资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第12讲 空间角与距离问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 3
知识点2、异面直线所成角的常用方法 3
知识点3、直线与平面所成角的常用方法 3
知识点4、作二面角的三种常用方法 3
03 重难点题型 5
题型一：异面直线所成角的计算 5
题型二：直线与平面所成角的计算 9
题型三：二面角的计算 14
题型四：空间距离的计算 20
题型五：存在与探索性问题 23
04 过关检测 30
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点2、异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
知识点3、直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
知识点4、作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
题型一：异面直线所成角的计算
例1．（2026·高一·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点.
(1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上；
(2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值.
【解析】（1）(1)因为平面，直线，故平面，
因为平面，直线，所以平面，
因为平面平面，所以点在直线上.
（2）连接，取的中点，连接、，
因为、、分别为、、的中点，所以，，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，
，，
则，所以，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
例2．（2026·高一·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.

(1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.
【解析】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，
连接，因为是的中点，是的中点，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，故，
所以.

（2）取棱的中点，连接，
又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以直线与所成角，即为或其补角，
在中，，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为 .
（3）因为是的中点，是的中点，所以，，
又在正方体中，易得，，
所以，，
记直线与交于点，因为平面，所以平面，
同理，平面，
所以平面平面，
所以直线三条直线交于一点.
例3．（2026·高一·宁夏银川·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求证：点在直线上；
(3)求证：、、、四点共面．
【解析】（1）根据正方体的性质可知，
是异面直线与所成的角或其补角，
，分别是，的中点，
∴是等腰直角三角形，
，即异面直线与所成角的大小为．
（2），平面，
平面，
，平面，
平面，
平面平面，即，
点在直线上．
（3）连接，，，，因为，分别为，的中点，所以，
又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面．

变式1．（2026·高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二.
(1)证明：；
(2)求直线和所成角的余弦值.
【解析】（1）(1)连接，
分别为的中点，，，
，；
四边形为边长为的菱形，，
为等边三角形，；
平面，，平面，
平面，.
（2）连接，交于点，连接，
四边形为菱形，
为中点，又为中点，
，，
和所成角即为（或其补角）；
在中，，
，又，，
，
即直线和所成角的余弦值为.
题型二：直线与平面所成角的计算
例4．（2026·高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）．
(1)求证：；
(2)求和平面所成角的余弦值．
【解析】（1）(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
又平面BCD，则；
（2）因为平面，
所以平面，
所以即为和平面所成角的平面角，
在中，，
在中，，
在中，，
所以，
即和平面所成角的余弦值为．
例5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）(1)连接交于点，连接，
因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点，
又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故，
因为平面，平面，所以平面．
.
（2）过点作，
在正三棱柱中，平面，，
因为平面，所以，
又为的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，，所以平面，
所以为与平面所成角，
因为，点为的中点．
在中，，
所以，即与平面所成角的余弦值为．
例6．（2026·高一·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）因为，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍），
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，且交于，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
其中，故，
因为，，
由勾股定理得，故，
由勾股定理得，所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
变式2．（2026·高一·重庆·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证： 平面；
(3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值．
【解析】(1)设正方形对角线的交点为，连接，
由题可知，所以，又因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
(2)连接，因为，且，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以 平面；
（3）设菱形对角线交点为，连接，由（2）知平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，所以，又，所以为等边三角形，
所以，所以，所以，
所以.
题型三：二面角的计算
例7．如图，在四面体中，平面ABC，，且.
(1)四面体中有几组互相垂直的平面？（写出互相垂直的平面即可，无需证明）
(2)求二面角和的平面角的大小.
(3)求二面角的平面角的大小.
【解析】（1）由平面，且平面，可得平面平面；
由平面，且平面，可得平面平面；
由平面，得，又，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
综上，共有3组互相垂直的平面.
（2）对于二面角： 由（1）知平面，平面，
所以，又， 则即为二面角的平面角，
在Rt中，因为，则，即二面角的大小为；
对于二面角： 由（1）知平面平面，
所以二面角的大小为.
（3）过点作于点，连接，因为平面，且平面，
所以平面平面，又平面平面，且， 所以平面，
过点作于点，连接，由三垂线定理可知，
所以即为二面角的平面角，
设，在Rt中，， ，
且为的中点，即，
在Rt中，，
因为，， 所以与相似，
则， 故得，
在Rt中，，
所以.即二面角的平面角的大小为.
例8．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，，求：
(1)与所成角的度数；
(2)与平面所成角的正切值；
(3)平面与平面所成二面角的大小．
【解析】（1）由题意得，
或其补角即为与所成的角，
在正方体中，平面，
平面，，
又，且，
平面，
平面，
，
在中，，，
，
，
即与所成角的度数为．
（2）如图所示，过点O作于点E，连接，
平面平面，且交线为，
平面，从而即为与平面所成的角，
在中，，，
，
即与平面所成角的正切值为．
（3）由(1)知，平面，
又平面，
平面平面，
即平面与平面所成二面角的大小为．
例9．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O.
(1)求证：平面PCD；
(2)求证：平面平面ABCD；
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图.
∵M为PA的中点，
∴，，
∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面PCD，平面PCD，
∴平面.
(2)如图，连接，
∵，O是的中点，
∴，
由菱形知，又，PO，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF.
∵平面PAC，平面PAC，
∴.
∵，BD，平面BDF，.
∴平面BDF，
∴，.
∴为二面角的平面角.
∵，，PC，PA，OF共面，
∴，
∵O是AC的中点，
∴F是PC的中点，
又∵，
∴，，
∴.
∵F是PC的中点，又，
∴，
∴，
∴二面角的平面角的余弦值为.
变式3．（2026·高一·天津河西·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积．
(4)求直线与平面所成角的余弦值．
(5)求平面与平面所成角的余弦值．
【解析】(1)连接，因为底面为平行四边形，为中点，
故与相交于，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
(2)因为，，所以，即，
因为平面，平面，所以，
因为平面，且，所以平面.
（3）由，，得，
因为平面，，
所以.
（4）取的中点，连接，则，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
其中，故，
因为，，
由勾股定理得，故，
由勾股定理得，所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
（5）过点N作于E，则E为中点，连接，
因为平面，平面，所以，
则即为平面与平面所成角，
因为，，所以，
则平面与平面所成角的余弦值为.
题型四：空间距离的计算
例10．（2026·高一·天津·期末）（请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：连接，设，连接，
在正三棱柱中，四边形为矩形，
则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面，所以平面
（2）由（1）得，
为异面直线与所成角（或其补角）
，，，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
（3）
取的中点，连接，为等边三角形，
，又正三棱柱，平面，
平面，，
又，平面，平面，
平面，，
点到平面的距离为．
例11．如图所示，在长方体中，，，，求：
(1)点到平面的距离；
(2)直线与平面的距离；
(3)平面与平面的距离．
【解析】（1）在长方体中，可得，
因为且平面，所以平面，
所以点到平面的距离为.
（2）在长方体中，可得，
因为且平面，所以平面，
又因为，且平面，平面，
所以平面，
所以直线与平面的距离等于点到平面的距离，
所以直线与平面的距离为.
（3）在长方体中，可得平面平面，
因为，且，平面，
所以平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面的距离为.
例12．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点.
(1)证明:平面平面
(2)求直线到平面的距离.
【解析】（1）因为为中点，为中点，为中点.
所以，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
因为，平面
所以平面平面
（2）平面平面，
平面平面
所以，因为平面，
所以平面，由（1）可知平面
所以为直线到平面的距离，
因为为中点，则，
直线到平面的距离为.
变式4．（2026·高一·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
【解析】（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
题型五：存在与探索性问题
例13．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：
(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：过点在平面内作，垂足为点，
，，，则平面，
平面，，
，，平面，
平面，则，
故当平面时，四棱锥的体积取最大值，
，，，平面，
因为，，为的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面，
因为平面，平面平面，，因此，平面.
（2）因为平面，与平面所成角为，
因为平面，，
所以，，解得，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，解得或.
因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或.
例14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

【解析】假设线段上存在点F，使直线与平面所成的角为，
因为平面，平面，则，
又底面是矩形，则，
又平面，，则平面，即平面，

故就是直线与平面所成的角，
又平面，平面，则，
则，故，
故当时，在线段上是存在点F，使直线与平面所成的角为；
综上，存在F点，使直线与平面所成的角为，．
例15．（2026·高一·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：在三棱台中，，
在等腰梯形中， ，则,
由余弦定理得，
则，
即，
而平面平面，平面平面
平面，则平面，
又平面，所以.
（2）过作，垂足为，
因为，又平面，
所以平面，
平面，则 ，
又平面，则平面，
则为与平面所成的角，
则，
又平面平面，所以与平面所成的角为.
（3）三棱台侧棱延长线交于点，
由（1）得为正三角形，
由平面平面，则平面平面，
取中点，连接，则，且，
而平面平面平面，则平面，
过作交于，则平面，
而平面，则，
过作于，连接，则为在平面内的射影，
又平面，则平面，
又平面，则，
则为二面角的平面角，
若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ，
设，则
因为，则，
即，解得 ，
，
所以 ，即 ，，
所以线段上存在满足题意的点，且.
变式5．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分）
【解析】（1）
，，，，
，，，
又，面，面，
面，面，
面面.
（2）
由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形，
如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接，
可知，因为面面，面面，，面，
所以面，又，面，面，
所以面，又因为面，所以，
所以即为二面角的平面角，
,
.
（3）
如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于.
所以为与底面所成角的平面角，
因为面，所以，在矩形中，
因为，面，面，
所以面，所以，因为，所以.
设，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，则，
在中，，
可得，
当时，即，平方后化简得，
解得或（舍），
当时，即时，，
所以当时与底面所成角的正切值等于.
1．（2026·高一·江苏泰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值：
(2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，并求其长度.
【解析】（1）连接，如图所示：
在正方体中，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以为异面直线与所成的角，
由为棱的中点，正方体的棱长为，
则，
在中，，
在中，，
在中，，
所以在中，由余弦定理得：.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）因为在平面内，平面与平面的交线为，
所以延长，交于的延长线于点，连接，如图所示：

在正方体中，由，，且为棱的中点，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，
在中，由余弦定理得：，
即，所以.
2．（2026·高一·江苏·期中）如图，在正方体中，为棱的中点．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由．
【解析】（1）在正方体中，，
则为异面直线与所成角，
由于四边形为正方形，则，
即异面直线与所成角为.
（2）连接，在正方体中，，
则为异面直线与所成角，
而，则为等边三角形，即，
则异面直线与所成角为.
（3）设的中点为，连接，
因为为的中点，所以，
在正方体中，，，
则四边形为平行四边形，即，则，
则四点共面，
因此平面与正方体表面的交线为，如图，
3．（2026·高一·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点.
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)证明：
【解析】（1）连接，因为正方体中，，，
因为、分别是棱、的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
所以异面直线和所成角为或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，，
因为平面，平面，所以，
故，因此异面直线与所成角的正切值为.
（2）因为正方体中，，，
因为、分别是棱、的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以.
4．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【解析】（1）连接，如下图所示
因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）知，
所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
因为平面，
所以是直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
因为，
所以，
即直线与平面所成的角为.
5．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接交于点，，
，故为菱形，
故，由长方体得平面，
由平面，知；
由，平面，平面，
知平面，由平面，知.
（2）如图所示，连接，由（1）知，平面，
又由平面，平面平面，交线为，
故点在平面上的投影必在直线上，
故直线与平面所成角即为，
在中，，
，，
故由余弦定理得，
即直线与平面所成角的余弦值为．
6．（2026·高一·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．
(1)求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面的夹角．
【解析】（1）
设中点为，又因为是的中点，所以且，
因为底面是菱形且是的中点，所以且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为，面，面，所以面.
（2）
设中点为，又因为是中点，所以，
因为面，面，面，所以，.
又因为，所以，，
因为，，，面，
所以面，所以是直线与面的夹角.
又由（1）知，所以是直线与面的夹角，
由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形.
又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为.
7．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点.
(1)求证：平面PAC；
(2)求异面直线与CP所成角的大小；
(3)求二面角的平面角的正切值.
【解析】（1）证明：
如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点，
又是的中点，因此在中，是中位线，故.
又平面，平面，所以平面，得证.
（2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角.
正方形边长为2，故，则；
，，，
在中：；
是中位线，，
故.
在中， ，
因此是直角三角形，，
故： ，得，
即异面直线与所成角的大小为.
（3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角.
为中点，，，
在中，.
又，因此，
所以二面角的平面角的正切值为.
8．（2026·高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)记平面与平面的交线为，试证明：；
(3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．
【解析】（1）已知底面为矩形，故，
平面平面，为两平面的交线，
又平面，且，
平面，
平面，且平面，
平面平面．
（2）
已知底面为矩形，故，
又平面平面，
平面，
已知平面，且平面平面，
由线面平行的性质定理得，．
（3）
过作于，平面平面，
由面面垂直的性质定理得，平面，
过作，交于，是矩形，
则，且，
又平面，
平面，故，
，
，
，
，
，
平面，故，
综上，，，
故即为平面与平面所成锐二面角；
设，则，在中，，
则，
，当且仅当时等号成立，
，
在中，，
，
设，令，
当增大时，减小，故增加，
随着增大而递增，
故时，取最大值，最大值为
．
9．（2026·高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）连接，，则交于点P，
因为分别为，的中点，所以在中，，
因为平面， 平面，所以平面；
（2）取中点，连接MC，，
因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以，
在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ，
而 ， 平面，所以平面，
因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角，
在中，，
因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以，
在中，，所以.
所以二面角 的正弦值为．
10．（2026·高一·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面.
(1)求证：为BC的中点；
(2)求三棱锥的表面积及到平面的距离.
【解析】（1）证明：如图，因为平面且平面，
又因平面平面，
所以.
又因在直三棱柱中，为平行四边形，
所以为的中点，
所以为的中位线.
所以为的中点.
（2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2，
在中，由勾股定理可得，，.
因为，
所以，所以为直角三角形，
三棱锥的表面积为
.
设到平面的距离为，因为，所以
即，解得，
所以到平面的距离为.
11．（2026·高二·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．

(1)证明：平面；
(2)若平面，且，求点到平面的距离．
【解析】（1）取的中点，连结，

因为是中点，所以，且，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为，所以，
所以，因此四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）作于，由（1）知平面即为平面，

因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，所以平面，
所以即为点到平面的距离。
因为平面，平面，所以
在中，，
所以，
所以.
12．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求直线与平面所成的角；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离．
【解析】（1）连接，
由于平面，所以是直线与平面所成的角，
由于平面，所以，
因为，所以，
又为的中点，所以，
所以，所以.
（2）依题意可知，平面，平面，
由于，平面，所以平面平面.
因为平面，平面，所以，
由于平面，
所以平面，而是的中点，所以平面，
直线到平面的距离，等于到平面的距离，
所以直线到平面的距离为.
13．（2026·高一·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，.
(1)若点为的中点，证明：；
(2)当时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值.
【解析】（1）设，取中点，连接，，
为等边三角形，为中点，
，
在中，为中点，，
在中，，
，
在中，，
.
（2）设，取中点，连接，，
取中点，连接，由（1）得，，
在中，为中点，
且，
故异面直线与所成角为与所成的角，
在中，,
,
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设,，
异面直线与所成角的余弦值为
由（2）可知，
，故，
在中，，
，故.
14．（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点
(1)求证：平面平面
(2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设点到平面的距离为，
因为，，所以，
因为，所以，
因为，所以平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）取的中点为，连接，，作交于，连接，
因为为中点，则，所以，
因为平面，所以平面，平面，
所以为与平面所成的角
因为为等腰三角形，，，
所以，，所以，
又，平面，所以为等腰直角三角形
设，则，，，
，
，即，解得，（舍）
所以，当时，与平面所成的角的正弦值为
15．（2026·高一·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在三棱台中，，，
在等腰梯形中，，
由余弦定理得：，
则，即，
而平面平面，平面平面平面，
所以平面.
（2）过，垂足为，
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
得 又，平面，
则平面，为与平面所在角，，
因此，所以与平面所成角为.
（3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形，
由平面，平面，得平面平面，取中点，
则，而平面平面，平面，则平面，
作交于，则平面，而平面，则，
作于，连接，即在平面上的射影，

又，平面，则平面，
又平面，于是，为二面角的平面角，
若存在使得二面角的大小为，即，
设，则，，
即，解得，，，
因此，，
所以存在满足题意的点.中小学教育资源及组卷应用平台
第12讲 空间角与距离问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 3
知识点2、异面直线所成角的常用方法 3
知识点3、直线与平面所成角的常用方法 3
知识点4、作二面角的三种常用方法 3
03 重难点题型 5
题型一：异面直线所成角的计算 5
题型二：直线与平面所成角的计算 6
题型三：二面角的计算 8
题型四：空间距离的计算 10
题型五：存在与探索性问题 11
04 过关检测 14
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．
（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点2、异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
知识点3、直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
知识点4、作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
题型一：异面直线所成角的计算
例1．（2026·高一·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点.
(1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上；
(2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值.
例2．（2026·高一·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.

(1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.
例3．（2026·高一·宁夏银川·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求证：点在直线上；
(3)求证：、、、四点共面．
变式1．（2026·高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二.
(1)证明：；
(2)求直线和所成角的余弦值.
题型二：直线与平面所成角的计算
例4．（2026·高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）．
(1)求证：；
(2)求和平面所成角的余弦值．
例5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
例6．（2026·高一·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
变式2．（2026·高一·重庆·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证： 平面；
(3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值．
题型三：二面角的计算
例7．如图，在四面体中，平面ABC，，且.
(1)四面体中有几组互相垂直的平面？（写出互相垂直的平面即可，无需证明）
(2)求二面角和的平面角的大小.
(3)求二面角的平面角的大小.
例8．（2026·高一·山西朔州·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，，求：
(1)与所成角的度数；
(2)与平面所成角的正切值；
(3)平面与平面所成二面角的大小．
例9．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O.
(1)求证：平面PCD；
(2)求证：平面平面ABCD；
(3)求二面角的平面角的余弦值.
变式3．（2026·高一·天津河西·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积．
(4)求直线与平面所成角的余弦值．
(5)求平面与平面所成角的余弦值．
题型四：空间距离的计算
例10．（2026·高一·天津·期末）（请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
例11．如图所示，在长方体中，，，，求：
(1)点到平面的距离；
(2)直线与平面的距离；
(3)平面与平面的距离．
例12．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点.
(1)证明:平面平面
(2)求直线到平面的距离.
变式4．（2026·高一·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
题型五：存在与探索性问题
例13．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：
(1)设平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
例14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

例15．（2026·高一·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
变式5．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点．
(1)求证：平面平面；
(2)试作出二面角，并求二面角的正切值；
(3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分）
1．（2026·高一·江苏泰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值：
(2)设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，并求其长度.
2．（2026·高一·江苏·期中）如图，在正方体中，为棱的中点．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由．
3．（2026·高一·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点.
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)证明：
4．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
5．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
6．（2026·高一·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．
(1)求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面的夹角．
7．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点.
(1)求证：平面PAC；
(2)求异面直线与CP所成角的大小；
(3)求二面角的平面角的正切值.
8．（2026·高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)记平面与平面的交线为，试证明：；
(3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．
9．（2026·高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值．
10．（2026·高一·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面.
(1)求证：为BC的中点；
(2)求三棱锥的表面积及到平面的距离.
11．（2026·高二·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．

(1)证明：平面；
(2)若平面，且，求点到平面的距离．
12．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求直线与平面所成的角；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离．
13．（2026·高一·陕西榆林·期末）如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，.
(1)若点为的中点，证明：；
(2)当时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值.
14．（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点
(1)求证：平面平面
(2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
15．（2026·高一·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.

展开更多......

收起↑