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第10讲 立体几何中“求范围、求最值”问题归类
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：动态立体几何问题 3
03 重难点题型 4
题型一：空间几何体的截面问题 4
题型二：几何图形的面积与周长问题 5
题型三：空间几何体的体积问题 5
题型四：空间线段长度与距离问题 6
题型五：折线段长度和的最值问题 8
题型六：空间角的取值范围问题 9
04 过关检测 12
知识点1：动态立体几何问题
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
题型一：空间几何体的截面问题
例1．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．10
例2．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
题型二：几何图形的面积与周长问题
例4．（2026·高三·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2026·高一·山西太原·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为.
(1)用”三斜求积"公式证明；
(2)若，且，求面积的最大值；
(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值.
提示：.
例6．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上 下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：空间几何体的体积问题
例7．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________．
例8．（多选题）（2026·辽宁沈阳·三模）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为4
C．圆锥SO外接球的表面积为
D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为
例9．（多选题）（2026·高一·湖北随州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ）
A．在折起的过程中始终有平面
B．三棱锥的体积的最大值为
C．当时，点到的距离为
D．当时，点到平面的距离为
题型四：空间线段长度与距离问题
例10．（2026·高二·上海·期中）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________．
例11．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
例12．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2026·高一·河南开封·阶段检测）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）

A． B． C． D．
变式3．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若是线段的中点，则四面体的体积为
B．若，则点的轨迹长度是
C．若存在点，使平面，则长度的最小值是
D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
题型五：折线段长度和的最值问题
例13．（2026·高一·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
例14．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．平面 B．异面直线与所成的角为
C．的轨迹长度为 D．取最小值
例15．（多选题）（2026·高一·广西柳州·阶段检测）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．平面
B．八面体的体积为
C．的最小值为
D．点A到平面的距离为
变式4．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型六：空间角的取值范围问题
例16．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与平面所成角的正弦值的范围为
D．当点P为的中点时，二面角的余弦值最大
例17．（2026·高一·四川南充·期末）如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（ ）
A． B． C． D．
例18．（多选题）（2026·高二·广东肇庆·期中）正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形
C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为
D．直线与平面所成角的正弦值的范围为
变式5．（多选题）（2026·高一·安徽·阶段检测）如图，已正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．
C．直线与所成角的范围为 D．的最小值为
变式6．（2026·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·期中）在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ）
A．底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线
B．异面直线和所成角的范围
C．存在点，使得
D．若，则过点的截面面积为
2．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与直线所成角为定值
C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D．直线与平面所成角的余弦值的范围是
3．（多选题）（2026·高一·安徽六安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围为 B．三棱锥内切球半径为
C．的最小值为 D．面截该正方体内切球所得的截面面积为
4．（多选题）（2026·高一·江西宜春·阶段检测）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
5．（多选题）（2026·高一·广东广州·期中）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积为定值
C．的轨迹长度为
D．当时，取最小值
6．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ）

A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于
C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为
7．（多选题）（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ）

A．取得最小值
B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
C．四面体的外接球的表面积为时，
D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
8．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期中）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为8π
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
9．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______.
10．（2026·高一·浙江绍兴·阶段检测）在三棱锥中，，，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角分别为和，则的最大值是______．
11．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围．
12．（2026·高一·河北邯郸·期末）如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，.
(1)当时，证明：平面.
(2)当时，若，平面平面.
（i）证明：；
（ii）求二面角的正弦值范围.
13．（2026·高一·福建·阶段检测）如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，．
(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)若平面⊥平面．
①求证：；
②求的最小值.
14．（2026·高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．
(1)求该圆锥体石膏的体积；
(2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；
(3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．
15．（2026·高一·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
(1)求圆锥的体积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高．
16．（2026·高一·安徽黄山·期中）在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是．
(1)若，求：的最大值；
(2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值
17．（2026·高二·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点．
(1)求证：直线∥平面；
(2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值．第10讲 立体几何中“求范围、求最值”问题归类
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：动态立体几何问题 3
03 重难点题型 4
题型一：空间几何体的截面问题 4
题型二：几何图形的面积与周长问题 7
题型三：空间几何体的体积问题 10
题型四：空间线段长度与距离问题 14
题型五：折线段长度和的最值问题 19
题型六：空间角的取值范围问题 23
04 过关检测 32
知识点1：动态立体几何问题
动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力．
题型一：空间几何体的截面问题
例1．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】D
【解析】由题意，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，
沿将相邻两四边形展开，
当，，三点共线时，最小，最小值为5，
所以周长的最小值为10.
例2．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为，
则底面直径为，
则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，
则，所以，
则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，
此时面积，可知当时，即时，面积最大，
此时面积.
例3．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知， 在中，，
故， 在中，，
故， 因此都在以为直径的球面上，
四棱锥的外接球直径就是，得外接球半径，球心为中点，
又因为，，故是等边三角形，为中点，
由等边三角形三线合一的性质，球心到直线的距离为定值，
对于任意过直线的平面，球心到平面的距离满足：，
所以对应平面，存在且不与其他顶点重合，保留，
若，则球心在平面内，由共线得也在平面内，
此时与重合，不构成四棱锥，故，
由球的截面性质，截面圆半径满足：，
代入的范围得：，故截面面积.
变式1．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【解析】
平面截正方体，设与交于，如左图；
平面截正方体，设与交于，如右图．
根据对称性，，．
设，则，．
是一个棱台，下底面为，面积为，
上底面为，面积为，
．
是一个棱台，下底面为，面积为，
上底面为，面积为，
．
，
当，取最小值为．
题型二：几何图形的面积与周长问题
例4．（2026·高三·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
例5．（2026·高一·山西太原·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为.
(1)用”三斜求积"公式证明；
(2)若，且，求面积的最大值；
(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值.
提示：.
【解析】（1）由余弦定理得，所以，
所以
.
（2）由，，
根据正弦定理，得，
则，即，
由正弦定理，得，
所以
，
当时，面积的最大值为.
（3）由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，如图，
设长方体的长，宽，高分别为，则，，，
设等腰四面体的外接球半径为，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以
因为，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以，即，
所以，则的最小值为.
例6．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上 下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径.
因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点，
由勾股定理得：，
所以，即，当且仅当.
则该圆柱侧面积为，故其最大值为.
题型三：空间几何体的体积问题
例7．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________．
【答案】
【解析】圆台内切球的轴截面如图所示，作，易知四边形为矩形，
由题可知，，，
由切线长定理可知，所以，
所以，
所以，即，
所以圆台内切球半径为，
若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，
则正三棱锥的外接球半径最大为，
如图，正三棱锥的球心为，的内心为，
设正三棱锥的外接球半径为，正三棱锥的高为，
因为， 所以，
在中，，，
所以，即，
所以，解得，
所以当时，正三棱锥体积取得最大值，
最大值为，
所以正三棱锥体积的最大值为.
例8．（多选题）（2026·辽宁沈阳·三模）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为4
C．圆锥SO外接球的表面积为
D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确；
对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确；
对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得，
所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确；
对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值，
在中，,所以，
所以,
由余弦定理，
所以的最小值为，D不正确.
例9．（多选题）（2026·高一·湖北随州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ）
A．在折起的过程中始终有平面
B．三棱锥的体积的最大值为
C．当时，点到的距离为
D．当时，点到平面的距离为
【答案】AC
【解析】A. 因为，所以平面，故正确；
B. 因为，当时，，
由选项A知平面，所以AD是三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为，
则其最大值为，故错误；
C.如图所示：
当时，是等边三角形，设的中点为，连接，，
则，所以点到的距离为，故正确；
D. 当时，，且，则平面，
所以点到平面的距离为，故错误；
故选：AC
题型四：空间线段长度与距离问题
例10．（2026·高二·上海·期中）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________．
【答案】
【解析】过作，交于点，交于，则易知底面，
∵平面，又易得平面，，且平面，
平面平面，又平面，平面，
又平面平面，平面 ∴
∵为中点,为中点，则为中点,
即在线段上,
，，
，，
则线段长度的取值范围为：，
故答案为：.
例11．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】分别取，的中点为，，连接，，，
又点M是的中点，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点N是侧面上的一个动点，且平面，
所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知，
所以当时，的长度最小，即，
所以的最小值为.
例12．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取上靠近点的四等分点，连接、，
由是棱的中点，点是棱的中点，易得，
则平面，
取、中点、，取上靠近点的四等分点，
连接、、、，
由正方体的性质易得，，则，
又平面，平面，所以平面，
同理，平面，
又，平面，故平面平面，
又平面，平面，故，
即点的轨迹为线段，设点到的距离为，
有，故，
又，故的长度范围为.
故选：C.
.
变式2．（2026·高一·河南开封·阶段检测）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别作的中点，连接，如图，
易得，又平面，平面，故平面，
在正方体中，易得，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，
因为面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以动点在正方形的轨迹为线段，
在三角形中，，，
所以点到点的最大距离为，
最小距离为等腰三角形在边上的高为，
所以线段的长度范围为.
故选：D.
变式3．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若是线段的中点，则四面体的体积为
B．若，则点的轨迹长度是
C．若存在点，使平面，则长度的最小值是
D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2，
所以，A正确.
对于B，若，又，且平面，
则，
点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧，
的轨迹长度为，B选项正确；
对于C，取线段的中点，线段的中点，
当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
，，平面，所以平面平面，
平面，平面，
此时有，，，，
所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误.
对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体，
则直径长为，
则球的表面积为，D正确.
题型五：折线段长度和的最值问题
例13．（2026·高一·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【解析】
如图1，连接，，
将平面和平面展开到同一平面，
如图2，连接，交于点，
则，
因为，所以，
所以四边形为菱形，，
则，
所以.重合时，取等号.
则的最小值是.
例14．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．平面 B．异面直线与所成的角为
C．的轨迹长度为 D．取最小值
【答案】AC
【解析】因为，其中，，且，
所以在线段上，
在正方体中，，
又因为平面,平面，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，平面,，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面，故A正确；
因为，
所以异面直线与所成的角为，
易知是边长为的等边三角形，
所以，
即异面直线与所成的角为，故B错误；
由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确；
将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示：
当为与的交点时，取最小值，
此时在中，，，,
由余弦定理可得
，
即取最小值为，故D错误.
例15．（多选题）（2026·高一·广西柳州·阶段检测）如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．平面
B．八面体的体积为
C．的最小值为
D．点A到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】
在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分，
故四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面，
所以平面，故A正确；
因为正方体棱长为4，所以四边形是正方形且，
面，，
所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍，
而棱锥体积等于，
故八面体的体积为，B正确；
因为为棱上一点，将和展开成一个平面，
由题和均为正三角形，且边长为，
由三角形两边之和大于第三边知最小值为，
在中由余弦定理可知
，故C正确；
对于D选项：设点到平面的距离为，
由等体积法知
即，
，故D错误.
变式4．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当，即可得平面，此时是最小距离，
然后把平面与平面展开成共面，
如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为
此时，即此时取到最小值，
因为在正方体中，，
所以
，
所以，
即的最小值是
题型六：空间角的取值范围问题
例16．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与平面所成角的正弦值的范围为
D．当点P为的中点时，二面角的余弦值最大
【答案】D
【解析】对于A，在正方体中，，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
又，
所以，故A正确；
对于B，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，
所以平面平面，
由在上且，故截面为，
又是边长为的正三角形，
所以截面面积为，故B正确；
对于C，因为是边长为的正三角形，
，
又由A选项有，
设点到平面的距离为，
可得点到平面的距离，
若为的中点时，，，
当点为线段的端点时，，
设直线与平面所成角为，，故C正确；
对于D，当点为中点时，因为，则，
因为，平面，
，平面，所以，，
所以此时是二面角的平面角，
因为平面，平面，，
又，所以，同理得，
因为，由余弦定理得；
当点与重合时，二面角即二面角，
因为，则二面角即为二面角，
又平面，平面，
所以，
则此时二面角的平面角为，
在中，，则二面角的余弦值为，
即此时二面角余弦值为，
因为，故当点P为的中点时，二面角的余弦值不是最大的，故D错误.
故选：D.
例17．（2026·高一·四川南充·期末）如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
取线段的中点分别为，连接，
由中位线可得，所以四点四点共面，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
因为点为四边形及其内部的动点，所以当，即平面，
所以此时有平面，
由正方体的性质可知平面，所以与平面所成角就是，
又因为，设正方体的边长为2，则，
此时，所以，
故选：D.
例18．（多选题）（2026·高二·广东肇庆·期中）正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形
C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为
D．直线与平面所成角的正弦值的范围为
【答案】ABC
【解析】A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又，
平面，平面，则，
又，，平面，所以平面，
故到平面的距离为，故三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为定值，正确；
B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，正确；
C：当点和重合时，三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，
故外接球的半径为，故外接球的体积为，正确；
D：设点到平面的距离为，由，
又，则，
知点到平面的距离，
当在线段上运动时，，
当为线段的端点时，，
设直线与平面所成角为，错误；
故选：ABC
变式5．（多选题）（2026·高一·安徽·阶段检测）如图，已正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．
C．直线与所成角的范围为 D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，在正方体中易知，又内，内，
所以平面，所以点E到平面的距离恒为1，
则，故A正确；
对于B，连接，因为为正方形，所以，
又易知平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为，所以平面，即平面，
在中，，所以等边三角形，
又，
由，得，
即，解得，故B正确；
对于C，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角，
在等边三角形中，设的中点为，
当点与点重合时，最大，为；
当点与重合时，最小，为；
当点与重合时，的补角为，
综上直线与所成角的范围为，故C正确；
对于D，将沿直线翻折，使其与平面共面，连接点A和翻折后的点F，
在中，，
即的最小值为，故D错误．
故选：ABC．
变式6．（2026·高一·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，
四边形是矩形，，
所以初始状态时直线与直线所成的角为，
已知矩形中，，， ，
翻折过程中，如下图，
因为，所以，则与平面不垂直，
因为，，
所以异面直线与不垂直，
翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图：
因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为；
故选：C
1．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·期中）在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ）
A．底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线
B．异面直线和所成角的范围
C．存在点，使得
D．若，则过点的截面面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确；
对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角）
由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为，
当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确；
对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，
在，可得
所以不存在点，使得，故C错误；
对于D，延长交于点
因为，所以，所以，即为的中点，
取的中点，连接，
所以，且，即四边形为平行四边形，
则过点的截面为平行四边形，
由于，则平行四边形为菱形，
由于，，
则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确.
2．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与直线所成角为定值
C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D．直线与平面所成角的余弦值的范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由，其中的面积为定值，
在正方体中，，
因为平面，平面，所以直线平面，
所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，连接，在正方体中，平面，
因为平面，所以，
又由，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以异面直线与直线所成的角为，故B正确；
对于C，设分别为的中点， 连接，，，则，
设为与的交点，
在正方体中，，则，且，
则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误；
对于D，在正方体中，平面，
则为直线与平面所成角，
当与重合时，最大，此时平面，则，
当与重合时，最小，而，
此时，
所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误.
故选：AB.
3．（多选题）（2026·高一·安徽六安·期末）如图，已知正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围为 B．三棱锥内切球半径为
C．的最小值为 D．面截该正方体内切球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以异面直线与所成的角为（或其补角），
在等边三角形中，
当点E为中点时，最大为；
当点E与重合时，最小，为；当点E与B重合时，的补角为，
综上直线与所成角的范围为，故A正确；
对于B，设内切圆半径为r，则，
即，解得，故B正确；
对于C，将沿直线翻折，使其与平面共面，连接点A和翻折后的点，交于，如图，
在等边三角形中，为中心，所以，所以翻折后，
在中，，，
故当重合时，即的最小值为，故C错误；
对于D，平面截正方体内切球
的截面为的内切圆，如下图：
因为正方体的棱长为1，所以对角线，
内切圆半径，
所以截面面积，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）（2026·高一·江西宜春·阶段检测）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ）
A．与一定是异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．异面直线与所成角的范围为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为，、平面，所以平面，
因为为四边形内（含边界）的一个动点，
故当时，平面，则，故点的轨迹为线段，
当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形，
此时，A错；
对于B选项，连接、、、，
在正方体中，平面平面，
因为平面，所以，点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，B对；
对于C选项，连接，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，C对；
对于D选项，因为，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角，
易知为等边三角形，如下图所示：
当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值，
当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值，
因此，异面直线与所成角的范围为，D正确.
故选：BCD.
5．（多选题）（2026·高一·广东广州·期中）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积为定值
C．的轨迹长度为
D．当时，取最小值
【答案】AC
【解析】由其中，且，
可得三点共线，即在线段上，
对于A，连接，
在正方体，可得，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以A正确；
对于B，因为在线段上，且平面，
所以，所以B错误；
对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段，
在直角中，可得，所以C正确；
对于D，当时，可得为线段的中点，
此时，，
所以，
又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上，
如图所示，设点展开后为点，连接，
在中，可得，
由余弦定理得，
因为，可得，即取最小值为，所以D错误.
6．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ）

A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于
C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为
【答案】ACD
【解析】因为，故异面直线和所成角即为与所成角，
而为等边三角形，故，故A正确；
因为面，面，故，又，
由，面，故面，
而面，故直线与平面所成的角，故B错误；
而到平面的距离为，故C正确；
过作于，再过作于，
面面，面面，面，故面，
而面，则，又，面，
所以面，易知即为异面直线，上两点的距离，
令，则，，
所以，
当时，，故D正确.
7．（多选题）（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ）

A．取得最小值
B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
C．四面体的外接球的表面积为时，
D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，
则，
此时、、三点共线时，等号成立，则取得最小值，
故A正确.
选项B，取中点，连接，正方体的棱长为2，为线段中点，
则，则四边形是菱形，
则平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确.
选项C，当时，因为两两垂直，
所以四面体的外接球的直径,
则，此时外接球表面积为，故C错误.
选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点，
半径，
当截面垂直于时，截面圆半径最小，，
的最大值为球心到的距离，
即，故，
截面面积最小值为，故D正确.
8．（多选题）（2026·高一·陕西西安·期中）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的体积为8π
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
【答案】BD
【解析】A. AC为圆锥SO底面圆O的直径，且，所以圆锥SO的体积为，故错误；
B. 因为，所以三棱锥体积，故正确；
C.在中，，因为 AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，所以长度范围为，即，
则 ，易知为锐角，则 ，故错误；
D. 因为点B是圆O上异于A，C的动点，则，，将平面沿AB展开与平面ABC共面，
设展开后点S的位置为，则的最小值为线段，又，
在 中，由余弦定理得，
，则，故正确；
故选：BD
9．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______.
【答案】
【解析】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，于是平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
，，由，
得，解得，矩形中，O为线段AC的中点，
则，令直线OE与平面所成的角为，则，
所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是.
故答案为：
10．（2026·高一·浙江绍兴·阶段检测）在三棱锥中，，，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角分别为和，则的最大值是______．
【答案】
【解析】取中点，连接，
由可知，均为等边三角形，
故，且，
已知，则，故，
又，，
平面，平面，且平面平面，交线为，
平面平面，平面平面，
作，连接，则平面，平面，
则即为与平面所成角，即为与平面所成角，
，
，
设，则，
则，
，
平面，
平面，故，
异面直线的公垂线段即为中斜边上的高，
在中，，
即，解得，即为最小值，
．
11．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围．
【解析】（1）在梯形中，
，，，
，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面．
（2）取中点，连接，，
，，，
，，为二面角的平面角．
由（1）知平面，平面，，
，，
，，
．
（3）当与，都不重合时，令，，
延长交的延长线于，连接，
在平面与平面的交线上，
在平面与平面的交线上，
平面平面，
过作交于，连接，
由（1）知，，
又，平面，，
平面，平面，．
又，平面，，
平面，，．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，整理得，
所以
因为为直角三角形，为斜边上的高，所以，
所以，
，，
，．
12．（2026·高一·河北邯郸·期末）如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，.
(1)当时，证明：平面.
(2)当时，若，平面平面.
（i）证明：；
（ii）求二面角的正弦值范围.
【解析】（1）当时，即为的中点，设，连接，
则是的中位线，则，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）（i）过点作交AC于点，过点作交于点，连接．
在直三棱柱中，平面平面，平面平面平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，所以平面DFG．
又因为平面DFG，所以．
于是，
故有．
（ii）在矩形中，，故矩形为正方形，从而．
又因为平面平面，平面平面．
所以平面，从面．
在直三棱柱中，平面ABC，故有．
又因为，所以平面，从面且．设，
依题意，，于是．
即．
解法1：过点作交于点，连接．
由（i）知，平面，从而．
又因为，所以平面，从而，故为二面角的平面角．
又因为且，所以为二面角的平面角．
又，故二面角的平面角为．
设二面角的平面角为，依题意，．
因为，且，故．
由于，故有，从而，
所以，
因为，所以，
从而，
于是．
因此二面角的正弦值范围为．
解法2：过点作交于点，连接．
显然，故，，，四点共面．
因为平面，从面且．
故为二面角的平面角．
因为，所以．
又因为，所以．
在Rt中，，
故有．
因为，所以．
于是．
因此二面角的正弦值范围为．
13．（2026·高一·福建·阶段检测）如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，．
(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)若平面⊥平面．
①求证：；
②求的最小值.
【解析】（1）根据题意可知，，且，
所以，且为二面角的平面角，即，
.
（2）①略，
②取的中点S，连接，，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，由①得，所以，
在中，，
在中，，
在中，，因此，
化简得到，
因为，，所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
14．（2026·高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．
(1)求该圆锥体石膏的体积；
(2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；
(3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．
【解析】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高，
因为是边长为8的等边三角形，
所以，，
因此圆锥体石膏的体积.
（2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8，
所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示，
，，，，
所以到的最短距离，
即昆虫爬行的最短距离为.
（3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径，
设圆锥内切球的半径为，，
此时球的表面积.
15．（2026·高一·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
(1)求圆锥的体积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高．
【解析】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆，
因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得，
圆锥的高.
因此圆锥的体积为.
（2）设圆柱的底面半径为，高为.
由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似），
可得比例关系.
圆柱侧面积公式为，代入得
这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值，
代入得最大侧面积.
因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为.
16．（2026·高一·安徽黄山·期中）在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是．
(1)若，求：的最大值；
(2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值
【解析】（1）若绕旋转：斜边上的高，体积，
当时，，所以，
当且仅当时等号成立，此时，
即几何图形体积的最大值为．
（2）因为，
所以，
当，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
17．（2026·高二·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点．
(1)求证：直线∥平面；
(2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值．
【解析】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以是的中位线，
因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且，
故且， 因此四边形是平行四边形，得，
又平面，平面，所以平面.
（2） 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ，
因为是下底直径，在下底圆周上，故，
设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2，
的面积，是中点，故，
因为是中点，平面，
故， 到底面的距离为圆台的高，
因此： ，
因为，当时三棱锥体积取最大值： .

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