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第14讲 概率综合应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、古典概型 3
知识点2、概率的基本性质 3
知识点3、相互独立事件的概念 3
知识点4、相互独立事件的性质 4
03 重难点题型 5
题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 5
题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 5
题型三：事件相互独立性的判定与辨析 6
题型四：古典概型的特征识别与概率计算 6
题型五：相互独立事件的概率计算 7
题型六：概率知识的综合应用 8
04 过关检测 11
知识点1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
知识点2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
知识点3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
知识点4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算
例1．（2026·高一·天津·期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　）
A．12 B．30 C．36 D．15
例2．（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（ ）.
A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数
B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序
C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数
变式1．（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断
例4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
例5．（2026·高一·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件
C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件
例6．（2026·高一·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥
变式2．（2026·高一·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球
题型三：事件相互独立性的判定与辨析
例7．（2026·高一·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等
例8．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断
例9．（2026·高三·辽宁锦州·期末）已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
变式3．（2026·高二·湖北武汉·期中）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立
C． D．
题型四：古典概型的特征识别与概率计算
例10．（2026·高一·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2026·高一·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
变式4．（2026·高一·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2026·高一·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型五：相互独立事件的概率计算
例13．（2026·高二·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________.
例14．（2026·高一·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______．
例15．（2026·高二·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________．
变式6．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______.
题型六：概率知识的综合应用
例16．（2026·高一·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．
例17．（2026·高二·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．
(1)求身高在区间的学生人数；
(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
①求从这三个组分别抽取的学生人数；
②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率．
例18．（2026·高一·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立．
(1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率；
(2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率；
(3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率．
变式7．（2026·高二·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．

(1)求部件正常工作的概率；
(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
变式8．（2026·高一·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队得分与乙队得分为的概率.
1．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
2．（2026·高一·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一只盒子中有红球个，白球10个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．（2026·高一·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（ ）
A．至多有一次投中 B．至少有一次投中
C．恰有一次没有投中 D．两次都投中
6．（2026·高一·福建福州·阶段检测）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（ ）
A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品
7．（2026·高一·河北邢台·期末）不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立
C．与相互独立 D．
8．（2026·高二·四川成都·期中）已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ）
A．与相互独立且 B．与不相互独立且
C．与相互独立且 D．与不相互独立且
9．（2026·高一·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ）
A．第一次朝上的数字是偶数
B．第一次朝上的数字是1
C．两次朝上的数字之和是8
D．两次朝上的数字之和是7
10．（2026·高二·广东茂名·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等
11．（2026·高一·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________.
14．（2026·高二·陕西商洛·期中）高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________.
15．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为______.
16．（2026·高一·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率.
17．（2026·高一·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率；
(3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.中小学教育资源及组卷应用平台
第14讲 概率综合应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、古典概型 3
知识点2、概率的基本性质 3
知识点3、相互独立事件的概念 3
知识点4、相互独立事件的性质 4
03 重难点题型 5
题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算 5
题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断 6
题型三：事件相互独立性的判定与辨析 7
题型四：古典概型的特征识别与概率计算 9
题型五：相互独立事件的概率计算 11
题型六：概率知识的综合应用 13
04 过关检测 18
知识点1、古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
知识点2、概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件，都有．
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
性质3：如果事件与事件互斥，那么
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么
，
性质5：如果，那么．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
知识点3、相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
知识点4、相互独立事件的性质
（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：．
题型一：随机事件与样本空间、事件的基本运算
例1．（2026·高一·天津·期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　）
A．12 B．30 C．36 D．15
【答案】C
【解析】每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种．
例2．（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B
例3．（2026·高二·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（ ）.
A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数
B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序
C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数
【答案】C
【解析】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意；
对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意；
对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意；
故是有限集，即D不符合题意.
故选：C.
变式1．（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，.
显然，故A正确；，故B正确；
，故C正确；，故D错误.
故选：D
题型二：互斥事件与对立事件的概念辨析及判断
例4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【解析】由题意知，所以A、B不是互斥事件，
，所以与独立，所以与独立．
故选：B．
例5．（2026·高一·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件
C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件
【答案】C
【解析】样本空间为，，，，，
对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误；
对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确；
对于D，，所以A，D不互斥，故D错误．
故选：C．
例6．（2026·高一·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥
【答案】B
【解析】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件．
方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件．
故选：B.
变式2．（2026·高一·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球
【答案】C
【解析】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球，
对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球，
A选项中的两个事件不是互斥事件；
对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球，
B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球，
故B选项中的两个事件不是互斥事件；
对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立；
对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件.
故选：C.
题型三：事件相互独立性的判定与辨析
例7．（2026·高一·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等
【答案】B
【解析】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误；
对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确；
对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误；
对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况，
事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误．
例8．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断
【答案】A
【解析】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响，
，，
，
，
所以事件与是相互独立事件.
故选：A.
例9．（2026·高三·辽宁锦州·期末）已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】D
【解析】由事件 A 与事件 B 相互独立，可得
由，可得，则事件与事件相互独立，
故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件.
故选：D.
变式3．（2026·高二·湖北武汉·期中）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立
C． D．
【答案】C
【解析】
由树状图可知，
，故C正确，D错误.
对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误；
对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误；
故选：C.
题型四：古典概型的特征识别与概率计算
例10．（2026·高一·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从中随机选取三个不同的数
有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况，
所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确.
例11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个，
所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个，
故．
例12．（2026·高一·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
【答案】B
【解析】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内，
这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图.
除了这两个图，其他四个图都是二部图.
例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中；
对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中.
从这六个图中任选两个，所有的选择为
，
，
，共15种.
这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种，
这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种，
故这两个图都是二部图的概率为，故A错误；
这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确；
这两个图不都是二部图的概率为，故C错误；
这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误.
故选：B.
变式4．（2026·高一·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生，
记这3人为，其余2人为，
从5人中选取人有：，共有10种情况，
恰好2人都是男生有，共3种情况，
所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为.
故选：A.
变式5．（2026·高一·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为：
，共种情况，
其中符合所取两个数之和为5，共种情况，
所以所取两个数之和为5的概率是.
故选：B
题型五：相互独立事件的概率计算
例13．（2026·高二·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________.
【答案】/
【解析】对三个元件进行标号，如下图所示：
设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且.
电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以.
故电路接通的概率为.
例14．（2026·高一·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______．
【答案】
【解析】根据题意，则甲 乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为，
则至少有一人投中的概率；
故答案为：.
例15．（2026·高二·上海·阶段检测）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是___________．
【答案】/
【解析】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，
由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，
，
所以．
故答案为：．
变式6．（2026·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______.
【答案】
【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，
由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，
所以.
故答案为：.
题型六：概率知识的综合应用
例16．（2026·高一·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．
【解析】（1）由图知，组距，由，得．
（2）各组中点值和相应的频率依次为：
中点值 30 35 40 45 50
频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075
所以，
果实重量在的频率为，
果实重量在的频率为，
果实重量在的频率为，
所以中位数满足关系，
由，解得．
（3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，
分别记为和，
从中任取2个的取法有：
，
，
，共21种取法，
其中都是优质果实的取法有，共3种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率．
例17．（2026·高二·上海·阶段检测）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．
(1)求身高在区间的学生人数；
(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
①求从这三个组分别抽取的学生人数；
②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率．
【解析】（1）设的频率为，
由频率分布直方图可知，解得．
所以身高在区间的学生人数为（人）．
（2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人．
因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）．
②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，
则从6名学生中抽取2人有15种可能：
，，，，， ，，，，，，，，，．
其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：
，，，，，，，，．
所以组中至少有1人被抽中的概率为．
例18．（2026·高一·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立．
(1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率；
(2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率；
(3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率．
【解析】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B,
设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C,
则.
（2）设第次线上抽奖中奖为事件，
设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D，
则.
（3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中，
则.
变式7．（2026·高二·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．

(1)求部件正常工作的概率；
(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
【解析】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则．
（2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
．
所以；
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
变式8．（2026·高一·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队得分与乙队得分为的概率.
【解析】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件.
乙队得3分，即三人都回答正确，其概率.
乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，
其概率.
（2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分，
记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件.
事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错，
则，
则甲队得分与乙队得分为的概率.
1．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
【答案】C
【解析】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次，
所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”.
故选：C
2．（2026·高一·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得，；
显然易知.
所以事件“点数为6”可以表示为.
故选：D
3．一只盒子中有红球个，白球10个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意从中任取一个球，取得是白球的概率为，
不是白球的概率为，又概率相等，所以.
故选：A
4．（2026·高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确，
对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.
故选：C
5．（2026·高一·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（ ）
A．至多有一次投中 B．至少有一次投中
C．恰有一次没有投中 D．两次都投中
【答案】D
【解析】某人连续投篮两次，共会发生：
第一次中第二次不中，
第一次不中第二次中，
第一次中第二次中，
第一次不中第二次不中，共4种情况，
事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，
所以与之互斥的就是“两次都投中”，
故选：D
6．（2026·高一·福建福州·阶段检测）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（ ）
A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品
【答案】A
【解析】根据题意，
选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；
选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；
选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件.
故选：A.
7．（2026·高一·河北邢台·期末）不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立
C．与相互独立 D．
【答案】D
【解析】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间，
事件，事件，
对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误；
对于CD，，C错误，D正确.
故选：D
8．（2026·高二·四川成都·期中）已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ）
A．与相互独立且 B．与不相互独立且
C．与相互独立且 D．与不相互独立且
【答案】C
【解析】由题设，，，
所以事件与事件相互独立；
由概率的性质，有.
故选：C
9．（2026·高一·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ）
A．第一次朝上的数字是偶数
B．第一次朝上的数字是1
C．两次朝上的数字之和是8
D．两次朝上的数字之和是7
【答案】D
【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数,
则,
共18个基本事件，则,
设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误；
设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是8，
则共5个基本事件，则,
且，则,
，所以C错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是7，则,
则,且，则
因为，所以事件与事件相互独立.
故选：D.
10．（2026·高二·广东茂名·期中）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等
【答案】A
【解析】事件“第一枚出现偶数点”，，
事件“第二枚出现点数超过3”，，
事件“第一枚出现偶数点，第二枚出现点数超过3”，
，
事件和事件是相互独立事件，故A正确；
可以同时发生，故不互斥，不相等，故B，D错误；
“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，
不是对立事件，故C错误．
故选：A．
11．（2026·高一·上海普陀·期末）从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为:
，，，，，，，，，共种，
则两个数都是奇数包含的基本事件为，
所以两个数都是奇数的概率为.
故选：B.
12．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，
所求概率.
故选：A.
13．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________.
【答案】0.38/
【解析】解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为，
所以
.
故答案为：0.38.
14．（2026·高二·陕西商洛·期中）高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________.
【答案】
【解析】因（6）班每场获胜的概率为，则（7）班每场获胜的概率为，每场输掉比赛的概率为，
依题意比赛采用3场2胜制，（7）班赢得比赛的情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共3种，
则其赢得比赛的概率为.
故答案为：.
15．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为______.
【答案】/
【解析】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，，
由①知，根据③可知，
由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为，
所以，
联立方程组，解得，
所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为.
故答案为：
16．（2026·高一·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率.
【解析】（1）因为组距为，所以，
解得.
平均数为.
（2）没人满分的概率为，
所以至少一人满分的概率为.
17．（2026·高一·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率；
(3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
【解析】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，
甲、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
根据独立事件同时发时的概率公式得，
解得，，
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，
设“团体总分为4分”为事件，
则，
即团体总分为4分的概率是；
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件，
由（2）可知团体总分为4分的概率，
团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为，
所以参加下一轮比赛的概率为，
即该小组参加下一轮比赛的概率为.

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