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第01讲 导数基础知识与切线类问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点一、基本概念 3
知识点二、基本初等函数的导数公式 3
知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 4
知识点四、复合函数的导数 4
知识点五、导数的几何意义 4
03 重难点题型 5
题型一：导数概念与基础运算 5
题型二：函数在定点处的切线求解 5
题型三：函数过定点的切线求解 6
题型四：切线条件下的参数求解 6
题型五：曲线公切线问题 7
题型六：切线条数判定问题 7
题型七：切线平移法求解距离最值 8
04 过关检测 10
知识点一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为
3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度．
知识点二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
，为正整数
为有理数
注：
知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设均可导，则
（1）（2）
（3）（4）
注：
知识点四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即．
知识点五、导数的几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为．
题型一：导数概念与基础运算
例1．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
例2．（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
题型二：函数在定点处的切线求解
例4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例5．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型三：函数过定点的切线求解
例7．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
例8．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
变式5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：切线条件下的参数求解
例10．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________．
例11．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____．
例12．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________．
变式7．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知曲线的一条切线方程为，则实数__________.
变式8．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______.
变式9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________．
题型五：曲线公切线问题
例13．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________.
例14．（25-26高二下·四川成都·期中）如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______.
例15．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______．
变式10．（25-26高二下·湖北·期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________.
变式11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________．
题型六：切线条数判定问题
例16．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条
例17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
例18．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式12．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：切线平移法求解距离最值
例19．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例21．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式14．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（ ）
A．0 B．4 C．-6 D．4或-6
变式15．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式16．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．0或1
3．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．3
C．4 D．5
4．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线与轴平行，则实数（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
10．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有3个零点
B．的图象关于点对称
C．既有极大值又有极小值
D．经过点且与的图象相切的直线有3条
11．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在上单调递增
C．对任意的，有
D．对任意的，，则
12．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______.
13．（25-26高二下·吉林长春·期中）在曲线上的点处的切线方程为__________________
14．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．
15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________.
16．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数，其中．已知在处取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在点处的切线方程．
17．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知抛物线与直线．
(1)求两曲线的交点；
(2)求抛物线在交点处的切线方程．
18．（25-26高二下·河南南阳·期中）（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
19．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过原点的切线方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 导数基础知识与切线类问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点一、基本概念 3
知识点二、基本初等函数的导数公式 3
知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商） 4
知识点四、复合函数的导数 4
知识点五、导数的几何意义 4
03 重难点题型 5
题型一：导数概念与基础运算 5
题型二：函数在定点处的切线求解 6
题型三：函数过定点的切线求解 8
题型四：切线条件下的参数求解 9
题型五：曲线公切线问题 12
题型六：切线条数判定问题 15
题型七：切线平移法求解距离最值 18
04 过关检测 21
知识点一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为
3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度．
知识点二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
，为正整数
为有理数
注：
知识点三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设均可导，则
（1）（2）
（3）（4）
注：
知识点四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即．
知识点五、导数的几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为．
题型一：导数概念与基础运算
例1．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的图像可知，在上单调递增且增长得越来越慢，如图：
根据导数的几何意义可知，，
即．
例2．（25-26高二下·广东韶关·期中）函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【解析】．
例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，又因为，所以，
即，解得，故C正确.
变式1．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以，
所以.
变式2．（25-26高二下·广东广州·期中）在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，所以，
故该运动员在时的瞬时速度为.
题型二：函数在定点处的切线求解
例4．（25-26高二下·河南郑州·期中）曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】的导函数为，，
将代入导函数，得，
即曲线在处的切线斜率为2.
例5．（25-26高二下·天津蓟州·期中）如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，解得，
故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为．
例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则，则
因为是奇函数，满足，
所以
当时，即切点为
对求导得，切线斜率
由点斜式得切线方程，整理得.
变式3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得；
变式4．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为，.
由，求导得，则切线的斜率.
因为切线过原点和切点，所以斜率.
又切点在曲线上，则，即得.
解得，即.
将其代入曲线方程得，所以切点坐标为.
题型三：函数过定点的切线求解
例7．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为，则，
对函数求导得，切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为.
故选：A.
例8．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
设切点为，则，
切线方程为，又切线过点，
，整理得，
切线方程为，则.
故选：C.
例9．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设切点为，因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又该切线经过点，所以，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故选：C
变式5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，
对函数求导可得，
则切点处的斜率为，所以切线方程为，
因为切线过点，代入切线方程，可得，
整理得，则所求切线方程为.
故选：D.
变式6．（24-25高二下·广东深圳·期中）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：是过原点的切线，
设切点坐标为，
由，则，所以切线方程为，
则，解得，则，所以.
故选：C
题型四：切线条件下的参数求解
例10．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________．
【答案】/
【解析】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，
则①，
曲线求导得，则②，解得，
代入①得，，故，
，
当时，取得最小值，最小值为．
例11．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____．
【答案】
【解析】对于曲线，，
所以，，
所以曲线在点处的切线为，即，
因为与曲线相切，
所以得，即，
所以，解得
所以实数的值为
例12．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________．
【答案】
【解析】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得，
设切点，，
因为直线与曲线相切于点P，所以.
因为直线与曲线相切于点Q，所以.
所以，得到，
化简得，解得，所以.
变式7．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知曲线的一条切线方程为，则实数__________.
【答案】
【解析】，
设切点为，因为切线，所以 ，
解得，（舍去），代入曲线得，
所以切点为，代入切线方程解得.
变式8．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______.
【答案】3
【解析】由题可知，，解得.
变式9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________．
【答案】
【解析】由，得，，故曲线在处的切线方程为；
由，得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
故切线方程为，即，
因两切线重合，则，解得．
题型五：曲线公切线问题
例13．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________.
【答案】
【解析】设曲线上的切点为，因为，
所以直线为，即.
设曲线上的切点为，
因为，所以直线为，即，
所以，解得，
所以，
所以在轴上的截距为.
例14．（25-26高二下·四川成都·期中）如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设直线与曲线和分别相切于点，
和的导数分别为，，
切线方程为：，
，
，，，
，则，
，即，
存在两条不同的直线与两曲线都相切，方程有两个不等实根，
，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；，
又当时，；当时，，
可得图象如下图所示，
则当，即时，与有两个不同交点，
即方程有两个不等实根，
实数的取值范围为.
例15．（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知直线是曲线与的公切线，则______．
【答案】1
【解析】对曲线求导得：，对曲线求导得：，
设直线与曲线相切于点，
则过点的切线方程为：，即：；
设直线与曲线相切于点，
则过点的切线方程为： ，
即：
因为是公切线，所以
化简得：，即：，所以.
变式10．（25-26高二下·湖北·期中）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设切点分别为，
，即，
，即，
，则，
设，
在单调递减，在单调递增，
，
又为正实数，
.
变式11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为求导得由求导得，
设与相切的切点为，与曲线相切的切点为，
则有公共切线的斜率（*），
又因为，，代入（*），得，
即，则，
又因为，所以，
因为存在两条公切线，该方程在上有两解，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以函数在处取极大值，也是最大值，，
当时，,当时，，
因为存在两条公切线，即与有两个交点，则，
所以实数的取值范围为.
题型六：切线条数判定问题
例16．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（ ）
A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】设过原点作函数的切线的切点为，
而，则，
因此切线方程为，
由切线过原点，得，
则或，当时，切线方程为；
由，得或，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，
所以过原点可作函数图象的切线条数为3.
例17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】对函数求导得，设切点坐标为 ，
则切线方程为 .因为切线经过原点，
将 代入得 ，即 .
而，那么，化简得，
由于曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，
所以判别式，解得或.
例18．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，即，
令，原题意等价于与有3个交点，
因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的极小值为，极大值为，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
可得，所以t的取值范围是.
变式12．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，
因切线经过点，则得，化简得，显然，则得，
又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点.
的定义域为，函数求导得，
则当时，，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，，当时，，当时，，当时，.
作出函数的图象如下：
由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或.
故选：D.
变式13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由点不在函数的图象上，得，则，
设过点的直线与的图象相切于点，，
切线方程为，则，
整理得，令，依题意，函数只有一个零点，
求导得，当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使仅有一个零点，当且仅当，
解得或，所以实数的取值范围为
故选：C
题型七：切线平移法求解距离最值
例19．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
求导可得，设，
则，解得，代入可得，
点到直线的距离为，
所以点到直线距离的最小值为.
例20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，解得，代入曲线方程求得，
故切点为，斜率为1的切线方程为，
两平行直线和的距离为，
所以的最小值为.
例21．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，令，即，
令，，恒成立，
故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点，
令，，即切点横坐标为，
代入，切点坐标为，切线方程为：，
切线与直线之间的距离.
故选：C
变式14．（24-25高二下·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（ ）
A．0 B．4 C．-6 D．4或-6
【答案】B
【解析】由，求导得，其中直线的斜率为2，
令，解得：
当时，则，故到直线的距离最小，
由点到直线的距离公式得最小值为，解得或，
且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去．
故选：B.
变式15．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，又，
所以，的最小值转化为
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得，
与平行的直线的斜率为，
由，解得或（舍），可得切点为，
切点到直线的距离的平方，即为的最小值，
所以，的最小值为．
故选：D.
变式16．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，求导可得，
所以在R上单调递增，又在R上单调递增，
故随增大，增长速度逐渐变快，
令，可得，又，
易知曲线上斜率为2的切线，对应切点坐标为．
所以切线方程为，即为，显然与直线平行，
点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.
故选：D.
1．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设公切线与的切点为，
因为，所以，
因为，所以，
则，得.
2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．0或1
【答案】D
【解析】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①.
分别对两函数求导可得及，
由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等，
即，即，解得或.
将代入①可得；将代入①可得，解得，
所以的值为0或1.
3．（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】，
，
又函数在处的切线方程为，
，解得，则，
，
将点代入切线方程得，即，
．
4．（25-26高二下·天津静海·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，又在点处的切线与直线垂直，
，解得．
5．（25-26高二下·重庆·期中）函数在处的切线与轴平行，则实数（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】函数的定义域为，.
由题意知，，即，解得.
6．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以，且，
根据图象得．
7．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
设切线斜率为，则，
又因为切线与直线垂直，
所以，即，解得.
8．（25-26高二下·广东佛山·期中）某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，函数单调递增，所以图象上每个点的导数都大于0，又函数在某点的导数的几何意义等于该点切线的斜率，从图象可得该函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐增大的，因此函数的切线斜率是递增的，.
9．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】BD
【解析】由，得，
对于A，，
所以在处的切线方程为，故A正确；
对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误；
对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为，
所以的极大值为，故C正确；
对于D，方程的解的个数，
即为函数图象交点的个数，
当时，，当时，且，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，方程仅有一个解，故D错误.
10．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有3个零点
B．的图象关于点对称
C．既有极大值又有极小值
D．经过点且与的图象相切的直线有3条
【答案】ACD
【解析】A：令，或，
因为方程的判别式，
所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根，
因此有3个零点，所以本选项说法正确；
B：因为
所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确；
C：，
令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增；
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确；
D：设函数的切点为，
所以过该切点的切线斜率为，
切线方程为，把代入，得
，化简，得
，
解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确.
11．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在上单调递增
C．对任意的，有
D．对任意的，，则
【答案】BCD
【解析】A.由题意可知：，，则，
则曲线在处的切线方程为.故A错误；
B.由题可知，时有恒成立，所以在上单调递增，故B正确；
C.令，则 ，
则在上单调递增，
则 ，则 ，
所以，故C正确；
D.易知.
令，则，
令，
则，
则在上单调递增，则，
则，则在上单调递增，
令，则，
令，则 ，
则在上单调递增﹐则 ，则，
则在上单调递增，则，故D正确.
12．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______.
【答案】
【解析】因为，所以，
根据导数的定义可知.
13．（25-26高二下·吉林长春·期中）在曲线上的点处的切线方程为__________________
【答案】
【解析】，所以，即切线斜率为2，
所以曲线上的点处的切线方程为，整理得.
14．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．
【答案】
【解析】已知，则，
设切点坐标为，则切线斜率为，
此时切线方程为，
因为曲线的一条切线经过点，
所以，即，
因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为，
则该切线方程为，即.
15．（25-26高二下·新疆喀什·期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________.
【答案】0或1
【解析】令，，
则，可得，，
则在点处的切线方程为，
令，则，
由题意可知方程有且仅有一个解，
若，则有且仅有一个解，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：或1.
16．（25-26高二下·吉林长春·期中）设函数，其中．已知在处取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在点处的切线方程．
【解析】（1）.
因为在处取得极值，
所以，即，
整理得，解得，经检验满足题意.
所以．
（2）因为，所以点在上.
由（1）知，，则，
所以切线方程为，即.
17．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知抛物线与直线．
(1)求两曲线的交点；
(2)求抛物线在交点处的切线方程．
【解析】（1）联立抛物线与直线方程： ，
消去得：，整理为一元二次方程： ，
因式分解得，解得 ，
将代入得对应 ，
因此两曲线交点为和；
（2）对求导，得： ，
在交点处： 切线斜率 ，
由点斜式得切线方程： ，整理得；
在交点处： 切线斜率，
由点斜式得切线方程： ，整理得 .
综上：在处切线方程；在处切线方程.
18．（25-26高二下·河南南阳·期中）（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
【解析】（1）设，根据求导的乘法法则，可得，∴
（2）设，根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
∴，∴切线方程为即．
19．（25-26高二下·江西上饶·期中）已知曲线．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过原点的切线方程．
【解析】（1）已知曲线，先求导：,
验证点在曲线上：，点在曲线上．
求该点的切线斜率：,
由点斜式得：,
整理得切线方程：.
（2）设切点为，即，
切点处的斜率：,
所以切线方程为，
切线过原点，即，
整理得，解得或．
当时，切点为，斜率，切线方程为：
当时，切点为，斜率，
切线方程为：
因此，过原点的切线方程为和．

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