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第04讲 正余弦定理的灵活运用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、正弦定理 3
知识点2、余弦定理 3
知识点3、三角形中的常见结论 3
知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 3
知识点5、实际问题中的常用角 4
03 重难点题型 5
题型一：正余弦定理解三角形基础 5
题型二：三角形形状的判定 5
题型三：解三角形的多解辨析 6
题型四：三角形的周长与面积计算 6
题型五：解三角形的实际应用 8
题型六：正余弦定理与三角性质综合 9
题型七：解三角形综合压轴问题 11
04 过关检测 14
知识点1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
知识点2、余弦定理
，，，
，，
知识点3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
知识点5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
题型一：正余弦定理解三角形基础
例1．（2026·高一·吉林长春·期中）在中，，，，则（ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
例2．（2026·高一·北京朝阳·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ）
A． B．3 C． D．
例3．（2026·高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
变式1．中内角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．（2026·高一·广东江门·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2026·高一·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　）
A． B．或 C． D．或
题型二：三角形形状的判定
例4．（2026·高一·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
例5．（2026·高一·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
例6．（2026·高一·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能
变式4．（2026·高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
变式5．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
题型三：解三角形的多解辨析
例7．（2026·高一·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2026·高一·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（ ）
A．3 B． C． D．4
例9．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式6．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
变式7．（2026·高一·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．，有两解 B．，有一解
C．，无解 D．，有一解
题型四：三角形的周长与面积计算
例10．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
例11．（2026·高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
例12．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
(3)若点是边上一点，且，，求的面积.
变式8．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③．
(1)求角的大小；
(2)设面积为，且，，求的面积．
变式9．（2026·高一·河北保定·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径，求边的值；
(3)若，延长至，使得，，求的面积．
题型五：解三角形的实际应用
例13．（2026·高一·重庆·阶段检测）如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米.
例14．（2026·高一·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里．
例15．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______
变式10．（2026·高一·湖北荆州·期中）为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米.
变式11．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______．
题型六：正余弦定理与三角性质综合
例16．（2026·高一·上海·阶段检测）已知向量，且，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值．
例17．（2026·高一·四川遂宁·期中）已知向量，．设．
(1)求的单调递减区间;
(2)在中，角所对的边分别为．若，，的面积为，且，求的值．
例18．（2026·高一·吉林长春·期中）已知函数，其中，.
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，、、分别是角、、的对边，且.
（i）求的值；
（ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
变式12．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知，， ．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．
变式13．（2026·高一·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图，
(1)求函数的最小正周期T；
(2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积．
题型七：解三角形综合压轴问题
例19．（2026·高一·广东江门·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，且，求面积的取值范围.
例20．（2026·高一·湖北襄阳·期中）对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”．
(1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f；
(2)证明：“分离比”；
(3)试求出“分离比”f的最小值．
例21．（2026·高一·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．
(1)若△ABC为正三角形，求；
(2)已知
①求证：；
②若，，求面积的最大值．
变式14．（2026·高一·江西上饶·期末）在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，.
(1)求角；
(2)若为边中点，求的最大值；
(3)柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值.
变式15．（2026·高一·重庆·期中）布洛卡是法国数学家，当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为.
(1)当时，且时，求；
(2)证明，若，，，求；
(3)求证：.（此处A，B，C分别为的三内角）
1．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一下·四川广安·期中）在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（ ）

A． B． C． D．
4．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）若外接圆的圆心O，半径为，且，则边BC长为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m
A． B．8 C．12 D．
7．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高一下·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ）
A． B．1 C．5 D．
9．（多选题）（25-26高一下·四川广安·期中）中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
10．（多选题）（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为钝角三角形
C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则
11．（多选题）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
12．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________
13．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．
14．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．
15．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．
(1)求的值；
(2)若是线段的中点，求的值．
16．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在中，．
(1)求；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：的周长为；
条件②：；
条件③：．
17．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，．
(1)求的值，并求函数的对称中心坐标；
(2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角；
(3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积．
18．（25-26高一下·北京平谷·期中）在中，角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
19．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．

(1)求的长；
(2)求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 正余弦定理的灵活运用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、正弦定理 3
知识点2、余弦定理 3
知识点3、三角形中的常见结论 3
知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 3
知识点5、实际问题中的常用角 4
03 重难点题型 5
题型一：正余弦定理解三角形基础 5
题型二：三角形形状的判定 6
题型三：解三角形的多解辨析 8
题型四：三角形的周长与面积计算 10
题型五：解三角形的实际应用 14
题型六：正余弦定理与三角性质综合 17
题型七：解三角形综合压轴问题 22
04 过关检测 33
知识点1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
知识点2、余弦定理
，，，
，，
知识点3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
知识点4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
知识点5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
题型一：正余弦定理解三角形基础
例1．（2026·高一·吉林长春·期中）在中，，，，则（ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
【答案】B
【解析】在中，，，，由正弦定理得,
所以，得，
因为，所以，
因为，所以.
例2．（2026·高一·北京朝阳·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】.
例3．（2026·高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，
由余弦定理得
∴
整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ .
在中，，，，
由正弦定理得
∴ .
变式1．中内角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，
由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以.
变式2．（2026·高一·广东江门·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，为内角，则，
则.
变式3．（2026·高一·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】由余弦定理得：，又因为，
所以.
题型二：三角形形状的判定
例4．（2026·高一·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理将边化为角可得，
又，
故，故，
由，故，则，故，
即的形状为直角三角形.
例5．（2026·高一·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】若，得，
由正弦定理可得，
化简可得，即，
利用辅助角公式可得，
即，
所以或，或者（舍），
所以一定是直角三角形.
例6．（2026·高一·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，则，，
因此根据余弦定理，即，
而由可知，三角形为锐角三角形.
变式4．（2026·高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】由及正弦定理，得，
因为，所以，
代入得，即，
因为，所以，故，因为，所以，
即的形状为直角三角形．
变式5．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由，得，
即，由余弦定理，，
因为，所以，
由，得，整理得，所以是等边三角形
题型三：解三角形的多解辨析
例7．（2026·高一·河南驻马店·期中）在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，.
有两解的充要条件是：
得 ，即.
例8．（2026·高一·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】若有两解，则，即：，所以.
例9．（2026·高一·四川绵阳·阶段检测）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于ABD选项，给定的都是两边及其夹角，可以利用余弦定理求出（唯一确定），
此时只有一解；
对于C选项，由余弦定理可得，
即，即，解得或，
此时有两解，C符合要求.
变式6．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
【答案】B
【解析】，，，，
，，
，或
当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去，
则只有一个解，故此三角形只有一个解.
故选：B.
变式7．（2026·高一·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．，有两解 B．，有一解
C．，无解 D．，有一解
【答案】D
【解析】对于A,由正弦定理，则，
则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误；
对于B,由正弦定理，则，
，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误；
对于C,由正弦定理，则，
，故，三角形只有1解，故C错误；
对于D,，为钝角且，故必为锐角，
三角形有1解，故D正确．
题型四：三角形的周长与面积计算
例10．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
【解析】（1），
根据余弦定理可得，即，
代入可得，化简可得，
根据三角形辅助角公式可得，即，
因为，所以，
因此解得，即，
因为，，
所以解得.
（2）因为的面积为，
所以，解得，
因为，，
所以，
根据正弦定理可得，即，化简可得，
代入可得，解得，
所以，
根据正弦定理可得，即，解得，
所以的周长为.
例11．（2026·高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【解析】（1）展开已知等式，得：
，
移项化简得.
设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：.
根据余弦定理可得，代入得.
又，故.
（2）将，，代入余弦定理得：
，即，解得.
则，
由得，
故的周长为.
例12．（2026·高一·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
(3)若点是边上一点，且，，求的面积.
【解析】（1）由已知向量，，
得，
因为，所以，即，
又，所以，
又，则，所以，所以；
（2）由已知，，且，得，
由余弦定理，又，得，
所以或（舍），
故的周长为；
（3）因为点是边上一点，且，所以是的中点，
所以，两边平方得，
又，，所以，即①，
又，，由余弦定理，得②，
①②联立得，
故的面积.
变式8．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③．
(1)求角的大小；
(2)设面积为，且，，求的面积．
【解析】（1）若选①：因为，
由正弦定理可得，
因为，则，可得，
且，所以；
若选②：因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，即，
且，所以；
若选③：因为，
且，可得，
因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）设的外接圆半径为，
则，
所以；
由可得，即，
由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
所以的面积为．
变式9．（2026·高一·河北保定·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径，求边的值；
(3)若，延长至，使得，，求的面积．
【解析】（1）由及正弦定理，得．
因为，
所以．
因为，所以，
所以，即．
因为，所以，所以，即．
（2）由（1）得，则的面积，即．
又因为内切圆的半径，且，
所以，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（3）在中，由正弦定理，得①．
在中，，，
由正弦定理，得②．
由①②得，化简得．
因为，所以．
因为，，所以．
所以．
题型五：解三角形的实际应用
例13．（2026·高一·重庆·阶段检测）如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米.
【答案】/
【解析】连接AM，AN，BM，BN，MN.
由题可得，，
则，
所以，则千米.
例14．（2026·高一·天津武清·期中）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里．
【答案】
【解析】由题意可知，
在中，利用正弦定理可知，
在中，由余弦定理可知，
即2号灯塔与乙地之间的距离是海里.
例15．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______
【答案】米
【解析】设塔高米，由题意平面，因此：
在中，点仰角为，，得；
在中，点仰角为，，得；
在 中，已知，，
由余弦定理得，
得， 化简得一元二次方程：，
解得 或（舍去），即塔高为30米.
变式10．（2026·高一·湖北荆州·期中）为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米.
【答案】
【解析】设铁塔OT的高度为米.
在中，，在中, ,
在中，由余弦定理，，
即，解得.
变式11．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______．
【答案】/
【解析】
如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.
根据余弦定理得，
解得或（舍去），
故.由正弦定理得，
解得
题型六：正余弦定理与三角性质综合
例16．（2026·高一·上海·阶段检测）已知向量，且，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值．
【解析】（1）因为，所以 ，
即 ，
整理得，
令，则，
解得，
即的单调递减区间为；
（2） ，
即，
因为为三角形内角，故，则，
因此，解得，
由题意知，三角形面积，
由面积公式 ，代入得 解得，
由余弦定理，代入已知条件得： ，
整理得，因此 ，，
即.
例17．（2026·高一·四川遂宁·期中）已知向量，．设．
(1)求的单调递减区间;
(2)在中，角所对的边分别为．若，，的面积为，且，求的值．
【解析】（1） ，
得 ，
正弦函数 的单调递减区间为 ，
令，则 ，
解得 ，
故的单调递减区间为 ；
（2）代入得，
因为 ，所以 ， 因此，解得，
由三角形面积公式，
代入， 得，解得，
由余弦定理，代入，，
得 ，
将 代入上式得 ，
把代入得 ，
因为，由大边对大角性质得，故.
例18．（2026·高一·吉林长春·期中）已知函数，其中，.
(1)若，求函数的单调递增区间和最小值；
(2)在中，、、分别是角、、的对边，且.
（i）求的值；
（ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
【解析】（1），
由解得，
因为，因此函数f（x）的单调递增区间为，
其最小值为.
（2）（i），即，化简可得，
因为，所以，
解得，即，
由正弦定理可得.
（ii）由题意可知，，，在与中，由余弦定理可得，，
因为，
所以，化简可得，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，即，
设，即，代入可得，
化简可得，
因为，所以关于的方程有正根，
因此，即，
所以，即的最大值为，
代入方程，可得，解得，
所以，
因此.
变式12．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知，， ．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．
【解析】（1），
因此最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（2），即，
因为，所以，
因此，即，
因为，两边平方可得，
即，
由余弦定理可得，
联立可得，解得，
所以.
变式13．（2026·高一·四川眉山·期中）已知函数（，，）的部分图象如图，
(1)求函数的最小正周期T；
(2)在中，，D是的中点，，设，,，求的面积．
【解析】（1）．
（2）由图可知，，，解得，．∴，
∵，∴．∴，
∵，∴．
∵，即，∴．
设，．
∵，∴，
∵，，
∴分别在和中，由余弦定理得，
∴．
在中，由余弦定理得．
∴，∴（舍），或，即．
所以，的面积为
题型七：解三角形综合压轴问题
例19．（2026·高一·广东江门·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，且，求面积的取值范围.
【解析】（1）在中，因为，且外接圆的半径为，
由正弦定理，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
因为分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，可得.
（2）如图：
由的面积为，因为为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
即
在中，由余弦定理得，
即，
联立方程组，消去，可得，
所以的面积为，
因为，所以，可得，
则，可得
所以面积的取值范围为.
例20．（2026·高一·湖北襄阳·期中）对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”．
(1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f；
(2)证明：“分离比”；
(3)试求出“分离比”f的最小值．
【解析】（1）设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为，
直角三角形外接圆直径即为斜边，则，
由面积公式得，解得，
．
（2）由正弦定理得，
三角形面积，
又，
，
．
（3），
，
，
，
，
，
，
令，则，即，
则，
，
，故，
令，则，
则转化为，函数开口向下，对称轴为，
当时，取最大值，最大值为，
此时，则，又，
，则，即为等边三角形时，
取最大值，
．
例21．（2026·高一·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．
(1)若△ABC为正三角形，求；
(2)已知
①求证：；
②若，，求面积的最大值．
【解析】（1）为等边三角形．
因为，所以，
所以，
在中，
由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为为等边三角形，，所以，
又，所以，故．
（2）①证明：因为,所以，所以,
，即；
因为,所以，所以
在中，，即．
所以，由正弦定理得：．
因为，所以，即．
②由可得．在中，由余弦定理得，.
因为，所以，所以．
由三角形的面积公式可得：，
所以．
令，则，是关于x的方程的两个根，
所以且，解得．
因为且，所以，解得
又因为，所以．
，
对称轴，所以当时，，
所以．故最大值为.
变式14．（2026·高一·江西上饶·期末）在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，.
(1)求角；
(2)若为边中点，求的最大值；
(3)柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
且，则，可得，
且，所以.
（2）在中，，由（1）知.
由余弦定理，即，
所以，当且仅当时取等号，所以，
因为为边中点，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
（3），
又，，，
因为，
所以，
由三维分式型柯西不等式有：
，
当且仅当，即时等号成立.
由余弦定理，得：，
所以，即，
则，
令，则，
因为，解得，
当且仅当时等号成立，所以，则，
令，
则当，即时，有最大值，
则有最小值为.
变式15．（2026·高一·重庆·期中）布洛卡是法国数学家，当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为.
(1)当时，且时，求；
(2)证明，若，，，求；
(3)求证：.（此处A，B，C分别为的三内角）
【解析】（1）在 中，
由正弦定理得
因为 ，所以（1）
同理，在 ， 中分别有
三式相乘，得（2）
因为 ，所以 ．
设 ，则 ．
由式（1）和式（2）可得
所以（3）
由，得（4）
由式（3）得，所以（5）
令 ．因为 ，所以
由式（4）和式（5）得
因为 ，所以 ，两边约去 ，得
整理得
解得或
因为 ，所以 舍去．
于是
故
（2）先证明
由余弦定理，得
所以
又因为所以
因此原等式得证．
当 ，， 时，由余弦定理得
又
由已证结论可得
设
由第（1）问中的正弦定理关系可得
因为
所以（6）
此时
于是
又由 可得
代入式（6），得
展开并利用 ，得
所以
即
因为 为实数，所以 ，故
所以从而
（3）由第（1）问中的正弦定理关系，有（7）
设
因为.
代入式（7），得（8）
下面由 推出两个恒等式．
由得
两边同除以 ，得
所以（9）
又由得
两边同除以 ，得
所以（10）
由式（8）和式（10），得
展开左边，得
再由式（9），得
整理得
因为 为实数，所以 ，故
即
于是
展开得
由式（9）可知 ，所以
又
所以
因此
1．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由，
则由正弦定理有，即
则由余弦定理有，
又在△ABC中，，则，
又，即，
所以△ABC的面积为．
2．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形面积公式 ，代入已知，；
，解得：，
根据余弦定理 ，代入， ，
对式子变形： ，代入，
得： ，即 ，所以，
三角形周长为.
3．（25-26高一下·四川广安·期中）在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，，，，.
可得，，
所以，
在中，由正弦定理得，，，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
因此，
设，可得，
由二次函数性质可知，令，
当时，取最大值，最大值为正，
即当，取到最小值，此时.
4．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得，
根据余弦定理得，即，
所以的周长为．
5．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）若外接圆的圆心O，半径为，且，则边BC长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为，
则，由，
得，
，则，等式两边同时乘以是，
，由外心性质可得：
，则，
即，
因此，所以．
6．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m
A． B．8 C．12 D．
【答案】C
【解析】如图：
依题意，在中，，，，
所以，
由正弦定理，得.
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以.
7．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由正弦定理可得，而，
故即，
所以，
由题设条件可知均不为直角，故，故，
而所以，
故，
而，解得，若，则均为负，
则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故，
而为三角形内角，故.
8．（25-26高一下·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理得：，
因此，
则，
而，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
所以．
9．（多选题）（25-26高一下·四川广安·期中）中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则有两解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
【答案】BC
【解析】选项A：因为，
所以，化简可得，
因为，所以解得，故A错误；
选项B：若，且，则，
因此有两解，故B正确；
选项C：若为锐角三角形，则，且，
所以，即，
根据正弦定理可得，即，
所以取值范围是，故C正确；
选项D：若为边上的中点，则，
，
根据余弦定理可得，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
因此，当且仅当时等号成立，故D错误.
10．（多选题）（25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为钝角三角形
C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】A. 由，得，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误；
B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确；
C. 由得，
，化简得，因为，
所以，则，所以为直角三角形，故正确；
D. 因为为锐角三角形，则，所以，
因为在上递增，则，故正确；
11．（多选题）（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】ACD
【解析】对于AB，由于，，，
在中，，即，
在中，，即，
联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误．
对于C，，故C正确．
对于D，的面积，故D正确．
12．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________
【答案】/
【解析】因为，，，
由余弦定理得，
整理得，解得，
设边上的高为，由等面积可得，
解得.
13．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，
解得（负值舍去），所以．
又因为，所以，
所以△ABC的面积为．
14．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．
【答案】1
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个.
15．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．
(1)求的值；
(2)若是线段的中点，求的值．
【解析】（1）因为，且为锐角，所以，
又因，由余弦定理，．
（2）因为是线段的中点，所以，
则，
即，即的值为．
16．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在中，．
(1)求；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：的周长为；
条件②：；
条件③：．
【解析】（1）在中，，
由正弦定理可得，
整理得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）选择条件①：因为的周长为，
，则，
由余弦定理，得，又，
所以，即，又，
解得，所以的面积；
选择条件②：因为，，
所以，因为，
由正弦定理，可得，
又，，
所以，
所以的面积；
选择条件③：因为，
满足，所以角不唯一，与条件矛盾，故条件③不成立．
17．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，．
(1)求的值，并求函数的对称中心坐标；
(2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角；
(3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积．
【解析】（1）由，得，
令，得，
则函数的对称中心坐标为.
（2）由题意，，
当时，，
对任意，都有恒成立，
则为在上的最大值，所以，则.
（3）由，得，
设的内切圆半径为，过点作，垂足为，
由于为的内心，则，
而为的角平分线，则，
所以，
由，得，即，
由余弦定理得，，则，
即，则，解得或（舍去），
则.
18．（25-26高一下·北京平谷·期中）在中，角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理：
已知，即，代入，
得：
又，故.
（2）已知，且，则：，
由，得：，
由正弦定理， ，
所以
19．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
【解析】（1）由题意知，在中，，，，
则，
在中，由正弦定理，可得，
则．
（2）在中，，
所以为等腰三角形，所以．
在中，由余弦定理得，
即，
所以．

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