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.
例21．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于．
(1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
变式9．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱.
(1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数；
(2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值.
变式10．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2.
(1)证明为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值.
题型八：辅助角公式的拓展深化应用
例22．（24-25高一下·上海·期中）函数的值域为_____．
例23．（25-26高一下·上海普陀·期末）锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________.
例24．（25-26高一下·北京西城·期中）已知函数．
①若，则______；
②若，使成立，则的最小值是______．
变式11．（25-26高一下·上海宝山·期中）若函数的最大值为13，则常数__________.
变式12．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图像关于对称，则实数______.
变式13．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）若时，取得最大值，则______．
1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·北京延庆·期中）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．2
4．（25-26高一上·天津·期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（ ）
A． B． C． D．或
8．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（ ）.
A． B． C． D．
11．（多选题）（25-26高一下·贵州毕节·期中）下列关于函数的说法正确的是（）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．在区间上单调递增
C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到
D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为
12．（多选题）（25-26高一下·全国·阶段检测）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ）
A．
B．函数的对称中心为
C．若，则
D．若，则的最大值为
13．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是，则的值________；
14．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域为______；
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，且，则______.
16．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______．
17．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知
(1)求 的值;
(2)求的值.
18．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值；
（2）化简：.
19．（25-26高一下·上海·期中）某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数）
(1)若，求EF的长；
(2)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值.
20．（25-26高一下·上海·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称轴和零点；
(2)若，，求的值；
(3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值．
21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围.

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