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2025-2026学年下学期期末考试押题卷
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：导数、选择性必修修第三册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
2．五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( )
A．12 B．24 C．48 D．120
3．函数的单调递增区间为（　　）
A．和 B．
C． D．
4．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 150 60
女 200 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，．
A． B．
C． D．
7．若，，，则事件A与B满足（ ）
A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥
8．若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ）
A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种
B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种
C．3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种
D．每名女生旁边都有男生的概率为
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有两个极值点
B．直线与的图象有且仅有两个公共点
C．若有三个零点，则
D．若，对，都有
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________．
13．甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人数最多的地方的人数为，则________．
14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知的展开式中各二项式系数的和为32.
(1)求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
(3)求展开式中各项系数的和.
16．（15分）
某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.
(1)求函数的解析式；
(2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.
17．（15分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x (千件)有关，经统计得到如下数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 56 31.5 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用指数函数模型和反比例函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.
已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 与x的相关系数
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时，每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在( )之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因
参考数据(其中
0.34 0.1156 1.53. 184 5752.56 92.82 30.33 13.79
参考公式：对于一组数据， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 相关系数
18．（17分）
设函数．
(1)当时，讨论在上的极值点情况．
(2)当时，在上恒成立，求的取值范围．
(3)若，在上存在零点，求的取值范围．
19．（17分）
在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，．
(1)求的概率；
(2)求随机变量的数学期望；
(3)求随机变量的数学期望；
参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：．中小学教育资源及组卷应用平台
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2025-2026学年下学期期末考试押题卷
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：导数、选择性必修修第三册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对四个散点图分析：
对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且；
对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有 ；
对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱， 都接近，都小于.
因此相关系数最大的是.
2．五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( )
A．12 B．24 C．48 D．120
【答案】C
【解析】将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为，
剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为.
可得总站法种数.
3．函数的单调递增区间为（　　）
A．和 B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
，
由，解得，
函数的单调递增区间为．
4．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，所以二项式的展开式中的常数项为.
5．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】D
【解析】因为服从正态分布，且，
则，即正态曲线关于直线对称，
所以，
又，
所以.
6．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 150 60
女 200 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，
.
所以.
7．若，，，则事件A与B满足（ ）
A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥
【答案】C
【解析】对于A，，因为，所以A与B不是对立事件，A错误.
对于B，，B错误.
对于C，，C正确.
对于D，互斥事件要求，而，故D错误.
8．若是函数的极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由求导得，
因是函数的极大值点，则，即，
所以，
若，则当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故在处取极大值，符合题意；
若，则当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则在处取极小值，不符合题意；
若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意；
则的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ）
A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种
B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种
C．3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种
D．每名女生旁边都有男生的概率为
【答案】BCD
【解析】对于A，将3名女生捆为1个整体，4名男生捆为1个整体，共2个整体全排列，再分别内部全排列，
总站法：，A错误.
对于B，要让3名女生、4名男生都互不相邻，总人数为7，只能是“男女男女男女男”的排列结构，
总站法：，B正确.
对于C，3名女生顺序固定，可用总排列数除以女生的全排列，站法总数，C正确.
对于D，总排列数为，
若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，
若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入不与该女生整体相邻的4个空中的1个空，则有种排法，
故每名女生旁边都有男生的概率为，D正确.
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，，，所以，C正确；
对于D，，
令，则，D错误.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有两个极值点
B．直线与的图象有且仅有两个公共点
C．若有三个零点，则
D．若，对，都有
【答案】AC
【解析】已知，求导得，
选项A：因为，有两个不同的实根，
且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确；
选项B：令，得，即，解得，
因此直线与图象有个公共点，B选项错误；
选项C：的极大值为（恒成立），
极小值为有三个零点等价于极小值小于，
即，结合得，即，C选项正确；
选项D：当时，，所以在上恒成立，
在单调递减，，
当时，，不满足，D选项错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为_________．
【答案】4
【解析】，求导可得，
曲线在处的切线的斜率为．
13．甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人数最多的地方的人数为，则________．
【答案】/
【解析】依题意共有种情况，显然，
考虑即三位同学各去了一个地方的情况，有种，
所以.
14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．

【答案】 /0.25
【解析】解法一：(1)第0小时，在B；
第1小时，只能到A，概率为；
第2小时，可能到B，可能到D，概率为；
第3小时，到C，概率为；
故；
(2)由题意知；；；；
；
由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故；
奇数小时时：
由可知：，
即；
令，
则将式两边同时乘以可得：式减式可得：，
；
故，即．
解法二：
设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，
分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.
当时，则，，，，
则，因为，，则，
则，则，化简得．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知的展开式中各二项式系数的和为32.
(1)求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
(3)求展开式中各项系数的和.
【解析】（1）由题可知，所以，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
所以，
（2）展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中没有常数项；
（3）令，则，
展开式中各项系数的和为1
16．（15分）
某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.
(1)求函数的解析式；
(2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.
【解析】（1）由题意可知，当时，，即，
解得，所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得（舍去）或，
所以当时，在为增函数；
当时，在为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
此时元.
所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元.
17．（15分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x (千件)有关，经统计得到如下数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 56 31.5 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用指数函数模型和反比例函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.
已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 与x的相关系数
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时，每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在( )之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因
参考数据(其中
0.34 0.1156 1.53. 184 5752.56 92.82 30.33 13.79
参考公式：对于一组数据， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 相关系数
【解析】（1）代入参考数据： ，， ， ，
，
反比例函数模型的回归方程为：.
（2）计算
假设经计算 ，则反比例函数模型拟合效果更好.
利用反比例模型估计时的成本：
答：每件产品的非原料成本估计为11元.
（3）样本均值 （已算出）.
样本方差 .
样本标准差 .
区间为：
检查数据：
原始数据值：56，31.5，22.75，17.8，15.95，14.5，13，12.5.
观察发现：56>37.74.
第一个数据落在了之外.
答：由于存在异样成本（56元），需要寻找出现异样成本的原因.
18．（17分）
设函数．
(1)当时，讨论在上的极值点情况．
(2)当时，在上恒成立，求的取值范围．
(3)若，在上存在零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
①当时，
由指数函数在上单调递增，余弦函数在上单调递减，
可知在单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
②当时，由，，则，
所以在单调递增，
③当时，设，
则
由指数函数在上单调递增，正弦函数在上单调递减，
所以在单调递增，
又，，
所以存在使得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，，
所以必存在，使得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
综上所述，当，单调递增，当，单调递减，
当，单调递增，
所以在区间内存在一个极小值点和一个极大值点．
（2）当时，，由在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，则，
若时，则在上恒成立，则在上单调递增，
所以，符合题意；
若时，令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，，当时，，
则，使得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，不合题意；
综上所述，实数的取值范围是．
（3）由，，令，得，
设，，则，
令，解得，，
当时，，
所以在上单调递减，
当，时，，
所以在，上单调递增，
当，时，取得极小值，
即当，，，…时，取得极小值，
又，，
所以，即，
当，时，取得极大值，
即当，，，…时，取得极大值，
又，，
所以，即
即当时，，
所以，又，
即时，在上存在零点，
故实数．
19．（17分）
在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，．
(1)求的概率；
(2)求随机变量的数学期望；
(3)求随机变量的数学期望；
参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：．
【解析】（1）当点满足时，记其为，，1，2．
蚂蚁奇数次移动后必然到达点，之后有的概率到达点，有的概率到达点，
蚂蚁在或时，下一步必然到达．故．
（2）解法一：由题知，可取2，4，6，8，…，，…．且，
故而．
设，
于是，
则
于是，得．
解法二：蚂蚁在两次移动后，有的概率经过到达点，有的概率经过到达点，
于是
（3）解法一：则当时，蚂蚁第次到达所经历的步数可能为：
，，，…，，…
当蚂蚁通过步第次到达时，前面的步中，在奇数步中，必然到达，
偶数步中，有次到达，对应的概率为，最后2步移动以的概率回到．
于是，故
记，则，
于是
又由，有，
所以
又由也符合上式知，对于一切，有．
解法二：设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
由题，初始位置为时第次到达时移动的总次数为，则当时，
有，
即
即得，又由有
即，又由得．
解法三：由题，有，
结合知，，于是．
解法四：将每两次移动视为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达，有1次到达或者，
即每次操作有的概率发生“到达”，有的概率不发生“到达”．于是为使事件“到达”发生次，
平均需要进行次操作，于是需要移动次，即．

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