资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 借助导数分析函数性质、求解极值与最值
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点一、函数单调性与导函数符号的关系 3
知识点二、求可导函数单调区间的一般步骤 3
知识点三、含参函数单调性的讨论 3
知识点四、函数极值的概念 4
知识点五、求函数极值的一般步骤 4
知识点六、函数的最大值、最小值 5
知识点七、求函数的最大值、最小值的一般步骤 5
03 重难点题型 6
题型一：由函数单调性求解参数范围 6
题型二：含参函数单调性分类讨论 6
题型三：导数分析函数核心性质 7
题型四：函数极值的求解问题 8
题型五：依托极值条件反求参数 9
题型六：函数最值的求解问题 9
题型七：依托最值条件反求参数 10
题型八：三次函数的应用 11
题型九：综合应用问题 12
04 过关检测 14
知识点一、函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减．
知识点二、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在..上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减．
知识点三、含参函数单调性的讨论
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性；
（2）通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性．
知识点四、函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点五、求函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．
为可导函数的极值点；但为的极值点．
知识点六、函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
知识点七、求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
题型一：由函数单调性求解参数范围
例1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高二下·吉林·期中）函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例3．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：含参函数单调性分类讨论
例4．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)分析函数的单调性.
例5．（2026·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性．
变式3．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知函数．
(1)若，证明：在上单调递增；
(2)令，其中，若讨论函数的单调性；
变式4．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求的单调区间．
题型三：导数分析函数核心性质
例7．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
例8．（多选题）（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是.
C．在定义域内无最小值，无最大值. D．.
例9．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在上单调递增
C．对任意的，有
D．对任意的，，则
变式5．（多选题）（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数,则（ ）
A．当或时,有且仅有一个零点
B．当或时,有且仅有一个极值点
C．若为单调递减函数,则
D．若与x轴相切,则
变式6．（多选题）（25-26高二下·广东佛山·期中）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上有且仅有2个零点
C．在上单调递增 D．在上有极小值
题型四：函数极值的求解问题
例10．（25-26高二下·吉林·期中）若函数的极大值为1，则函数的极小值为________，
例11．（2025·四川·三模）函数的极小值是______．
例12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的极小值为________.
变式7．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数的极小值为__________.
变式8．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________．
题型五：依托极值条件反求参数
例13．（25-26高二下·江苏南通·期中）若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________．
例14．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________.
例15．（25-26高二下·广东深圳·期中）若函数在处取得极值3，则__________.
变式9．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______.
变式10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________．
题型六：函数最值的求解问题
例16．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______．
例17．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求，的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
例18．（25-26高二下·广西河池·期中）已知函数为．
(1)求；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间上的最值．
变式11．（24-25高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
变式12．（25-26高二下·北京通州·期中）已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)求在上的最大值和最小值.
题型七：依托最值条件反求参数
例19．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．
例20．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)求在区间上的最小值．
例21．（2026·江西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.
变式13．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值.
变式14．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，函数在上的最小值为2，求实数的值．
题型八：三次函数的应用
例22．（多选题）（2026·福建莆田·模拟预测）设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．当时，
D．曲线上存在无数多对互相平行的切线
例23．（多选题）（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．当且仅当
C．当时， D．若，则
例24．（多选题）（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，是的一个极值点，则（ ）
A．
B．若方程只有一个解，则
C．的图象关于点对称
D．对
变式15．（多选题）（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．当时，
C．函数为奇函数
D．若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则
变式16．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有3个零点
B．的图象关于点对称
C．既有极大值又有极小值
D．经过点且与的图象相切的直线有3条
题型九：综合应用问题
例25．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求证：；
(3)证明：函数存在唯一极大值点，且．
例26．（2026·福建漳州·三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求的最大值；
(3)若函数有零点，证明：．
例27．（25-26高二下·天津东丽·期中）已知函数，其中.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(3)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论.
变式17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（ⅰ）求在上的最大值和最小值；
（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．
变式18．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中．
(1)若是函数的极值点，求实数的值：
(2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围．
1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值
C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值
2．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（ ）
A． B． C．3 D．4
5．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知函数在上的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ）
A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013
8．（25-26高二下·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．当时， D．的最小值为
10．（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的对称中心为
B．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是
C．曲线不可能是轴对称图形
D．若有三个不同的零点，则
11．（多选题）（25-26高二下·江西南昌·期中）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设的斜率为的斜率为，则（ ）
A．时， B．时，
C． D．
12．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________．
13．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________.
14．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
15．（25-26高二下·山东淄博·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
16．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知函数（，为常数）．
(1)若是偶函数，求的极值；
(2)若函数有2个零点，．
①求的取值范围．
②求证．
17．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
18．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围．
19．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数.
(1)求函数的导函数；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的极值.
20．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)求的极值；
(2)当时，证明：.中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 借助导数分析函数性质、求解极值与最值
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点一、函数单调性与导函数符号的关系 3
知识点二、求可导函数单调区间的一般步骤 3
知识点三、含参函数单调性的讨论 3
知识点四、函数极值的概念 4
知识点五、求函数极值的一般步骤 4
知识点六、函数的最大值、最小值 5
知识点七、求函数的最大值、最小值的一般步骤 5
03 重难点题型 6
题型一：由函数单调性求解参数范围 6
题型二：含参函数单调性分类讨论 8
题型三：导数分析函数核心性质 11
题型四：函数极值的求解问题 17
题型五：依托极值条件反求参数 18
题型六：函数最值的求解问题 21
题型七：依托最值条件反求参数 23
题型八：三次函数的应用 27
题型九：综合应用问题 31
04 过关检测 39
知识点一、函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减．
知识点二、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在..上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减．
知识点三、含参函数单调性的讨论
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性；
（2）通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性．
知识点四、函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点五、求函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．
为可导函数的极值点；但为的极值点．
知识点六、函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
知识点七、求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
题型一：由函数单调性求解参数范围
例1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
由题意可得在上恒成立，
即，在上恒成立，
令，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
例2．（25-26高二下·吉林·期中）函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
由题意可得在上恒成立，
所以，在上恒成立，
又因为在上单调递增，
所以，
所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即，
所以实数的取值范围为.
例3．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数求导得，
已知在区间上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，求导得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则是极小值点，
，，
在的上确界为3，
．
变式1．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，所以，因此.
所以实数的取值范围是
变式2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数在 (2, +∞) 上单调递减，故函数在该区间上必须有意义，则，
，
因为函数在单调递减，所以在恒成立，
所以，解得，但时，为常函数，不满足题设单调递减的要求，故 应舍去，
因此，实数的取值范围.
题型二：含参函数单调性分类讨论
例4．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)分析函数的单调性.
【解析】（1）函数的定义域为，，
由题意得：，解得：，所以.
（2）由（1）得：，
①当时，即，在区间上恒成立，
函数在区间上单调递增；
②当时，若，，函数在区间上单调递增；
若，，函数在区间上单调递减.
例5．（2026·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【解析】（1）当时，，
，则，
又，∴曲线在点处的切线方程为．
（2），，
，，由，得，由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
例6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性．
【解析】（1）当时，，易知的定义域为，
，又恒成立，
当时，，当时，，
所以是的极小值点，极小值为，无极大值.
（2）的定义域为，,
当时，恒成立，当时，，当时，，
当，由，得到或，
若时，，时，，时，，
若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号，
若时，，时，，时，，
综上所述，当时，的减区间为，增区间为，
当时，的减区间为，增区间为，
当时，的增区间为，
当时，的减区间为，增区间为.
变式3．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知函数．
(1)若，证明：在上单调递增；
(2)令，其中，若讨论函数的单调性；
【解析】（1）当时，，则，
当时，，等号不能同时成立，
所以在上恒成立，则在上单调递增．
（2）由题意得，
则，
记，则，
因为，所以 ，
则在上恒成立，所以在上递减，
又
当时， ，
所以在上恒成立，则在上单调递减；
当时， ，则存在唯一，使得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时， ，
所以在上恒成立，则在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
变式4．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求的单调区间．
【解析】（1）当时，，定义域为，
则，
令，则.
，随的变化情况如下：
1
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以当时，取最大值，为．
（2），
当时，令，解得或，
①当时，由，得或，由，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，由，得或，由，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
④当时， ，则函数在上单调递增．
综上：
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
题型三：导数分析函数核心性质
例7．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）已知，下列说法不正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】BD
【解析】由，得，
对于A，，
所以在处的切线方程为，故A正确；
对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误；
对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为，
所以的极大值为，故C正确；
对于D，方程的解的个数，
即为函数图象交点的个数，
当时，，当时，且，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，方程仅有一个解，故D错误.
例8．（多选题）（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是.
C．在定义域内无最小值，无最大值. D．.
【答案】ACD
【解析】对于A，定义域为，，令可得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；
对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e，
当时，，当时，，当时，，
简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确，
对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确.
例9．（多选题）（25-26高二下·广东江门·期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在上单调递增
C．对任意的，有
D．对任意的，，则
【答案】BCD
【解析】A.由题意可知：，，则，
则曲线在处的切线方程为.故A错误；
B.由题可知，时有恒成立，所以在上单调递增，故B正确；
C.令，则 ，
则在上单调递增，
则 ，则 ，
所以，故C正确；
D.易知.
令，则，
令，
则，
则在上单调递增，则，
则，则在上单调递增，
令，则，
令，则 ，
则在上单调递增﹐则 ，则，
则在上单调递增，则，故D正确.
变式5．（多选题）（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数,则（ ）
A．当或时,有且仅有一个零点
B．当或时,有且仅有一个极值点
C．若为单调递减函数,则
D．若与x轴相切,则
【答案】ACD
【解析】由得
选项A，由得
因为定义域为，所以只需讨论即
设则
当时当时当时
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值
又
所以的大致图像为：
因此：当时，由于在上单调递增，且从增大到，
故方程只有一个解；
当时，方程，只有一个解；
当时，方程只有一个解，
因此，当或时，有且仅有一个零点，所以A正确.
选项B，极值点由的零点及其左右符号决定，
当时，此时则在上单调递增，
又因为
故只有一个解，则有且仅有一个极值点.
当时，有
此时则在上单调递增，
又
故方程也有且仅有一个解，因此有且仅有一个极值点.
当时，有
由不等式知当且仅当时取等号，
因此在上单调递减，
而处有驻点，但该点两侧导数不变号，因此不是极值点，
故当时， 没有极值点.综上，选项B错误.
选项C，若为单调递减函数，则必须有
即移项得
设则
故在上单调递增，在上单调递减，
于是它在处取得最大值
因此要使恒成立，必须有
即故C正确.
选项D，若与轴相切，设切点为，则
由得
由 得
两式相减，得 代回，得所以
进而 所以D正确.
变式6．（多选题）（25-26高二下·广东佛山·期中）设函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上有且仅有2个零点
C．在上单调递增 D．在上有极小值
【答案】ABD
【解析】由求导得.
对于A，，则A正确；
对于B，当时，由可得或，故B正确；
对于C，设，则，
因，则，则，故在上单调递减，
而，故存在，使得，
当时，，即；当时，，即，
故函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上有极小值，故D正确.
题型四：函数极值的求解问题
例10．（25-26高二下·吉林·期中）若函数的极大值为1，则函数的极小值为________，
【答案】
【解析】因为，由得，
且当时，，当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处取得极大值，且，即，
函数在处取得极小值，且.
例11．（2025·四川·三模）函数的极小值是______．
【答案】
【解析】，
，
令，则，
解得：，
随着的变化，和变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由表可知，函数的极小值是．
例12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的极小值为________.
【答案】
【解析】，
当时，，当时，，
故在处取极小值，且极小值为.
变式7．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数的极小值为__________.
【答案】/
【解析】由函数，可得
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为.
变式8．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________．
【答案】
【解析】因为函数在处取得极小值，
则，
由可得，由可得或，
所以函数的增区间为、，减区间为，
所以函数的极大值点为，极小值点为，
又因为函数在处取得极小值，则，解得，
此时，则函数的极大值点为，
函数的极大值为.
题型五：依托极值条件反求参数
例13．（25-26高二下·江苏南通·期中）若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
令，解得，即，
由于在上单调递增，
所以当时，；当时，，
所以是函数的极小值点，
因此，解得，
所以的取值范围是．
例14．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________.
【答案】/
【解析】，由题意得，即，故，
且，解得或，
当时，，则，
令得，令得，故为极大值点，满足要求，
所以，
当时，，则，
令得，令得，故为极小值点，不满足要求，
综上，.
例15．（25-26高二下·广东深圳·期中）若函数在处取得极值3，则__________.
【答案】12
【解析】因为，所以，
因为函数在处取得极值3，
所以，解得，
检验：当，时，函数，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当或时，，函数在，上单调递增，
所以函数在处取得极大值，
在处取得极小值，
经检验，满足题意，
所以.
变式9．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】的定义域为，
求导得，
因为函数既有极大值又有极小值，
所以在上有两个不相等的根
记为，即是的两个不相等的正根
，解得.
变式10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点，
令函数，求导得，显然函数在R上单调递增，
当时，，函数，即单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当时，；当时，，
当且仅当时，函数有两个变号零点，
由，解得，所以实数的取值范围为.
题型六：函数最值的求解问题
例16．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______．
【答案】
【解析】因为，，则，
令，则，解得；令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且，，即，
所以函数在上的最小值为.
例17．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值.
(1)求，的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
【解析】（1）因为函数，所以，
又因为函数在处取得极值-14，
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故，
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线过点处的切线方程为，
也即，
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
-3 -2 2 3
- 0 + 0 -
-7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当时，函数有极小值，
当时，函数有极大值，
因为，
故函数在上的最小值为，最大值为.
例18．（25-26高二下·广西河池·期中）已知函数为．
(1)求；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间上的最值．
【解析】（1）；
（2）由，
则当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为；
（3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为，
则当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，
，
，
故在区间上的最大值为，最小值为.
变式11．（24-25高二下·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
【解析】（1）函数的定义域为，且，
，且，
所以所求切线方程为，即.
（2）令，有，.
当变化时，，变化如下
1 3
+ 0 - 0 +
↗ 3 ↘ ↗ 19
所以函数在单调递减，在，上单调递增，
而，，
所以，.
变式12．（25-26高二下·北京通州·期中）已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)求在上的最大值和最小值.
【解析】（1）函数定义域为，对求导：，令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此在处取极大值；在处取极小值.
因此的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为.
（2）闭区间连续函数的最值只需要比较极值点和端点的函数值.
由于，，，
，
因此在上的最大值为，最小值为.
题型七：依托最值条件反求参数
例19．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．
【解析】（1）当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，
，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
①当，即时，在上单调递减，
此时的最小值为；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减；
，，，
当时，，此时；
当时，，此时；
③当，即时，在上单调递增，
此时的最小值为；
综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是.
例20．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)求在区间上的最小值．
【解析】（1）因为时，，
所以，
令，解得，
所以时，；时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），令，解得，
①当，即时，
在上单调递增；所以；
②当，即时，
对于，，故在上单调递增，
所以；
③当，即时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增，
若，即，则在上单调递减，所以；
若，即，则在上单调递减，上单调递增，
所以；
综上：当时，；
当时，；
当时，．
例21．（2026·江西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得的定义域为，
由，可得，
若，则在上恒成立，
则的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，则当时，，当时，，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，若存在最小值，则，
且的最小值为，
则，可得，即.
令，则.
因为恒成立，
所以恒成立，则在上单调递增.
又，令，解得，即，
故的取值范围为.
变式13．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值.
【解析】（1）当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
变式14．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，函数在上的最小值为2，求实数的值．
【解析】（1）当时，，．
令，
同理：或
所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
（2）由题：，．
当时，，
故此时，在单调递增，．
题型八：三次函数的应用
例22．（多选题）（2026·福建莆田·模拟预测）设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．当时，
D．曲线上存在无数多对互相平行的切线
【答案】BCD
【解析】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误；
对于B， ，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，B正确；
对于C，
，
当时，，所以，
所以当时，，C正确；
对于D，，
所以对于任意的实数，都有两个解，
所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确.
例23．（多选题）（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．当且仅当
C．当时， D．若，则
【答案】AB
【解析】，，
令，得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以极大值，极小值，，
对于A，有两个极值点，分别是，，A正确；
对于B，，其中，
要使，需使且，解得，B正确；
对于C，当时，
因为，所以，
又在上单调递增，所以，C错误；
对于D，取，得，
为使，需要，即，
化简得，解得，，
若取，，满足，但此时，D错误．
例24．（多选题）（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，是的一个极值点，则（ ）
A．
B．若方程只有一个解，则
C．的图象关于点对称
D．对
【答案】BCD
【解析】求导得 ，
由题意得，解得或，
由得，故A错误；
令，得或，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数递减，
当时，，所以函数递增.
所以的极大值为，
的极小值为.
为三次函数，要使只有一个解，
只需的极小值或的极大值.
所以或，故B正确；
因为函数，所以，
，故，
则的图象关于点对称，故C正确；
易知，
则，
即 恒成立，故D 正确.
变式15．（多选题）（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．当时，
C．函数为奇函数
D．若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则
【答案】AD
【解析】函数的定义域为，求导得，
对于A，当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，A正确；
对于B，当时，，即，B错误；
对于C，令，而，函数，即不是奇函数，C错误.
对于D，由选项A得极小值为，极大值为，
由方程有三个解，得，
令方程的三个解为，
则
，因此，而，
联立解得，因此，即，D正确.
变式16．（多选题）（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有3个零点
B．的图象关于点对称
C．既有极大值又有极小值
D．经过点且与的图象相切的直线有3条
【答案】ACD
【解析】A：令，或，
因为方程的判别式，
所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根，
因此有3个零点，所以本选项说法正确；
B：因为
所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确；
C：，
令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增；
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确；
D：设函数的切点为，
所以过该切点的切线斜率为，
切线方程为，把代入，得
，化简，得
，
解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确.
题型九：综合应用问题
例25．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求证：；
(3)证明：函数存在唯一极大值点，且．
【解析】（1）由求导得，
则 ，又，
则曲线在处的切线方程为，即.
（2）要证，即证，
因为，则得，即 ，
令 ，则，
因在上单调递增，且 ， ，
因此存在唯一的，使得，
当时，,当时，,
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故（*）.
设 ,则 ,即函数在上单调递增，
故,则 ；
再设 ,则,当时，,当时，；
即函数在上单调递增，在上单调递减，故 ,
则得 ，当且仅当时取等.
则由（*）可得,
因，故可得 ,即 ,
故得证.
（3）由题意可得，，则，
令 ，所以，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，则 ，
从而有解，即存在两根，，设，
则在上为正，在上为负，在上为正，
所以必存在唯一极大值点，且，
所以，由可知，
由 可知，，
在上单调递增，在上单调递减，所以，
综上，函数存在唯一极大值点，且.
例26．（2026·福建漳州·三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求的最大值；
(3)若函数有零点，证明：．
【解析】（1）因为，所以，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，则由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）法1：由，即，得．
当，时，，下面证明此时成立，
此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以成立．
综上，的最大值为．
法2：①若，则
当时，，
当时，，
所以当且时，，不合题意．
②若，则的值域为，
所以，所以．
③若，则结合（1）得，，
即，即，所以，
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，
当时，．
综上，的最大值为．
（3）法1：若有零点，设零点为，
则，
即，
即，
这说明点在直线上，
设点到直线的距离为，
则，即，
由（2）知，，仅当时，“=”成立，
所以
所以．
法2：若有零点，设零点为，
则，
即，
即，
设，则，
即，其中，
所以，
所以，
由（2）知，，仅当时，“=”成立，
所以
所以．
例27．（25-26高二下·天津东丽·期中）已知函数，其中.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(3)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】（1）的定义域为，.
因为是的极值点，所以，即，解得.
当时，，
当时，；当时，，所以是的极值点.
综上，.
（2）由（1）知，，.
令，即，因为，，所以，
解得，且.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以是在上唯一的极值点，是极大值点.
所以.
取，（易知，则，）
则.
令，则可写为.
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以存在，使得，所以是在上唯一零点.
综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.
（3），证明如下：
由（2）知，，满足，且，
要比较与的大小，即比较与的大小.
.
令，，
则，
所以在上单调递减，，即.
因为在单调递减，，，，
所以.
变式17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（ⅰ）求在上的最大值和最小值；
（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）函数求导得
，
已知，则，
．
（2）（ⅰ），则，求导得：，
，在上恒成立，
导数符号由决定：
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
，，
，
在上的最小值为，最大值为；
（ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值，
在上的最大值为，
，解得，
又，，
的取值范围为．
变式18．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中．
(1)若是函数的极值点，求实数的值：
(2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由函数，可得其定义域为，且，
因为是函数的极值点，可得，即，
可得，解得，所以实数的值为.
（2）由函数，可得其定义域为，
且，
令，即，所以，
因为，解得或，
当时，即时，，
在上单调递增，无极值点；
当时，即时，
令，可得或；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点；
当时，即时，
令，可得或；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点；
综上可得，当即时，无极值点；
当时，是极大值点，是极小值点；
当时，是极大值点，是极小值点.
（3）由，可得，
整理得，即，
令，则问题转化为，，
又由，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在或处取得最小值，
计算，
因为，所以，
因为存在，使得，所以，
所以实数的取值范围为
1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值
C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值
【答案】C
【解析】选项A，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，故选项A错误；
选项B，当时，，则在上单调递增，
则在处不能取得极大值，故选项B错误；
选项C，当时，，
则在上单调递减，故选项C正确；
选项D，时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，
则在处不能取得极小值，故选项D错误.
2．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，不等式恒成立
可变形为,
设,
那么当时,有,即在区间上单调增，
在上成立，即,
设,那么,
令,得 ,
令,得 ,
令,得 ,
所以，函数在处取得极小值，也就是最小值，
,,实数a的取值范围为.
3．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知函数的定义域为，，
又，令，解得.
所以函数的单调递增区间为.
4．（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】由，得，
因为函数在处取最大值，所以，
解得，所以.
5．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知函数在上的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得：，
当时，单调递减，当时，，单调递增，
即为极小值点，又，，，
所以在上的最小值为．
故选：D
6．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， 在上恒成立，
即在上恒成立.
设，因在上单调递增，
故在上的最小值为，故.
故选：D
7．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ）
A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013
【答案】B
【解析】，求导可得，
和是的两个极值点，即和是的两个根，
根据韦达定理可得，，
因为是等比数列，所以，
因此．
8．（25-26高二下·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
则，
因为，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，
，即，即，故，
所以不等式的解集为.
9．（多选题）（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．当时， D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，由函数，可得，则，故A错误；
对BD，当时，，在上单调递减，故B正确；
当时，，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值，所以D正确；
对C，当时，，则，故C正确；
故选：BCD.
10．（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的对称中心为
B．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是
C．曲线不可能是轴对称图形
D．若有三个不同的零点，则
【答案】AD
【解析】A：当时，，
因为，
所以的对称中心为，因此本选项说法正确；
B：，
若函数在R上单调递增，则有在R上恒成立，
则有，所以本选项说法不正确；
C：，
当时，，令，
因为，
所以是偶函数，图象关于纵轴对称，
所以存在实数，使得曲线是轴对称图形，所以本选项说法不正确；
D：令，
当时，显然不成立，
当时，，
令，
当时，单调递增，
当时，单调递增，
当时，单调递减，函数的图象如下图所示：
显然当时，，且，
当时，，
问题有三个不同的零点，转化为直线和函数的图象有三个不同的交点，由数形结合思想可知，因此本选项说法正确.
11．（多选题）（25-26高二下·江西南昌·期中）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设的斜率为的斜率为，则（ ）
A．时， B．时，
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，时，，
设过原点的曲线的切线的切点为，
因，则切线方程为，又过，
，解得，即过原点与曲线相切的直线方程为，
又直线与曲线相交于不同两点，，故A正确；
对于B，时，，直线过点，
又曲线也过，则点为直线与曲线的一个交点，
在曲线上取一点，此时直线斜率，故B错误；
对于C，不妨取，则，
曲线在处的切线方程为，
设，则，
令，解得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，即（当且仅当时取等），
由题易知，，
又，所以单调递增，且，
，则，故C正确；
对于D，由题可知，，
，
不妨取，则 ，
令，则该式的分子：，
令，则，
令，
时，，在单调递增，
，则，
在单调递增，则，
，即，故D正确．
12．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________．
【答案】
【解析】由题意可得，即，所以，
又因，所以在上单调递增，
则由，可得，则，
令，，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，即，故，
所以．
13．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意得，，所以，
在上单调递增.
又，所以为上单调递增的奇函数.
则可化为，
又在上单调递增，所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
14．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为函数的极值点为，则，
由题意可得，解得，
此时，则，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，符合题意，
对任意的，恒成立，即，且有，
即，
令，则有，
构造函数，其中，且有，，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
故当时，，当时，，
对函数求导得，
当时，；当时，.
所以函数在上递增，在上递减，
所以，即，
要使得，则，即，解得，
故实数的取值范围是.
15．（25-26高二下·山东淄博·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可知在上恒成立，
因此在上恒成立，
令，则，
所以.
因此实数的取值范围是.
16．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知函数（，为常数）．
(1)若是偶函数，求的极值；
(2)若函数有2个零点，．
①求的取值范围．
②求证．
【解析】（1）由题意知的定义域为，
是偶函数，故，即，
即得，而不恒等于0，
故，即；
此时，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故在时取得极大值，极大值为，无极小值；
（2）①，定义域为，
且，则，
，由于，故，
令 ，则，
当时，，此时对恒成立，
则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意；
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
且当和时，，
则在时取极大值，也是最大值，
即，
要使有2个零点，．需 ，
解得，即的取值范围为．
②由题意可设，其中，，
由于，在上单调递减，可知，
若，则，此时成立，
若，且，
要证，即证，由于在上单调递增，
只需证，
又因为，所以只需证，即 ，
设，
，
因为，故，由，故，则，
故 ，即得 ，
由于，故，结合，得 ，
则可得此时成立，
综合可知.
17．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，得，
，则 ，
所以切线方程为：，即 ；
（2）解法一：，
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增， 成立，符合题意；
当时，，
所以在上单调递增，所以 成立，符合题意；
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以在区间上有 ，不符合题意，
综上所述，的取值范围是．
解法二：当时，恒成立，等价于“当时， 恒成立”，
即在上恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以恒成立，
设，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以，
综上所述，的取值范围是.
18．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当，即时，由可得，由可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，若，则，
由可得或，由可得，
即函数在上单调递减，在 和上单调递增；
若，，即函数在上单调递增；
若，则，
由可得或，由可得，
即函数在上单调递减，在 和上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在 和上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或.
当时，的极大值为，的极小值为，
依题意，，因，可得（*），
设，则，
即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去；
当时，的极小值为，的极大值为，
依题意，，因，可得（**），
由上分析，易得函数在上单调递减，
故，即，符合（**）.
综上可得，的取值范围为.
19．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数.
(1)求函数的导函数；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的极值.
【解析】（1）因为，则.
（2）易知的定义域为，，
由，得到，解得，由，得到，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取到极小值，极小值为，无极大值.
20．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)求的极值；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）由题意得的定义域为，
则，
当时，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值；
（2）证明：当时，，设，
，
令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
整理得，因为，所以，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
即，即，则.

展开更多......

收起↑