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第06讲 三角形边角范围及最值问题解法探究
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形范围与最值的方法 3
03 重难点题型 4
题型一：求三角形周长的取值范围或最值 4
题型二：求三角形面积的取值范围或最值 7
题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 12
题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 14
题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 18
04 过关检测 25
知识点1：解决三角形范围与最值的方法
在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
题型一：求三角形周长的取值范围或最值
例1．（2026·高一·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且．
(1)若为的外接圆，求的半径；
(2)求锐角周长的取值范围．
例2．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求的周长；
(2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值；
(3)若，求锐角周长的取值范围.
例3．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长；
(3)若，求周长的取值范围.
变式1．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求；
(2)若，求周长l的最大值.
题型二：求三角形面积的取值范围或最值
例4．（2026·高一·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
例5．（2026·高一·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
例6．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且．
(1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小；
(2)求露营区面积的最大值．
变式2．（2026·高一·上海·期中）已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在上的最值；
(3)在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值.
变式3．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
(1)求，
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值
例7．（2026·高一·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
例9．（2026·高一·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2026·高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题
例10．（2026·高三·全国·二轮复习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2026·高一·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2026·湖北武汉·模拟预测）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.
变式5．（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知锐角中，，，则的范围为___________.
变式6．（2026·高一·江苏泰州·期中）在锐角中，若，则的范围_______．
变式7．（2026·高一·贵州·阶段检测）在中，的对边分别为，若，则____________；的范围_____________.
题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值
例13．（2026·高一·山西·期中）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．
例14．（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）求角的范围；
（ⅱ）已知，求的取值范围．
例15．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．使为锐角三角形的的整数值只有1
变式8．（2026·高一·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2026·高一·湖北·期中）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2026·高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·高一·福建福州·期中）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，.若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·高一·山东·阶段检测）在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．取值范围为
D．若的平分线交于，，，则
7．（多选题）（2026·高一·浙江温州·期中）在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．有最大值
C． D．
8．（多选题）（2026·高一·山东青岛·阶段检测）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ）
A．的最小值为 B．
C．中线的长度为 D．
9．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．周长取值范围为
D．和面积之差的取值范围为
10．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）已知平面四边形中，，，.
(1)若，求的长；
(2)设，记四边形的周长，求的最大值.
11．（2026·高一·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
12．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
13．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）在锐角中，求的范围．
14．（2026·高一·湖南长沙·期中）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
15．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
(1)求A；
(2)若，周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围.
16．（2026·高一·四川内江·期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
17．（2026·高一·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，求的取值范围.
18．（2026·高一·四川凉山·期中）已知.
(1)求函数的单调增区间；
(2)若，求的值；
(3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.
19．（2026·高一·河北承德·阶段检测）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)若，求边上的中线的取值范围．
20．（2026·高一·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求的面积S的取值范围．
21．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知函数，在上的最大值为3．
(1)求的值及函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第06讲 三角形边角范围及最值问题解法探究
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01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形范围与最值的方法 3
03 重难点题型 4
题型一：求三角形周长的取值范围或最值 4
题型二：求三角形面积的取值范围或最值 7
题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值 12
题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题 14
题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值 18
04 过关检测 25
知识点1：解决三角形范围与最值的方法
在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．
题型一：求三角形周长的取值范围或最值
例1．（2026·高一·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且．
(1)若为的外接圆，求的半径；
(2)求锐角周长的取值范围．
【解析】（1）由正弦定理原式可化为：，
整理得：，
即，
由余弦定理，代入得，
因为是锐角三角形，故，
由正弦定理可得，
所以的半径为；
（2）由（1）得，则，
即，
由正弦定理可知，，
所以
．
因为为锐角三角形，所以，，
则，，
则，即，
则，
故的周长的取值范围为．
例2．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求的周长；
(2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值；
(3)若，求锐角周长的取值范围.
【解析】（1），
由 ，
由，因此，
其中，则，故，
由，可得，
由，则，可得，
所以或，又，则，即，
综上，，故三角形的周长为；
（2）由已知，又的面积为，则，解得，
又，则
当且仅当时，等号取到，所以；
即边上中线长的最小值为．
（3）由正弦定理可知：，
因此有
，
由于，故，则，
可得，因此.
例3．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长；
(3)若，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，因为，
所以，即，
因为所以，故 ，则；
（2）因为的面积为，即，
所以.
由余弦定理得.
解得, 所以周长为.
（3）由正弦定理得，即，
则，
因为为锐角三角形，则 ，故，
所以，则，
故，
故周长的取值范围为.
变式1．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求；
(2)若，求周长l的最大值.
【解析】（1）在中，，则，
代入，得，
化简得：，显然，则，
由于，则，由，
因此.
（2）周长，要求周长的最大值，即求的最大值，
已知，，代入余弦定理可得，
则，
因此要求的最大值，即求的最大值，
利用基本不等式得，当时，取最大值，
此时，
因此，周长的最大值为.
题型二：求三角形面积的取值范围或最值
例4．（2026·高一·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C
(2)若c＝6．
（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【解析】（1）因为，，
所以由正弦定理得，
，
则，由，得，所以，则．
（2）（Ⅰ）由正弦定理得，，
所以，.
△ABC的周长，
由，得.
则，
所以的周长的取值范围为．
（Ⅱ）由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以面积的最大值为．
例5．（2026·高一·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
，
因为，所以，
因为，所以；
（2），
由余弦定理得，
化简得，又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以，故的面积最大值为.
例6．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且．
(1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小；
(2)求露营区面积的最大值．
【解析】（1）由题设，，
而，即，故.
（2）由题设，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即露营区面积的最大值.
变式2．（2026·高一·上海·期中）已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在上的最值；
(3)在中，，若对任意实数恒有，求面积的最大值.
【解析】（1）由
，
则函数的最小正周期为，
令，解得，
则函数的单调递增区间为.
（2）当时，，
则，即，
则函数在上的最小值为，最大值为.
（3）由，得，
因为，所以，则，即，
由，得，
两边平方，得，
则对于任意实数恒成立，
所以，
则，
即，则，
而，，则，
即，则，
所以，
当且仅当等号成立，则面积的最大值为.
变式3．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
(1)求，
(2)若，且的面积为，求的周长；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）由和正弦定理，可得，
其中，故．∴，即，
因为，所以.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以的周长为.
（3）因为是锐角三角形，，
所以，解得，
由正弦定理，，则，
所以，
，
由得，所以，
所以，
即面积的取值范围为.
题型三：求三角形中指定边长或边长之和的取值范围与最值
例7．（2026·高一·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得：，即，
所以，又，所以，
由正弦定理得：，
所以，
所以
又
所以由是锐角三角形得：，
，即的取值范围是．
例8．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】取，根据已知条件可知为的重心，
由，设，，则，，，，
由，
又因为，
所以，
由余弦定理可知，
令，则，
即，
因为，所以，即，
因为，所以的最小值为．
例9．（2026·高一·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三角形中，
所以由，可得，
即，
所以，
即，
又在锐角三角形中，，
则或，即或（舍去）.
因为.
由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
则.
变式4．（2026·高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，设，由余弦定理得，
又，，所以，
由题意，为等腰直角三角形，则，
，则，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得
，
当时，取得最大值，且为，
所以对角线的最大值为.
题型四：通过转化为角的范围求解三角形相关问题
例10．（2026·高三·全国·二轮复习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，所以，
又三角形面积公式，可知，所以，
又，所以，
由正弦定理得
，
在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，
所以，
从而.
故选：A
例11．（2026·高一·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由及正弦定理得，
所以，得，
所以或（舍去），所以，
因为是锐角三角形，故，解得，
故，，
.
故选：D
例12．（2026·湖北武汉·模拟预测）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
又为锐角三角形，所以，解得，
故，，
则
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，即．
故答案为：；．
变式5．（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知锐角中，，，则的范围为___________.
【答案】
【解析】根据题中条件，由正弦定理，得到，再求出的范围，即可得出结果.因为锐角中，，，
所以，由正弦定理可得：，
则，
又为锐角三角形，所以，即，所以，
因此，所以.
故答案为：.
变式6．（2026·高一·江苏泰州·期中）在锐角中，若，则的范围_______．
【答案】
【解析】由正弦定理可知,而在锐角中，, ,所以,从而有,
故答案为:.
变式7．（2026·高一·贵州·阶段检测）在中，的对边分别为，若，则____________；的范围_____________.
【答案】
【解析】，
由余弦定理可知，
又，所以，
，
∵，
∴，
∴，∴
∴.
故答案为：；.
题型五：在锐角三角形条件下求几何量的范围与最值
例13．（2026·高一·山西·期中）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．
【解析】（1）由已知，所以；
（2）（i）根据题意，由知，，
利用辅助角公式得，其中，
不妨令为锐角，当时，取到最大值，即，
则，同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
则，当且仅当时取等号.
（ii）由，结合（i），，
利用正弦定理边化角可得，其中，，
所以，
，
且，则，
所以，
由于三角形是锐角三角形，则，得，故，
所以，易知.
例14．（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）求角的范围；
（ⅱ）已知，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，向量，，且，
所以，即，
由正弦定理，可得，
即，
所以，
由于，则，，
代入得：，
因为中，，所以，
则，即，又是三角形内角，所以或．
（2）（ⅰ）因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，解不等式得，
所以的范围为；
（ⅱ）由正弦定理（为外接圆半径），
又，，则，，，
因为，，所以，则，
化简可得
，
所以
，
又由（ⅰ）得，，所以，
又根据正切函数的图象性质，在上单调递增，
所以，即．
所以，所以，所以，
即，即.
例15．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．使为锐角三角形的的整数值只有1
【答案】ACD
【解析】由题意知，在中，满足
对于A，由正弦定理知，可得，
因为，可得，可得，故A正确；
对于B，由余弦定理得
，当且仅当时等号成立，
因为，所以，故B错误；
对于C，由于，，则，
则由，得，
解得，则；
另解，由，可得，解得，
所以实数的取值范围是，故C正确；
对于D，在区间内的整数只有1和2，
当时，由，此时为等边三角形，也是锐角三角形；
当时，可得，且，
则，此时，C为钝角，不符合题意，
故使为锐角三角形的的整数值只有1，故D正确．
变式8．（2026·高一·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
又，所以，
即，即，
由于，所以，
由正弦定理可知，，
，
由于，
所以，
设，则，，
由于函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，的取值范围为.
变式9．（2026·高一·湖北·期中）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，得，又，得，
由余弦定理得：，化简得，
由正弦定理得：，
由于，
代入化简得，
因为，则，
又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则，
因为是锐角三角形，所以有解得，则，
，
令，则有二次函数，
由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增，
因此，故，故D正确.
1．（2026·高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，即，所以，所以，，解得，
因为锐角，，所以，解得，所以，所以
由正弦定理得，所以，所以
2．（2026·高一·福建福州·期中）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由余弦定理可得，，所以.
因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以，
解得，所以a的取值范围为.
法二：因为，，所以，
因为角C有两解，A为锐角，所以，即.
所以a的取值范围为.
3．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，.若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，
即，
所以，
即，
又在锐角三角形中，，
则或，即或（舍去）.
因为.
由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
则.
4．（2026·高一·山东·阶段检测）在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，根据正弦定理 ，
边化角得： ，
因为，所以，
代入上式： ，
整理得，
因为，，所以，得，
由正弦定理， ，
因此： ， 又，，
代入得：
因为，所以，
则，
因此：
5．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
由，得,
所以，
，
，
由，得，
所以，又，所以．
由，得，
所以
，
由为锐角三角形，得，所以，解得，
由，得，所以．
所以，即
6．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．取值范围为
D．若的平分线交于，，，则
【答案】ABD
【解析】选项A：由正弦定理 ，得 ，
代入得： ，
所以，
所以，
由，得 ，故 ，
于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确；
选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以
，
解得：，故 ，故选项C错误；
选项B：
，
因为，令 ，则 ，
函数 在该区间单调递增，
，，
所以，故选项B正确；
选项D：因为，且为锐角，得：
由 ，得：，
所以，
因为 AD是的平分线，
由面积关系，得：
所以，
因为，代入得：，
两边同除以：，
由三角恒等式，得：
又因为 ，所以 ，故选项D正确.
7．（多选题）（2026·高一·浙江温州·期中）在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．有最大值
C． D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，
故，
因为是锐角三角形，所以，故，
即，选项A正确；
，
由辅助角公式得，其中，，，
当时，取最大值，
此时，
所以，
化简得，
即，解得或，
因是锐角三角形的内角，所以，即，
，满足条件，
但由余弦定理得，，代入求得，即为钝角，
与锐角三角形矛盾，故无法取最大值，选项B错误；
因为，，所以，
设的外接圆半径为，则，即，选项C错误；
由于，所以，，故，
要证，等价于证明，
因为，
所以，当且仅当时等号成立
，
当且仅当时等号成立，
因为该三角形为锐角三角形，所以，故选项D正确.
8．（多选题）（2026·高一·山东青岛·阶段检测）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ）
A．的最小值为 B．
C．中线的长度为 D．
【答案】ABD
【解析】对于A：由，即，
当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：由余弦定理有：，解得，
由
，
由正弦定理得：，
又由余弦定理得，
所以
，故B正确；
对于C：由，所以
，所以，故C错误；
对于D：由选项B有①，
又，所以，
又②，
由①②有：，又由选项A有，且为锐角，
所以，所以，
所以，又为锐角三角形，所以，
所以，
所以，当时，等号成立，故D正确.
9．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．周长取值范围为
D．和面积之差的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对A：由与正弦定理可得，
即，，，
又，故，故A正确；
对B：，所以由正弦定理，可得 ， ①
又因为，即，即， ②
将①代入②可得，解得，选项B错误；
对C：由正弦定理，，故：
展开，得：，
周长，
利用三角恒等变换，
结合，得，故：，故选项C正确；
对D：设外接圆半径为，则，且，即，
因为，
所以，
，
所以，
由，则，所以，
则
和面积之差的取值范围为，故选项D正确.
故选：ACD.
10．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）已知平面四边形中，，，.
(1)若，求的长；
(2)设，记四边形的周长，求的最大值.
【解析】（1）
连接，
因为，，，
所以为正三角形，，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得，解得.
（2）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以四边形的周长
，
所以当时，的最大值为.
11．（2026·高一·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．
(1)求．
(2)当时．
（i）求周长的取值范围；
（ii）求面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得
而右式为，
故得，因为，故．
故，则．
（2）（i）由正弦定理得的周长
，
易得，则，故，
所以的取值范围是；
（ii）由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积，
故面积的最大值为．
12．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，得
，整理得，
由余弦定理，得，
又，所以．
（2）由（1）及余弦定理知，，
故，当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为．
13．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角，，的对边分别为，，，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）在锐角中，求的范围．
【解析】（1）由已知得：，
根据题意可知：；
（2）(i)根据题意由可知：，
利用辅助角公式得：，
其中，
当时，取到最大值，
所以，则
同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：
可得：，
再由余弦定理得：，
因为，
所以有，
则；
当且仅当时取等号.
(ii)利用正弦定理角化边可得：，
因为再利用和差化积和积化和差可得：
，
代入则，
当时，取最大值1，
利用已知函数在上单调递减，可知是单调递减函数所以可得：，
当时，可得：，
此时可得，
由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得：
.
14．（2026·高一·湖南长沙·期中）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
【解析】（1）由正弦定理及得，，
因为，所以，则，
若，则，矛盾，则，
又，所以．
（2）由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积．
（3）在锐角中，由，得，则，
又，则，
由正弦定理得
，
所以的范围是．
15．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
(1)求A；
(2)若，周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，即，
而，即，于是,
所以.
（2）由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积.
（3）在锐角中，由，得，，则，
，则，，
由正弦定理得
，
所以的范围是.
16．（2026·高一·四川内江·期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：，
则，
则，
又，故，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）因为为锐角三角形，，
所以，
由，解得，
又故．
（3）由（2）知．
由，
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
17．（2026·高一·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）依题意，由正弦定理
得
即
又在锐角中，有，所以，
所以，所以；
（2）结合（1）可得，
由，则根据正弦定理有，
得，
根据余弦定理有，得，
又为锐角三角形，则有，得，
，.
故
18．（2026·高一·四川凉山·期中）已知.
(1)求函数的单调增区间；
(2)若，求的值；
(3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.
【解析】（1）
，
令，则，
故函数的单调增区间为；
（2），则，
，
；
（3），则，
又，则，
故，即，
，
在锐角中，，则，
令，
则.
19．（2026·高一·河北承德·阶段检测）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)若，求边上的中线的取值范围．
【解析】（1）由题设知，
由正弦定理得①，
又，则，
将上式代入①式得，
即，
即，
又，，故，即，即，，
又，得.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以．所以，所以，
所以中线的取值范围是.
20．（2026·高一·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求的面积S的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以，所以，因为为锐角三角形，所以；
（2）因为，，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由可得，所以，所以，
所以，即.
21．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知函数，在上的最大值为3．
(1)求的值及函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
【解析】（1）
.
所以当时，取到最大值3，
即，，所以，
其最小正周期为．
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由（1）知，由，
可得，即，
因为，所以，
所以，即.
因为，
所以，
由正弦定理可知 ，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为．

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