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2025-2026学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C．7 D．
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2024年9月到2025年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年10月份的方差小于2024年11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年12月份的平均值大于2025年1月份的平均值
8．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A．向量方向上的单位向量为
B．当时，向量在向量上的投影向量为
C．当与的夹角为锐角时，
D．当时，
10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
11．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．四边形的面积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______.
630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238
844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206
13．函数的值域是__________．
14．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，三个内角的对边分别为.
(1)若，求；
(2)若边上的高，求的周长.
16．（15分）
已知为虚数单位，，是的两个根.
(1)设，满足方程，求的值；
(2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
17．（15分）
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)求满意度评分的中位数和平均数．
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
18．（17分）
如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值；
(3)若与所成角的余弦值为，求的值．
19．（17分）
平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量.
(1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标.
(2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值.
(3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
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2025-2026学年下学期期末考试押题卷02
高一·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
2．已知复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
的虚部是
故选：C
3．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【解析】由题意，所以，
所以.
故选：C.
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中利用正弦定理得，则，
若有且仅有一个，则或，或，
则边长的取值范围是.
故选：C
6．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由写二次画法可知，，
在中，由余弦定理，
所以.
故选：A.
7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2024年9月到2025年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年10月份的方差小于2024年11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年12月份的平均值大于2025年1月份的平均值
【答案】D
【解析】观察走势图可知A，B错误；从走势来看，2024年10月份网民对该关键词的搜索指数的方差大于2024年11月份网民对该关键词的搜索指数的方差，C错误；从走势图来看，2024年12月份网民对该关键词的搜索指数的平均数大于2025年1月份网民对该关键词的搜索指数的平均数，D正确.
8．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接，，，
因为E，F分别是棱，的中点，所以，
又，故，，则四点共面，
故截该正方体所得截面为四边形，
，，
，四边形为等腰梯形，
过点分别作，交于点，
则，故，
故，所以截面面积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A．向量方向上的单位向量为
B．当时，向量在向量上的投影向量为
C．当与的夹角为锐角时，
D．当时，
【答案】BC
【解析】对于A：因为，则，
所以向量方向上的单位向量为，故A错误；
对于B：当时，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向，
故，解得，故C正确；
对于D：当，则，解得，所以，
所以，所以，故D错误.
故选：BC
10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A，事件与事件互斥，，故A正确；
对于B，事件与事件相互独立，，
，故B正确；
对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误；
对于D，因则事件与事件相互独立，
故事件与事件相互独立，故D正确.
故选:ABD.
11．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．四边形的面积为
【答案】AD
【解析】在圆内接四边形中，连接，，，
对于A，由余弦定理得，，
即，解得，而，则，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，解得，C错误；
对于D，四边形的面积，D正确.
故选：AD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______.
630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238
844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206
【答案】19
【解析】从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，
抽出的前5名同学的号码是，所以第5名同学的号码是19.
故答案为：19.
13．函数的值域是__________．
【答案】
【解析】利用诱导公式 ，二倍角公式 ，
代入原函数得：
换元转化为二次函数： 令 ，
由余弦函数性质得 ，函数转化为：，
该二次函数开口向上，对称轴为 ，
因此二次函数在 上单调递减，
当 时，取最小值 ，
当 时，取最大值 ，
因此 的值域为.
14．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________．
【答案】/
【解析】令于，于，平面，则，
由，得，
又是平面内的两条相交直线，则平面，
又平面，于是，
是二面角的平面角，，
则，在中，由余弦定理得，
而到的距离是四边形外接圆直径，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，三个内角的对边分别为.
(1)若，求；
(2)若边上的高，求的周长.
【解析】（1）由余弦定理
得，
联立，解得（舍）或，
由正弦定理得，得
解得.
（2）由题得的面积，
.
由余弦定理得，
，
，
的周长为.
16．（15分）
已知为虚数单位，，是的两个根.
(1)设，满足方程，求的值；
(2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以方程的两个根，为共轭复数，
设，，
由韦达定理得，，
将，代入，
得，即，
所以，解得，所以，，
所以，．
（2）因为，所以，所以，，
所以，，
因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数的取值范围为.
17．（15分）
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)求满意度评分的中位数和平均数．
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
【解析】（1）；
（2）；所以中位数在内，设中位数为，
（或）．
．
（3）与的频率之比，
所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为，
，或者列举法：共10种情况，
符合条件的6种情况；．
18．（17分）
如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值；
(3)若与所成角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）略.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以为二面角的平面角．
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
所以二面角的正弦值为．
（3）因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角．
由（2）知，所以．
由题意得，则．
①如图，当在线段上时，
因为，，
所以
．
在中，由正弦定理得，，即，
解得，所以，故．
②如图，当在线段的延长线上时，
因为，，
由图知，
则，
在中，由正弦定理得，，即，
解得，所以，．
综上得，或．
19．（17分）
平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量.
(1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标.
(2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值.
(3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，
逆时针旋转角后得，
，
，
故.
由变换可知
，
，
所以点的坐标为.
（2）连续对作次变换，等价于将向量逆时针旋转角.
由，得，，
即，，
当时，，
因为，所以时.
（3）由可知，
，
所以，
得.
由，得，
因为在上有且仅有两个不同的根，
所以，解得，
所以的取值范围为.

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