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第07讲 复数知识的综合应用与拓展
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3
知识点一、复数的概念 3
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 3
知识点三、复数的三角形式 4
03 重难点题型 5
题型一：复数概念与分类辨析 5
题型二：复数四则运算与技巧突破 5
题型三：复数方程的解法与常见题型 6
题型四：复数相等与共轭复数的应用 7
题型五：复数三角形式的转化与运算 7
题型六：复数模的综合计算与题型突破 8
题型七：复数最值问题的常见解法 9
题型八：复数几何意义的解题应用 9
04 过关检测 11
知识点1：解决三角形图形类问题的方法
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
知识点三、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
题型一：复数概念与分类辨析
例1．（2026·高一·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
例2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
例3．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．0或1
变式1．下列命题正确的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
变式2．i是虚数单位，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：复数四则运算与技巧突破
例4．（2026·高一·河北邯郸·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
例5．（2026·高一·青海西宁·期中）计算：
(1)；
(2).
例6．计算：
(1)；
(2)
变式3．计算：
(1)；
(2)；
(3).
题型三：复数方程的解法与常见题型
例7．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
例8．（2026·高一·山西太原·期中）已知复数.
(1)当为纯虚数时，求的值；
(2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.
例9．（2026·高一·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数．
(1)求复数的虚部；
(2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值．
变式4．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）在复数集中，解方程
变式5．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知复数，．
(1)当z为纯虚数时，求m的值；
(2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
题型四：复数相等与共轭复数的应用
例10．（2026·高一·上海·期中）已知有实数根，则实数________.
例11．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数，则__________.
例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）若，则________．
变式6．（2026·高一·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________.
变式7．（2026·高二·宁夏银川·期末）复数的共轭复数＝______
题型五：复数三角形式的转化与运算
例13．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
例14．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．
变式8．（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2026·高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
题型六：复数模的综合计算与题型突破
例16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
例17．（2026·高一·山东济宁·期中）若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
例18．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
变式10．（2026·高一·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知复数，满足，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
题型七：复数最值问题的常见解法
例19．（2026·高一·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例20．（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
例21．（2026·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
变式12．如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式13．（2026·高一·广西·阶段检测）已知复数满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：复数几何意义的解题应用
例22．已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例23．在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（ ）
A． B．1 C．i D．i
例24．（2026·高一·山东青岛·期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式14．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2026·高三·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（ ）
A．，，使得 B．、，使得
C．，，都有 D．、，都有
3．（2026·高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知复数，则（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2026·高二·浙江温州·阶段检测）已知复数满足，则实数的可能取值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（ ）
A． B．若，则
C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为
7．（2026·高一·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·高二·河北石家庄·期末）在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
13．（2026·高一·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设复数 ,则 _________．
15．（2026·高一·北京·期中）复数的共轭复数的虚部是______．
16．（2026·高一·新疆·期中）计算：
(1)；
(2).
17．（2026·高一·云南昭通·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，求复数z．
18．（2026·高一·湖北·期中）设实数，复数 ．
(1)若复数是纯虚数，求实数的值；
(2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值．
19．（2026·高一·广西河池·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲 复数知识的综合应用与拓展
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3
知识点一、复数的概念 3
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 3
知识点三、复数的三角形式 4
03 重难点题型 5
题型一：复数概念与分类辨析 5
题型二：复数四则运算与技巧突破 6
题型三：复数方程的解法与常见题型 7
题型四：复数相等与共轭复数的应用 9
题型五：复数三角形式的转化与运算 10
题型六：复数模的综合计算与题型突破 11
题型七：复数最值问题的常见解法 13
题型八：复数几何意义的解题应用 15
04 过关检测 18
知识点1：解决三角形图形类问题的方法
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
知识点三、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
题型一：复数概念与分类辨析
例1．（2026·高一·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】C
【解析】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件.
例2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数为实数的充要条件是
D．复数为纯虚数，则
【答案】C
【解析】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误；
对于B，复数的虚部为，故B错误；
对于C，设，则
若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确；
对于D，由题意，解得，故D错误.
例3．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．0或1
【答案】B
【解析】由题意可得，解得.
变式1．下列命题正确的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
【答案】B
【解析】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误；
对于B，当时，复数是纯虚数，B正确；
对于C，是纯虚数，则即，C错误；
对于D，复数，，未注明为实数，D错误.
故选：B.
变式2．i是虚数单位，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选项 A： 是虚数，不是实数，
而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误；
选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确；
选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误；
选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误.
故选：B
题型二：复数四则运算与技巧突破
例4．（2026·高一·河北邯郸·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）原式
（2）原式．
（3）原式．
例5．（2026·高一·青海西宁·期中）计算：
(1)；
(2).
【解析】（1）
（2）
例6．计算：
(1)；
(2)
【解析】（1）；
（2）
.
变式3．计算：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
题型三：复数方程的解法与常见题型
例7．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
所以，展开得，
所以，解得.
例8．（2026·高一·山西太原·期中）已知复数.
(1)当为纯虚数时，求的值；
(2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.
【解析】（1）由，
因为为纯虚数，所以，解得.
（2）当时，，
因为是关于的方程的一个根，
将代入方程，得，
则，
所以，解得.
例9．（2026·高一·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数．
(1)求复数的虚部；
(2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值．
【解析】（1）已知，则其共轭复数.
由，得.
即，解得，.
又在复平面内对应的点在第四象限，故，得.
所以复数的虚部为.
（2）由（1）知.
因为是方程的根，代入得.
计算.
代入方程得.
整理得.
因为，所以实部与虚部分别为，即.
由第二个方程得，代入第一个方程得，即.
所以.
变式4．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）在复数集中，解方程
【解析】，
所以在复数集中，方程有两个解，依次为，.
变式5．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知复数，．
(1)当z为纯虚数时，求m的值；
(2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
【解析】（1）复数，其中实部为，虚部为，
由纯虚数的定义得： ，解得.
（2）当时， ，
z是关于x的方程的一个根，得：
，
由复数相等的充要条件得： ， 解得，
代入方程得.
题型四：复数相等与共轭复数的应用
例10．（2026·高一·上海·期中）已知有实数根，则实数________.
【答案】
【解析】设方程的实数根为，将代入原方程得：
根据复数相等的充要条件得：，解得,
故实数.
例11．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，解得.
例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）若，则________．
【答案】1
【解析】由题意得：，解得：，所以.
变式6．（2026·高一·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________.
【答案】1
【解析】，
所以，所以的共轭复数的虚部是1.
故答案为：1
变式7．（2026·高二·宁夏银川·期末）复数的共轭复数＝______
【答案】
【解析】因为，
所以.
题型五：复数三角形式的转化与运算
例13．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由棣莫弗公式，.
例14．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以
.
故选：C.
例15．（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知.
故选：C.
变式8．（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意设，，
所以有，
即
所以，即，
则，
故选：D.
变式9．（2026·高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
故，
即的虚部为.
故选：C.
题型六：复数模的综合计算与题型突破
例16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，代入，
得，解得，
则，代入已知值和交叉项结果，
得 因此.
例17．（2026·高一·山东济宁·期中）若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】设，则，
所以，
因为，所以
，即，
则
.
例18．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】设，，
则，即.
又，则，.
所以，，
即，所以.
又，
所以
.
变式10．（2026·高一·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于模为的复数，根据复数性质，因此可得 （表示的共轭复数）.
已知，代入上述性质得，
根据共轭复数的运算性质
即 ，因此，
对等式两边同时取共轭，得.
变式11．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知复数，满足，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在复平面中，设，分别与向量，对应，
由题意可得，，
因为，
即，
解得，即．
题型七：复数最值问题的常见解法
例19．（2026·高一·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
所以，解得，
所以．
例20．（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】设，，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动，
如图所示即在线段，上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
例21．（2026·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
所以，故，故，
故，
设，则，其中，
若，则；
若，则即，
故，
故，故，
故，
故选：C.
变式12．如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为，，
所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示，
所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值．
因此作于，则与的距离即为所求的最小值，，
故的最小值是1．
故选：A．
变式13．（2026·高一·广西·阶段检测）已知复数满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，
表示上述圆上的点到原点的距离，所以.
故选：D
题型八：复数几何意义的解题应用
例22．已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意，得，
，
解得，
在复平面内对应的点为在第三象限．
故选:C．
例23．在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（ ）
A． B．1 C．i D．i
【答案】A
【解析】复数，故点在复平面的坐标为，
复数，故点在复平面的坐标为，
又点为线段的中点，故点在复平面内的坐标为，
故所对应的复数为.
故选：A.
例24．（2026·高一·山东青岛·期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
变式14．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，
所以，
对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
1．（2026·高三·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为的共轭复数为，
所以，所以，
故选：C
2．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（ ）
A．，，使得 B．、，使得
C．，，都有 D．、，都有
【答案】D
【解析】将“ ”与“ ”互换，“＝”与“≠”互换，
可得否定命题为：、，都有.
故选：D．
3．（2026·高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
故，
所以，
故选：C.
4．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知复数，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解析】，
故.
5．（2026·高二·浙江温州·阶段检测）已知复数满足，则实数的可能取值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】设复数(其中)，则，将代入，整理得：，
即，所以，得，
将代入第一个方程得： ，即，
两边平方得：，所以，
因为，且分母不能为0，所以，即，
所以从判断选项来看，的可能取值只有.
6．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（ ）
A． B．若，则
C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为
【答案】D
【解析】A选项，，则，故，A正确；
B选项，若，则，，
，B正确；
C选项，，
由题意得，故也是虚数，C正确；
D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆，
故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误．
7．（2026·高一·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上，
则在以为圆心半径为1的圆上，
所以表示到点的距离，
数形结合得，
故选：D．
8．（2026·高二·河北石家庄·期末）在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
由复数的运算法则有：，
则，其对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
9．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面内与复数，，，对应的四点分别为，
10．若四点构成平行四边形，
则，进而可得，所以，
所以，解得，所以；
11．若四点构成平行四边形，
则，进而可得，所以，
所以，解得，所以；
12．若四点构成平行四边形，
则，进而可得，所以，
所以，解得，所以.
13．（2026·高一·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，.
设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，.
由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直，
所以，解得.
所以逆时针旋转后，，对应的复数为.
14．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设复数 ,则 _________．
【答案】
【解析】易知，所以.
15．（2026·高一·北京·期中）复数的共轭复数的虚部是______．
【答案】1
【解析】因为，
所以复数的共轭复数为，
所以复数的共轭复数的虚部是.
16．（2026·高一·新疆·期中）计算：
(1)；
(2).
【解析】（1）.
（2）.
17．（2026·高一·云南昭通·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，求复数z．
【解析】（1）．
（2）原式．
（3）设，则，
所以，即，
则，解得或，
故或．
18．（2026·高一·湖北·期中）设实数，复数 ．
(1)若复数是纯虚数，求实数的值；
(2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值．
【解析】（1）
因为复数是纯虚数，所以,解得,
综上所述.
（2）当时，，
因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ．
由韦达定理得
综上所述，．
19．（2026·高一·广西河池·期中）已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求的值．
【解析】（1）已知，
，化简可得，
所以，解得，因此，复数；
（2）把代入方程中，得到，
整理得，
所以，解得，
所以．

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