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第05讲 解三角形方法在几何中的综合运用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3
03 重难点题型 4
题型一：两次应用余弦定理（双角型） 4
题型二：正弦定理的两次连用技巧 7
题型三：三角形中线相关的解三角形问题 12
题型四：三角形角平分线相关的解三角形问题 15
题型五：三角形高线相关的解三角形问题 18
题型六：三角形外接圆与内切圆问题 22
题型七：三角形 “四心” 相关的综合问题 29
04 过关检测 35
知识点1：解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一：两次应用余弦定理（双角型）
例1．在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长．
【解析】设四个角A，B，C，D的度数分别为，，，，
则由四边形的内角和定理有，解得，
所以，，，．
连接，在中，如图：
由余弦定理得，
所以，此时，
所以为直角三角形，，，
所以在中，，，
所以由正弦定理得，
所以的长度为．
例2．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，D是BC边上的点，且．

(1)求；
(2)求．
【解析】（1）由题意可知， D是BC边上的点，且，所以,
在中，根据余弦定理，，所以.
（2）在中，根据余弦定理，，
所以，在中，，
因为，所以.
例3．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
【解析】（1）设，依题意，，
则，，
即，而，
所以.
（2）连接，中，，，
由余弦定理得，
则，即，设，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是.
变式1．（25-26高一下·吉林·阶段检测）在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求BC的长．
【解析】（1）因为，，所以，
因为，所以，
设，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得：.
（2）在中，由余弦定理可得，
所以，化简得，
解得，
因为是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得：
，
所以.
题型二：正弦定理的两次连用技巧
例4．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求线段的长度；
(2)求的值．
【解析】（1）由，得，在中，已知，，
由三角形面积公式 可得 解得：；
（2）由余弦定理即 ，
解得
设，在由正弦定理，得，
在中，由正弦定理 ，得.
例5．（25-26高一下·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
(1)求证：正的外心是的布洛卡点；
(2)若满足，且时，求；
(3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
【解析】（1）
若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：，
所以，则正的外心是的布洛卡点.
（2）
由余弦定理可得：，
代入数据解得：，故，
在中，设，则，，所以，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
在中，由正弦定理得：，
代入数据得：，即：，
所以，即：，
利用正弦的差角公式展开：，所以，
则.
（3）
因为，所以，
则，
由题可知：，所以，则，
利用余弦定理可得：，
化简得：，
又因为，所以，
三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边，
所以，则，即：.
令，其中，分析可得：在上单调递减，且 ，，
所以值域为：.
例6．如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长.
【解析】在中，，
由正弦定理，可得，
因为，所以，所以，
在中，且
由正弦定理，可得.
变式2．（25-26高一下·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的大小．
①面积；
②．
【解析】（1）选①：由，得，
由余弦定理可得，得，
，所以；
选②：在中，所以，
.
（2）选①：因为，所以，
在中，由正弦定理可得，解得，
又因为，
所以满足这样的三角形有两解，所以或；
选②：在中，由正弦定理可得，解得，
因为，则，
在中，解得，
又因为，
故满足这样的三角形有两解，故或．
变式3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
所以．
（2）设，则由题意可知，．
在中，由正弦定理得，即，
即，
在中，由正弦定理得，即，即，
又，所以，
所以，解得，所以．
题型三：三角形中线相关的解三角形问题
例7．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且
(1)求角的值；
(2)若是边上的中线，，求的面积．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
由正弦定理得，
即，且，则，
可得，因为，
所以.
（2）由题意得，
则，
即有，且，
解得，
所以，
故的面积为．
例8．（22-23高一下·浙江湖州·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
【解析】（1）连接，则是的中位线，
故，且，
在中，，又，
故是等边三角形，
所以，
因为∽，所以，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
解得，则，
因为，所以，
在中，由勾股定理得，
因为∽，所以，解得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以的余弦值为.
例9．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，
因为为中BC边的中线，
所以，
则
，
所以.
变式4．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若，边上的中线，求边a，b的长.
【解析】（1）证明：由正弦定理得：，
即；
（2）因为，
即.
则，
因为，
所以；
（3）因为，由余弦定理知：，
即，
，，
即，
，，
故，
解得：，或，.
题型四：三角形角平分线相关的解三角形问题
例10．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．
【解析】（1）因为，且，
所以，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
所以．
（2）因为角C的平分线交AB于点D，所以，
所以，所以，
由（1）可知，，结合余弦定理可得，
从而，
，则，
又，
解得．
例11．（25-26高一下·河南驻马店·期中）在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，.
①求边b的值；
②若的平分线交于点D，求的长.
【解析】（1），，.
（2）①由余弦定理可得，
又，可得，可得，
又，
所以，则；
②由题意，
即，
所以.
例12．（25-26高一下·广东·期中）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积.
(1)证明：；
(2)角的平分线交于点，且，，求.
【解析】（1）由三角形面积可得，
又因为且，所以，化简得，
由正弦定理，则，
又，
所以，整理得，
则或，解得或（舍），
因此，得证.
（2）因为为的平分线，，
则，所以.
在等腰中，由余弦定理得①，
又，，，
，
所以，又因为，
因此，，又，
整理得②，
联立①②得，化简得，解得，（舍），
所以，即，
在中，由余弦定理得，
又，所以.
变式5．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且．
(1)求b；
(2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度．
【解析】（1）因为，所以，
由余弦定理得 ，所以 ，
又，所以；又因为外接圆半径，
则由正弦定理可得.
（2）由（1）知，，，且，
由余弦定理可得，化简得，
所以，，
的平分线交AC于D，则，
在中，由等面积法得，
即，
即
所以.
题型五：三角形高线相关的解三角形问题
例13．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求的周长．
【解析】（1）由及正弦定理，
得．
因为，所以，
即，即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）由三角形面积公式，得，
将代入，得，所以．
由余弦定理，得，
解得或（舍去），则．
所以的周长为
例14．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且.
(1)求；
(2)若BC边上的高等于，求的值.
【解析】（1）由及得，①
在中，有，②
由①②可知，
则有，
又，所以，由可得,
因此可得；
（2）如图所示，过作BC边上的高交BC于，
由题意可知，由（1）中可知是等腰直角三角形，
所以，.
在中，，
则有，所以，
则在中，由余弦定理可得.
例15．（25-26高一下·北京·期中）在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
【解析】（1）由正弦定理及
得．
所以．
所以．
又因为，所以．
所以．
（2）选条件①：因为，且，
所以．
因为，所以．所以．
又因为，所以．
所以．
又，所以．
所以的周长为．
选条件②：因为边上的高为，所以．
又因为，所以．
所以．
因为，所以．
（1）当时，由，得．
又，所以．
联立，解得．
所以的周长为．
（2）当时，由，得．
又，所以，不符合题意．
综上，的周长为．
选条件③：因为，所以，所以角必为锐角，故，
由余弦定理，可得，即．
解得或，此时不唯一，不符合要求．
变式6．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求边上的高.
【解析】（1）因为，所以，
化简得，即，
所以是等腰三角形，
（2）由余弦定理可得，得，
解得，由，所以，
所以的面积，
又，所以，
所以.
题型六：三角形外接圆与内切圆问题
例16．（25-26高一下·湖北·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ．
(1)若，求；
(2)若不是直角三角形．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值．
【解析】（1）通过移项可得，
利用二倍角公式得到，
当时等式成立，；
当时，，整理得，解得
综上，或；
（2）由（1）可知，，可得，
由正弦定理得
易得，设 ，则．
又函数在区间上单调递减，区间上单调递增，
所以当时原式取得最小值为；当和1，原式取得最大值均为1．
综上，．
（II）由 可得， ，则
，易证与相似，解得．
设，由勾股定理可得，解得．
由正弦定理得 ，
解得，
因此有 ，根据内切圆半径公式，得
，则．
另如图所示，容易算出 ，
过点作 ，于是四边形为矩形，三角形为等腰三角形．
设，在中，，结合 ，
可算出．一方面，，
代入，即得；
另一方面，．
从而．
例17．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长；
(3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值.
【解析】（1）由及正弦定理，得.
又因为，
所以.
因为，所以，则，
即.
由，得，解得.
又因为，所以.
（2）由，，得.
又因为，所以.
因为角A的平分线交边于点E，所以.
因为，
所以，
所以.
（3）在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以.
例18．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记.
(1)若，求；
(2)若，求的最大值；
(3)若点满足，求四边形的面积.
【解析】（1）因为，则，即，
则四边形为梯形，又为圆的内接四边形，
则四边形为等腰梯形，又，，
等腰梯形的高为，
所以；
（2）由题意得 ，
得，
在中利用余弦定理可得，
，
所以，
设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得
，
故的最大值为；
（3）设，则，
因，则，
，
在中利用正弦定理可得，
则 ，
则 ，
且（因），
即，即，
又 ，即，
则，
又，则，解得（舍）或，
因，则，
代入中得，
则，则，
则，
则四边形的面积为．
变式7．（25-26高一下·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答：
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围.
条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为；
条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
化简得，又，，
所以，即，又，
所以.
（2）（i）若选择条件①，如图，设为外接圆的圆心，半径为，作，垂足为，
因为，所以，故，
又，所以，即，
所以.
若选择条件②，因为，由余弦定理得，
化简得.
（ii）由，，得，所以，，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，即，解得，
所以，故，
所以，即的周长的取值范围为.
变式8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件．
(1)求的大小；
(2)求面积的最大值；
(3)求的内切圆半径的最大值．
【解析】（1）依题意，，
整理得：，
由余弦定理：，
因为是锐角三角形，，故；
（2）由（1）得，三角形的面积，
由基本不等式，结合，
得：当且仅当时等号成立，
代入得：；
（3）三角形的面积，故，
代入得：，
由，得，代入化简：，
由正弦定理得，而，由是锐角三角形得，
，
当时，，，代入得：.
题型七：三角形 “四心” 相关的综合问题
例19．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ）
A．点G为的重心，若，则
B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为
C．若点O为内一点，且，则
D．若，则的最大值为
【答案】D
【解析】选项A：点为的重心，设中点为，则，
故，即，，所以，A正确；
选项B：首先，且必有两种可能的取值，而满足，即，
故关于的方程必有两个不同的正数解，从而判别式为正数，且两根之积为正数，
即，，结合，得，
另一方面当时，确有两解，所以的取值范围是，B正确；
选项C：若点为内一点，且，延长交于点，
故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而，
即，所以，故，C正确；
选项D：由于，
故由数量积定义得，
由余弦定理化为，
整理得，则，当且仅当时等号成立.
故，即最大值为，D错误.
例20．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点为，
因为点是正三角形的重心，则，即，
所以，①
设，，，，，
则
，②
所以结合①和②可得，整理得，
又，，则，
得，且，解得，
又因为是边长为3的正三角形，则，，
则的面积为
，
令，，则，，
，，
根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为，
所以面积的最大值为．
例21．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则为内心
②若，则为等腰三角形
③若，则为的外心
④若，则点的轨迹一定经过的重心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①：由得为重心，故①错误；
对于②：由得，
又，所以，所以为等腰三角形，故②正确；
对于③：由得，同理得，
所以为的垂心，故③错误；
对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令，
则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确.
故选：B.
变式9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知中，为的内心，，则周长的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】B
【解析】因为O是的内心
所以，
由于，
所以，故.
中，由余弦定理，得，
所以（当且仅当时，取“=”）
即，即周长的最大值为6.
故选：.
变式10．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由正弦定理得，
又因为，
可得，解得，
因为，所以；
如图所示，设，延长交于点，
则，
所以，同理可得，
过点作，
则
又由，所以,
所以，可得，
即，
因为为的外心，设的内切圆的半径为，
可得，
可得，即，
又因为，即，可得，
由正弦定理得,
又因为，可得，因为且，所以，可得，
所以，可得，.
故选：D.
1．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形；
②若，则一定是钝角三角形；
③若点是边上的点，且，则的面积是面积的；
④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形；
⑤动点的轨迹一定通过的内心．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】即或，故为等腰三角形或直角三角形，故①错误；
对②，由余弦定理得，已知，且，故，
又，则，即为钝角，为钝角三角形，故②正确；
对③，由，移项得，即，
故，如图所示：
与同高，面积比等于底边长之比，因此，故③错误；
对④，若，则为的重心；
若，则为的外心，
当三角形的重心与外心重合时，为等边三角形，故④正确；
对⑤，由得，
其中、分别为、方向上的单位向量，
二者和的方向与的角平分线方向一致，
故动点的轨迹为的角平分线，必过的内心，故⑤正确；
综上，正确命题为②④⑤，共个，故C正确.
2．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设的内角所对的边分别为，
对于的外心，有性质，.
∵ ，
∴ ，
同理可得，.
将上述结果代入，
得 ，
化简得 .
∵ ，由正弦定理，得 ，即.
将代入，得 ，即，故.
由余弦定理，，代入，，
得 .
3．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】因为是的角平分线，所以，
设边上的高为，则，
所以，令 ，
得，
过点作，垂足分别为，
由外心性质得分别为的中点，所以
，
即，解得或，
又，所以，即 ．
4．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接.
(1)求的长；
(2)若，求的长.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
且.
所以.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理得
5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，已知边上的两条中线相交于点
(1)求长
(2)求的余弦值．
【解析】（1）已知，由余弦定理得：
，
故.
是中线，交点是的重心，重心分中线比为，，延长到点，使，连接：
因为是中点，，，，
所以，得，且.
在中由余弦定理：
故，又，所以.
由重心性质，得：.
（2）如图所示，是中点，所以，在中，
已知，由余弦定理得：
故.
由重心性质得：，
又分别是中点，由中位线性质得.
在中，由余弦定理：，
代入数值计算：，
，
所以.
6．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，．
(1)若．
①求的长；
②求四边形的面积；
(2)若，求的长．
【解析】（1）①，，即
由余弦定理得，
代入得：，
化简得：，解得.
②设四边形的面积为，，
.
（2）如下图，过点作垂线交于，设，
，
四边形是矩形，，
对用勾股定理得：，
对用勾股定理得：，
对用余弦定理得：，
即，化简得
两边平方得：，
再化简得：，
解得或4，，或2，
又是锐角三角形，，
即，得，.
7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，．
(1)证明：；
(2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值．
【解析】（1）证明：设，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
所以.
（2）因为的外接圆半径为1，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理得，
即，①
在中，同理可得，②
由①②可知，是关于的方程的两根，
所以．
的面积为.
由，得到，
又因为，所以，
所以
即面积的最大值为.
8．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且.
(1)求b边的长度；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值.
【解析】（1）∵.
由正弦定理：，
由余弦定理：，
∵，∴.
（2）由（1）得，
∵D为中点，∴，设 ，
∴，
解得，易得，∴的面积为.
（3）设，，
∵E，F，G共线，∴可设，则，
又，
由平面向量基本定理得，∴，
由与，
则
∴当且仅当，即时取等，此时，，
∴，即与方向相同.
∴ .
9．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若的平分线交边于点D，且，，求的面积．
【解析】（1），
，
即，即，
，，．
（2）在中，由正弦定理得，．
在中，由正弦定理得，．
两式相除可得，即．
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，解得，．
的面积．
10．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，故.
（2）因为，所以，
又为角的平分线，，
所以，即，
所以，又，
所以，，
又，
所以.
11．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(3)若，，的平分线交边于点，求的长．
【解析】（1）由，可得，
化简得，
，
，又，
所以，即；
（2）因为为锐角三角形，，
所以，即，解得
由正弦定理可知，即，
所以，
由，可得，则，
则，则的周长的取值范围为；
（3）由得，即，
由，即，解得，
所以，解得，
可知，即，
由，可得，
所以，得，
解得.
12．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求及BC边上的高．
【解析】（1）由题意得，可得，
根据A为三角形的内角，可得，
所以，可得；
（2）由正弦定理及，可得，
因为，所以均不为0，
所以，即，所以，
所以
，
由正弦定理得，则，解得，
所以中，BC边上的高.
13．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)边上的高．
【解析】（1）由正弦定理，得，解得．
（2）由余弦定理得，即，
整理得，解得或（舍去），所以．
（3）由（2）知．
三角形面积．
又边即边，
设边上的高为，则
．
故边上的高为．
14．（2026·北京海淀·三模）在中，角所对的边为，已知．
(1)求；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：．
【解析】（1），
根据辅助角公式可得
（2）选择条件①，,，由正弦定理，代入得，
由余弦定理，得解得（负值舍掉），
边最长,设其高线是,所以，代入得，解得．
选择条件②，由面积公式，得，
由余弦定理，得,即,
联立得或，两种情况最长边均为,面积均为，
故最长边上的高．
选条件③，由正弦定理得,
不符合三角函数值域，故不存在．
15．（25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)已知，的内切圆半径为.
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的最大值.
【解析】（1）易得，
由正弦定理得，
而，故，
易知，故，
即，由可知
（2）（ⅰ）记的面积为，则，即，，
而，即，故，
于是，解得，
而，故，同理，
故，得到
（ⅱ）
，
而，即，
故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
16．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；
【解析】（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长.中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 解三角形方法在几何中的综合运用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3
03 重难点题型 4
题型一：两次应用余弦定理（双角型） 4
题型二：正弦定理的两次连用技巧 5
题型三：三角形中线相关的解三角形问题 7
题型四：三角形角平分线相关的解三角形问题 8
题型五：三角形高线相关的解三角形问题 9
题型六：三角形外接圆与内切圆问题 10
题型七：三角形 “四心” 相关的综合问题 12
04 过关检测 14
知识点1：解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一：两次应用余弦定理（双角型）
例1．在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长．
例2．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，D是BC边上的点，且．

(1)求；
(2)求．
例3．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
(1)若，，且，求；
(2)若，且，求的最大值．
变式1．（25-26高一下·吉林·阶段检测）在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求BC的长．
题型二：正弦定理的两次连用技巧
例4．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求线段的长度；
(2)求的值．
例5．（25-26高一下·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
(1)求证：正的外心是的布洛卡点；
(2)若满足，且时，求；
(3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域.
例6．如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长.
变式2．（25-26高一下·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的大小．
①面积；
②．
变式3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
题型三：三角形中线相关的解三角形问题
例7．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且
(1)求角的值；
(2)若是边上的中线，，求的面积．
例8．（22-23高一下·浙江湖州·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
例9．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
变式4．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求C；
(3)若，边上的中线，求边a，b的长.
题型四：三角形角平分线相关的解三角形问题
例10．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．
例11．（25-26高一下·河南驻马店·期中）在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，.
①求边b的值；
②若的平分线交于点D，求的长.
例12．（25-26高一下·广东·期中）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积.
(1)证明：；
(2)角的平分线交于点，且，，求.
变式5．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且．
(1)求b；
(2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度．
题型五：三角形高线相关的解三角形问题
例13．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求的周长．
例14．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，角的对应边分别是，且.
(1)求；
(2)若BC边上的高等于，求的值.
例15．（25-26高一下·北京·期中）在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
变式6．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求边上的高.
题型六：三角形外接圆与内切圆问题
例16．（25-26高一下·湖北·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ．
(1)若，求；
(2)若不是直角三角形．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值．
例17．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长；
(3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值.
例18．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记.
(1)若，求；
(2)若，求的最大值；
(3)若点满足，求四边形的面积.
变式7．（25-26高一下·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答：
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围.
条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为；
条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件．
(1)求的大小；
(2)求面积的最大值；
(3)求的内切圆半径的最大值．
题型七：三角形 “四心” 相关的综合问题
例19．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ）
A．点G为的重心，若，则
B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为
C．若点O为内一点，且，则
D．若，则的最大值为
例20．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例21．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则为内心
②若，则为等腰三角形
③若，则为的外心
④若，则点的轨迹一定经过的重心
A．1 B．2 C．3 D．4
变式9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知中，为的内心，，则周长的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
变式10．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形；
②若，则一定是钝角三角形；
③若点是边上的点，且，则的面积是面积的；
④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形；
⑤动点的轨迹一定通过的内心．
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接.
(1)求的长；
(2)若，求的长.
5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，已知边上的两条中线相交于点
(1)求长
(2)求的余弦值．
6．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，．
(1)若．
①求的长；
②求四边形的面积；
(2)若，求的长．
7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，．
(1)证明：；
(2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值．
8．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且.
(1)求b边的长度；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值.
9．（25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若的平分线交边于点D，且，，求的面积．
10．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值.
11．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(3)若，，的平分线交边于点，求的长．
12．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求及BC边上的高．
13．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)边上的高．
14．（2026·北京海淀·三模）在中，角所对的边为，已知．
(1)求；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：．
15．（25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)已知，的内切圆半径为.
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的最大值.
16．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值.
(2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长；

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