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第09讲 外接球、内切球、棱切球的解法与应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
考点一：正方体、长方体外接球 3
考点二：正四面体外接球 3
考点三：对棱相等的三棱锥外接球 3
考点四：直棱柱外接球 4
考点五：直棱锥外接球 4
考点六：正棱锥外接球 5
考点七：垂面模型 5
考点八：锥体内切球 6
考点九：棱切球 6
03 重难点题型 7
题型一：长方体模型：外接球半径的基础计算方法 7
题型二：正四面体模型：外接球半径公式推导与应用 8
题型三：补形法（长方体模型）：对棱相等三棱锥的外接球 12
题型四：直棱柱模型：外接球半径的通用求解策略 14
题型五：线面垂直模型：直棱锥外接球的核心解法 18
题型六：正棱锥模型：外接球半径的公式与推导 21
题型七：面面垂直模型：外接球问题的高频考点突破 24
题型八：体积法：内切球半径的通用计算方法 28
题型九：棱切球问题：核心性质与常见模型汇总 33
04 过关检测 38
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：长方体模型：外接球半径的基础计算方法
例1．（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，.
根据长方体体对角线公式： ，
由体对角线长等于，得，即，
所以长方体外接球表面积.
例2．（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设长方体外接球的半径为．
因为，所以，该长方体外接球的体积．
例3．（2026·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】设长方体的外接球半径为，且，
因为外接球表面积为，故，即，
又因为，可得，即，
所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立，
所以长方体的体积的最大值为.
故选：C．
变式1．（2026·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设长方体的外接球的半径为，
由已知，所以，
又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为，
长方体体对角线等于其外接球的直径，
所以，
所以.
故选：C.
变式2．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设半球的球心为，半径为，连接，
由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，
在中，，得到，
故半球的体积为，
故选：A.
题型二：正四面体模型：外接球半径公式推导与应用
例4．（2026·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，
由正三角形的性质，，
；
由，得，解得，
该球的表面积为．
故选：A．
方法二：如下图
在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，
可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.
立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，
外接球的表面积为.
故选：A.
例5．（2026·高三·江苏·阶段检测）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即，
则该球的表面积为．
故选：A
例6．（2026·高二·贵州六盘水·期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆内最大正三角形即圆内接正三角形.
设该圆内接正三角形的半径为，边长为，
则，
解得，
如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为，
则，
过点作平面，为底面正三角形的中心，连接，
则在中，由正弦定理得，则，
所以高，
设正四面体外接球球心为，则
于是外接球的半径，
在中，，则，
所以，解得，
则其外接球的表面积为．
故选：B.
变式3．（2026·河南·模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，
则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，
所以正四面体的外接球体积为．
故选：A
变式4．（2026·高一·广东茂名·期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为，
所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，
所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为．
故选：C.
题型三：补形法（长方体模型）：对棱相等三棱锥的外接球
例7．（2026·高一·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．28π B．27π C．19π D．29π
【答案】D
【解析】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为,
则，所以，
所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.
例8．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.
设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得：
，
三式相加得：，即，
长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即，
外接球表面积.
例9．（2026·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设，取的中点，连接，
则 平面，所以平面，
且，所以的面积为，
则三棱锥的体积为，所以，
把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示：
设长方体的长 宽 高分别为，球的半径为，则
所以，所以，
所以球的表面积为.
故选：A.
变式5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将三棱锥补成长方体，如图，
设长方体的长、宽、高分别为，
由于三棱锥的棱长满足，，，
根据长方体面对角线的性质，可得，即，
所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以，
所以外接球的表面积.
故选：A
题型四：直棱柱模型：外接球半径的通用求解策略
例10．（2026·高二·贵州·学业考试）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设上、下两个底面的中心分别为、，连接，
因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以正三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以正三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故选：C.
例11．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则该三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记三棱柱上 下底面中心分别为，则的中点为，
设球的半径为，则，
所以，所以，
所以，解得，当且仅当，
即时，等号成立，所以该三棱柱的侧面积，
即三棱柱的侧面积的最大值为.
例12．（2026·高三·海南海口·阶段检测）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】

由正三棱柱的性质知平面，
即为直线与平面所成的角，故，
为等腰直角三角形，
．
如图，取的中点E，连接，则．
又平面，平面，
．
，且，平面，
平面 ．
设正三棱柱的棱长为，
，
，解得．
设正三棱柱的外接球球心为，半径为，
，的外接圆圆心分别为，，连接，
则为 中点，易知．在中，，
，
该三棱柱的外接球的表面积．
故选：C．
变式6．（2026·高三·河南·阶段检测）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
变式7．（2026·高一·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
将直三棱柱补成长方体，如下图所示：

所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，
即直径为，
因此，该直三棱柱的外接球的表面积为．
题型五：线面垂直模型：直棱锥外接球的核心解法
例13．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
【答案】A
【解析】已知，，设，则，
由题意，又平面，
所以，已知，
解得，即，得，
因此，
将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径，
在中，，外接球半径，
则，外接球表面积.
例14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，，
所以的面积，
而三棱锥体积．
所以解得，即，，
如图，取中点，过作平面的垂线，即平面，
所以，所以球心在直线上，
连接，，所以（为外接球半径），
取中点，连接，得到，
又因为，所以四边形为矩形，
所以，，
由勾股定理得，
得到表面积．
例15．（2026·高一·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，
且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，
又该长方体的外接球半径为，
则球的体积是.
变式8．（2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，设其外接圆半径为，
，，，
根据正弦定理，所以.
因为平面，所以外接球的球心到平面的距离.
设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得，
因此外接球表面积.
变式9．（2026·高三·辽宁锦州·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，
所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为，
则外接球半径，所以，又，所以，
而，则，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以三棱锥的体积为，
则三棱锥的体积的最大值为.
故选：D
题型六：正棱锥模型：外接球半径的公式与推导
例16．（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，
取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.

由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.
因为，所以，
所以，.
设外接球的半径为，则，，
又，，
所以，解得.
故正三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
例17．（2026·高一·北京海淀·期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直，
可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，
可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，
设正三棱锥的外接球的半径为，则，即，
所以正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
例18．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：
取线段的中点，连接，则，
因为，，
设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，
，
设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，
设球的半径为，则，
由勾股定理可得，即，解得，
因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.
故选：A.
变式10．（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为．
故选：B．
变式11．（2026·高三·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设为外接球球心，底面于点，设，
由正四棱锥的体积为8，即，解得，则，
又，所以，，
在中，，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
题型七：面面垂直模型：外接球问题的高频考点突破
例19．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
所以，
所以是以为斜边的等腰直角三角形，
设的中点为，连接，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，且.
又因为二面角的大小为，
所以平面平面，
又平面平面，所以平面，
所以三棱锥外接球的球心在上，设为，
如图，连接，设球的半径为，
所以有，
所以三棱锥外接球的表面积为.
例20．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
【答案】A
【解析】令正方形对角线交点为，在四面体中，，
因此四面体的外接球的球心点为，半径为1，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：A
例21．（2026·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得，.
记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变，
即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故选：A.
变式12．（2026·高一·四川成都·期末）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中点，连接，
因为，所以，
因为二面角为直二面角，平面，
所以平面，
因为，，所以，,
，所以，，
因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，
则，
可得，解得，
所以该球的体积为.
故选：A.

变式13．（2026·高三·海南海口·阶段检测）在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：

由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，即是等边三角形，，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
如图所示：

设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，过点，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
不妨设点在面，面内的射影分别为，
即，
由题意，且二面角为直二面角，即面面，，
所以，即，
结合可知四边形为矩形，不妨设，
则由以上分析可知，，
由勾股定理以及，即，
可得，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
题型八：体积法：内切球半径的通用计算方法
例22．（2026·高一·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则
，解得，
设圆锥的母线长为，高为，
则，
，即，解得或（舍去），
，
设圆锥表面积为，
则．
例23．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，
则．
设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高，
内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，．
则，
如图：
所以，即，
所以正三棱台的高为2
例24．（2026·高一·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，
延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接，
则点是的中点，为正四面体内切球的半径，
，，
由正四面体的体积为，得，解得，
由，解得，
则，最大球半径，
因此最大球的体积为；
小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高，
因此最小球半径，
因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为.
变式14．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ，
,
则，
侧面为全等的等腰三角形，斜高，
正三棱锥的表面积 ，
正三棱锥的体积，
设正三棱锥的内切球半径为，
由三棱锥体积公式，得 ，解得，
所以.

变式15．（2026·高一·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】球的体积公式为，
由题意内切球体积，
代入得： ，整理得：
设正四面体棱长为，高为
如图为正四面体，为的中心，
根据正弦定理知的外接圆半径，
所以，
设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为，
则根据等体积法得：
．
故
对两边立方得：
将 代入上式，得：
因此该正四面体的棱长为.
变式16．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，则，则,
所以圆锥的高,
由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长,
所以轴截面等腰三角形内切圆的半径,
故该圆锥形模型的内切球的半径为
题型九：棱切球问题：核心性质与常见模型汇总
例25．（2026·高一·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图：
设正四棱锥底面中心为，
因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，
则点到棱的距离为.
又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，
所以点到侧棱的距离.
所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为，
所以球的表面积为：.
例26．（2026·高一·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______.
【答案】
【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径，
则该球的表面积为.
例27．（2026·高二·浙江杭州·阶段检测）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心，
由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离），
设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直，
则必与底面上直线垂直，故,解得.
又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因,
则即该直三棱柱的外接球的半径，
故该球的体积为：.
故答案为：.

变式17．（2026·高一·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________．
【答案】4
【解析】设棱切球的球心为，与棱分别切于点，
可知，
由题意可得：，解得，
所以.
故答案为：4.
变式18．（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______．
【答案】
【解析】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
变式19．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．
【答案】
【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为，
如图所示，为的中点，，

由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，
在正中，，
同理，在正中，，
则，，
所以，
则，
由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上，
则，
，
所以，故，
而棱切球与棱相切，故其半径为，
则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为.
故答案为：.
1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为，
为正四面体内切球的球心，
延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于，
连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径，
，，，，
由正四面体的体积为，得 ，解得 ，
正四面体的高，内切球半径满足，代入：
，则.
正四面体顶点到大球球心的距离为，
顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为，
因此：，整理得，得.
由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得：
.
2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方形折叠后，重合于，可得：，
，
由原正方形的直角得：，故，
又，且平面，因此平面，
对：，
故为直角三角形，面积，
三棱锥体积：；
平面，且为直角三角形，斜边为，
因此：外接圆半径，球心到平面的距离，
设外接球半径，则，
外接球体积：，
因此.
3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示，
可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同，
设正四面体的外接球半径为，
则，所以．
由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球，
设与正四面体的各棱相切的球半径为，
则．
因为球的球面与正四面体的棱有公共点，
所以球的半径满足，
即球的半径的取值范围是．
4．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，可知棱长为的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同，
可得，所以．
正四面体的棱切球即为正方体的内切球，所以．
因为球的球面与正四面体的棱有公共点，
所以球的半径满足，即球的半径的取值范围是．
5．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（）
A．
B．直线与平面所成角的正切值为
C．四面体的内切球表面积为
D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是
【答案】C
【解析】选项A，由题意得
又，面，面，所以面，
又面，A正确.
选项B，是中点，连接，
面，就是线面角；
，，
，B正确.
选项C，四面体体积：
表面积，，
，
内切球半径：
内切球表面积，C错误.
选项D，该四面体外接球等价于以为长宽高的长方体外接球，
；
是中点，，球心到距离
截面最小圆：截面，，
截面最大圆：过球心，，
截面面积，D正确.
6．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高，
因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图，
设圆锥外接球的半径为，在中，，
所以，解得，
所以该圆锥的外接球的体积为.
7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知正四棱台的上 下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C．18 D．
【答案】A
【解析】因为正四棱台上下底均为正方形，
由上 下底面积分别为3，12，可得上 下底面正方形的边分别为，
上 下底面正方形的外接圆半径分别为和，
因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径，
所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心.
则棱台的高，
再由勾股定理计算可得：，
所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：，
即一个侧面的梯形面积为，
则该四棱台的侧面积为.
8．（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，
可得：，
圆柱的侧面积为：，
当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以，
所以，所以圆柱的高和球的半径之比为.
9．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径为，
侧面展开半圆的弧长与圆锥底面周长相等，，整理得.
圆锥侧面积等于半圆面积，，解得，代入得.
圆锥的高.
沿轴线截取圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长，
腰长，截面面积.
设内切球半径为，轴截面三角形内切圆半径等于球半径，
由面积等积关系，
则，解得，，
内切球的体积.
10．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点P，使得平面
B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】对A：取中点，连接、，由为中点，则，
又平面，平面，故平面，
由为中点，则，
又平面，平面，故平面，
又，、平面，则平面平面，
则当点在线段上时，由平面，可得平面，
故存在点，使得平面，故A错误；
对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图：
则从到的最短距离为，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：取、、中点、、，连接成四边形，
三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
故即为该外接球直径，故半径为，
则外接球表面积为，故D正确.
11．（多选题）（25-26高一下·湖南·阶段检测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面截得球的截面面积最小值为
C．四面体的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确；
对于B，矩形所在截面如图所示，过点作于点，则由题可得，
设点到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
则，，所以平面截得球的截面面积最小值为，故B正确；
对于C，由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离，
又，所以，故C错误；
对于D，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设P在底面的投影为，则，，，
，设，则，，
所以，
所以.故D正确.
12．（多选题）（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（ ）
A．该长方体是一个正四棱柱
B．长方体的外接球的表面积为
C．四棱锥的体积为24
D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得面和面都是正方形，所以该长方体是一个正四棱柱，故A正确；
对于B，长方体的外接球的直径，所以外接球的表面积为，故B正确；
对于C，过作于，
由等面积法得，
因为平面平面，平面平面，平面,
所以平面，所以为四棱锥的高，
又，所以，故C错误；
对于D，将平面展开至与平面共面，得到如图的矩形，
所以，
所以的最小值为，故D正确．
13．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________
【答案】
【解析】
如图可知，过的截面为五边形，其中四边形为矩形，
为等腰三角形，，在直角中，，，
故圆锥的底面半径为，高为，其体积为.
圆柱的底面半径为，高为，其体积为.
所以几何体的体积为.
14．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知四面体中，，平面平面，平面平面，，过点B作，，分别交，于点M，N．设三棱锥，四棱锥的外接球半径分别为，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为平面平面，平面平面，
,平面，
所以，平面，故
又平面，
所以，平面平面，平面平面，
,平面,
所以，平面,
平面，
所以，，
由于,,,
所以，平面，故,
在中，取中点,作平面的垂线交于，则
由于为直角三角形，,又，
故,为斜边的中点，那么,
又在中, ,
所以，即点为三棱锥外接球球心，，
在四边形中，，故四边形四个顶点在以线段为直径的圆上，取中点,作平面的垂线交于，则,
由于为直角三角形, ,又，
故,为斜边的中点,
所以，,
故点为四棱锥的外接球球心，,
平面平面，平面平面
又平面平面
所以，平面,
平面,
所以，
所以， 即，
设(为参数,)，则
，，
所以，的最大值为.
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．
【答案】
【解析】取中点，连接，由底面，平面，
得，而，平面，
则平面，又平面，因此，，
该“鳖臑”外接球的球心为，球半径，
所以该“鳖臑”外接球的体积为.
16．（25-26高一下·山东泰安·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______.
【答案】/
【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为，由题知，所以，
该多面体的外接球即为正方体的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2，
因此该多面体的外接球的半径为1，所以其体积.
17．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________．
【答案】
【解析】由，，取中点，
则，
故是三棱锥的外接球的球心，且其半径，
由平面，平面，所以，
又，平面，且，
故平面，又平面，
故，，
又，且平面，，
故平面，又平面，
故，，
又，平面，，
所以平面，又平面，故，
又，故，
连接，取中点，则为四边形外接圆的圆心，
连接点与中点，则，又平面，
故平面，即平面，
又，故为四棱锥的外接球的球心，其半径，
由平面，故，
，
由，故，有
则，当且仅当时，等号成立，
故三棱锥体积最大时，有，
因为，则，
由，，则，
则有，解得：，
故，则.
18．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______.
【答案】
【解析】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，
延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，
连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径，
，，，，
由正四面体ABCD的表面积为，即，解得，
由，解得，
由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径，
因此最大球的表面积为；
中等球内切于高的正四面体，中等球半径，
因此中等球的表面积为；
最小球内切于高的正四面体，最小球半径，
因此最小球的表面积为，
所以九个球的表面积为．中小学教育资源及组卷应用平台
第09讲 外接球、内切球、棱切球的解法与应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
考点一：正方体、长方体外接球 3
考点二：正四面体外接球 3
考点三：对棱相等的三棱锥外接球 3
考点四：直棱柱外接球 4
考点五：直棱锥外接球 4
考点六：正棱锥外接球 5
考点七：垂面模型 5
考点八：锥体内切球 6
考点九：棱切球 6
03 重难点题型 7
题型一：长方体模型：外接球半径的基础计算方法 7
题型二：正四面体模型：外接球半径公式推导与应用 8
题型三：补形法（长方体模型）：对棱相等三棱锥的外接球 12
题型四：直棱柱模型：外接球半径的通用求解策略 14
题型五：线面垂直模型：直棱锥外接球的核心解法 18
题型六：正棱锥模型：外接球半径的公式与推导 21
题型七：面面垂直模型：外接球问题的高频考点突破 24
题型八：体积法：内切球半径的通用计算方法 28
题型九：棱切球问题：核心性质与常见模型汇总 33
04 过关检测 38
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．
考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：长方体模型：外接球半径的基础计算方法
例1．（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2026·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
变式1．（2026·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二：正四面体模型：外接球半径公式推导与应用
例4．（2026·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2026·高三·江苏·阶段检测）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2026·高二·贵州六盘水·期末）如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2026·河南·模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2026·高一·广东茂名·期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：补形法（长方体模型）：对棱相等三棱锥的外接球
例7．（2026·高一·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）
A．28π B．27π C．19π D．29π
例8．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2026·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：直棱柱模型：外接球半径的通用求解策略
例10．（2026·高二·贵州·学业考试）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例11．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则该三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2026·高三·海南海口·阶段检测）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2026·高三·河南·阶段检测）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式7．（2026·高一·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：线面垂直模型：直棱锥外接球的核心解法
例13．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．12
例14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2026·高一·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2026·高三·辽宁锦州·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
题型六：正棱锥模型：外接球半径的公式与推导
例16．（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2026·高一·北京海淀·期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例18．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2026·高三·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
题型七：面面垂直模型：外接球问题的高频考点突破
例19．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例20．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
例21．（2026·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2026·高一·四川成都·期末）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A． B． C． D．
变式13．（2026·高三·海南海口·阶段检测）在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八：体积法：内切球半径的通用计算方法
例22．（2026·高一·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例23．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ）
A．1 B． C． D．2
例24．（2026·高一·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
变式14．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2026·高一·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
变式16．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
题型九：棱切球问题：核心性质与常见模型汇总
例25．（2026·高一·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______．
例26．（2026·高一·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______.
例27．（2026·高二·浙江杭州·阶段检测）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________.
变式17．（2026·高一·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________．
变式18．（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______．
变式19．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．
1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（ ）

A． B． C． D．
3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（）
A．
B．直线与平面所成角的正切值为
C．四面体的内切球表面积为
D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是
6．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知正四棱台的上 下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ）
A． B． C．18 D．
8．（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点P，使得平面
B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
11．（多选题）（25-26高一下·湖南·阶段检测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面截得球的截面面积最小值为
C．四面体的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
12．（多选题）（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在长方体中，，，，E为棱上一点，则（ ）
A．该长方体是一个正四棱柱
B．长方体的外接球的表面积为
C．四棱锥的体积为24
D．的最小值为
13．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________
14．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知四面体中，，平面平面，平面平面，，过点B作，，分别交，于点M，N．设三棱锥，四棱锥的外接球半径分别为，，则的最大值为__________．
15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．
16．（25-26高一下·山东泰安·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______.
17．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________．
18．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______.

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