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2025-2026学年下学期期末考试押题卷01
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】复数满足，则.
则的虚部为.
故选：B.
2．已知向量，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，且，
所以，解得.
故选：A.
3．在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【解析】由题意知，所以A、B不是互斥事件，
，所以与独立，所以与独立．
故选：B．
4．设，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.
由两角和的余弦公式，得.
因为.所以.
又因为，所以.
由半角公式，得.
即.
因为为锐角，所以，从而.
又因为，所以.
由于.
且余弦函数在上单调递减，所以.
即.
5．若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，则，可得，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，则，整理可得.
所以，为等边三角形.
故选：A.
6．已知为的边的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，
所以
，
因为，则，
所以，即.
故选：D.
7．如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接，
因平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，则，
又，，平面，则平面，
又平面，则，
则为二面角的平面角，
因，，则为的中点，，，
因，，则为等边三角形，
则为边上靠近点的四等分点，，
则，则，
则，
故二面角的余弦值为.
故选：B
8．正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】如图，当平面过这四个顶点时，到距离相等，因为正方体有6个面，故这样的平面有六个；
如图，当平面过时，到平面距离相等，故经过上下底面、左右两面，前后两面的平面各有2个，一共6个；
综上所述，这样的平面共有12个.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为0.015
B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C．估计总体中成绩落在内的学生人数105
D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85
【答案】AB
【解析】对于A：由，解得，A正确；
对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确；
对于C：区间对应的频率为，，
所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误；
对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为，
因为，所以第百分位数落在区间内，
由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误；
故选：AB.
10．定义：平面向量，满足.若，，，则（ ）
A． B．，
C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，，故，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，故，C正确；
D选项，，故，D错误.
故选：BC
11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角是
B．三棱锥的体积为
C．存在点，使得
D．点到平面距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，∵，可知异面直线与所成的角等于与所成的角，
因为为正三角形，则，
所以异面直线与所成的角是，故A错；
对于B，因为，面，面，可知面，
因为，面，面，可知面，
且，面，所以面面，
点，在平面内，则点，到面的距离相等，
三棱锥的体积为
，故B正确；
对于C，当为中点时，满足点在平面内且，
因为，，则，即，故C正确；
对于D，分别取，的中点，，三棱锥为正三棱锥，
过作面于，则为正的中心，
因为，则，，
由，得，
即，解得，
因为，则，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即正的内切圆，
该内切圆与的交点为E，如图，当P与E重合时，点P到平面距离取最小值，
作于，，面，
，，
即点到平面距离的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在复数范围内分解因式：______.
【答案】
【解析】.
13．记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____.
【答案】
【解析】因为，且，，
所以，则，
因为，所以．
故答案为：．
14．甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________.
【答案】
【解析】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件.
设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件，
则
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知是关于的方程的一个根，其中，为实数．
(1)求的值；
(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．
【解析】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根.
已知是方程（为实数 ）的一个根，
那么z的共轭复数也是该方程的根.
根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积.
计算的值：，所以，即.
计算的值：，
因为，所以，所以.
所以.
（2）已知，计算：
因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为.
则有
解，可得
当时，，满足条件.
所以实数的值为.
16．（15分）
为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图：
(1)分别求出频率分布直方图中的；
(2)求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）；
(3)若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率．
【解析】（1），得，
，得.
（2）大理旅游满意度评分的平均数为：
（分）
（3）由分层抽样知，满意度在的两组中分别抽取人，人，
不妨设满意度在中抽取的3人为，满意度在中抽取的2人为，
从这5人中随机抽取2人所得基本事件为：，共10个，
其中选取的2人满意度分别在和内的基本事件为：，共6个，
所以.
17．（15分）
记的内角的对边分别为，，，的面积为，已知，．
(1)求角；
(2)若，求的值．
【解析】（1）因为，所以，
所以，即，于是．
又，所以．
（2），
因为，所以，故，
因为，所以．
由正弦定理得，解得．
所以
.
18．（17分）
为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立．
(1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为：
①求，的值；
②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率；
(2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值．
【解析】（1）①由题意可得，解得或，
因为，所以，，解得；
②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况：
第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为；
第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为；
第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为；
所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为；
（2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为，
则，
因为，所以，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为.
19．（17分）
中国古代数学名著《九章算术·商功》将正三棱台这类多面体归为“刍童”，并记载其体积算法：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”，这是世界上最早的棱台体积通用计算法则，与现代棱台体积公式高度契合．魏晋数学家刘徽在注疏中，运用“割补术”将棱台分解为“三品棋”（长方体、堑堵、阳马），严谨证明了该算法的正确性，彰显了中国古代“化繁为简、数形结合”的数学智慧．如图，某古代粮仓模型为正三棱台，模拟“刍童”形制．已知该三棱台上底面边长，下底面边长，侧棱长．
(1)求该正三棱台的高；
(2)若线段上有一动点，求的最小值；
(3)若计划在该三棱台内部放置一个体积最大的实心球（与各面均相切），请判断是否存在这样的球．若存在，求出其体积；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设正三棱台上下底面中心分别为、，连接、、，则为正三棱台的高；
设在底面的射影为，易知在上；
上底面正三角形边长，；
下底面正三角形边长，；
，
根据勾股定理：
所以正三棱台的高．
（2）如图，将侧面与展开到同一个平面，
当时，取得最小值，
等腰梯形中，，，，；
正棱台侧面全等，；
展开后；
所以最小值为.
（3）将正三棱台补形成三棱锥，
则，，；
该三棱锥为正四面体
设正三棱锥的内切球半径为，
由等体积法，,故；
若球与正三棱台各个面都相切，则需；
而，，，所以不存在这样的球.中小学教育资源及组卷应用平台
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2025-2026学年下学期期末考试押题卷01
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知向量，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
4．设，则有（ ）
A． B． C． D．
5．若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知为的边的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为0.015
B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C．估计总体中成绩落在内的学生人数105
D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85
10．定义：平面向量，满足.若，，，则（ ）
A． B．，
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角是
B．三棱锥的体积为
C．存在点，使得
D．点到平面距离的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在复数范围内分解因式：______.
13．记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____.
14．甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知是关于的方程的一个根，其中，为实数．
(1)求的值；
(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．
16．（15分）
为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图：
(1)分别求出频率分布直方图中的；
(2)求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）；
(3)若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率．
17．（15分）
记的内角的对边分别为，，，的面积为，已知，．
(1)求角；
(2)若，求的值．
18．（17分）
为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立．
(1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为：
①求，的值；
②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率；
(2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值．
19．（17分）
中国古代数学名著《九章算术·商功》将正三棱台这类多面体归为“刍童”，并记载其体积算法：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”，这是世界上最早的棱台体积通用计算法则，与现代棱台体积公式高度契合．魏晋数学家刘徽在注疏中，运用“割补术”将棱台分解为“三品棋”（长方体、堑堵、阳马），严谨证明了该算法的正确性，彰显了中国古代“化繁为简、数形结合”的数学智慧．如图，某古代粮仓模型为正三棱台，模拟“刍童”形制．已知该三棱台上底面边长，下底面边长，侧棱长．
(1)求该正三棱台的高；
(2)若线段上有一动点，求的最小值；
(3)若计划在该三棱台内部放置一个体积最大的实心球（与各面均相切），请判断是否存在这样的球．若存在，求出其体积；若不存在，请说明理由．

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