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第05讲 二项式定理常考类型
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、定义 3
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点： 3
知识点3、二项展开式的通项： 3
知识点4、二项式系数及其性质 3
知识点5、二项式定理的应用 4
03 重难点题型 5
题型一：展开式指定项系数的求解 5
题型二：三项及以上多项式的展开问题 5
题型三：两个二项式乘积的展开式系数问题 5
题型四：展开式系数和与部分系数和的计算 6
题型五：利用二项式定理解决整除与余数问题 7
题型六：二项式系数与展开式系数的最值问题 7
题型七：杨辉三角的性质与应用问题 8
题型八：展开式中有理项的确定与求解 9
04 过关检测 10
知识点1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
（），
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点：
（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
知识点3、二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
知识点4、二项式系数及其性质
（1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即．
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
（2）展开式中的系数求法（的整数且）
考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
知识点5、二项式定理的应用
（1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
（2）利用赋值法进行求有关系数和．
（3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．
（4）证明有关的不等式问题．
（5）进行近似计算．
题型一：展开式指定项系数的求解
例1．（25-26高二下·河南周口·期中）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　）
A．56 B． C．70 D．
例2．（25-26高二下·广东广州·期中）的展开式中的系数是（ ）
A．6 B． C．192 D．
例3．（25-26高二下·广东茂名·期中）在的展开式中，第7项为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．15 C． D．
题型二：三项及以上多项式的展开问题
例4．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
例5．（25-26高二下·天津武清·期中）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ）
A．20 B．70 C．84 D．864
例6．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．135 B．15 C． D．
变式2．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A．61 B．29 C．309 D．308
变式3．（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
题型三：两个二项式乘积的展开式系数问题
例7．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知（）的展开式中的常数项为24，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
例8．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．48 D．288
例9．（25-26高二下·天津武清·期中）展开式中的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
变式4．（25-26高二下·四川成都·期中）的展开式中，的系数为（ ）
A． B．120 C． D．40
题型四：展开式系数和与部分系数和的计算
例10．（多选题）（24-25高二下·四川德阳·期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
例11．（多选题）（25-26高二下·湖北·期中）已知且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（多选题）（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（多选题）（25-26高二下·陕西榆林·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（多选题）（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：利用二项式定理解决整除与余数问题
例13．（25-26高二下·江苏南通·期中）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
例14．（25-26高二下·山东济宁·期中）除以5的余数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例15．（25-26高二下·湖北·期中）计算除以所得的余数为（ ）
A． B． C． D．
变式7．（25-26高二下·江苏盐城·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
变式8．（25-26高二下·四川眉山·期中）被7除所得的余数为4，则实数m可以为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：二项式系数与展开式系数的最值问题
例16．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）设为正整数，展开式的各项二项式系数最大值为，展开式的各项系数的最大值为，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例17．（25-26高二下·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
例18．（25-26高二下·重庆渝北·期中）关于的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．二项式系数和为256 B．所有项系数之和为
C．二项式系数最大值为70 D．常数项为第四项
变式9．（2025·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（ ）
A． B．常数项是第3项
C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1
变式10．（2025高三·全国·专题练习）若且，则在展开式中各项系数的最大值为（ ）
A．42 B．35 C．28 D．21
题型七：杨辉三角的性质与应用问题
例19．（25-26高二下·北京·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位.现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和.如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是 __.
①当是偶数时，中间的一项取得最小值；当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；
②；
③；
④.
例20．（25-26高二下·安徽安庆·期中）“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为.
例21．（25-26高二下·重庆·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______.
变式11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______．
题型八：展开式中有理项的确定与求解
例22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，有理项的个数共有__________个．
例23．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）二项式的展开式中，共有有理项是______项
例24．（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项．
变式12．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________．
1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）二项式展开式中含的项是（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·湖北·阶段检测）展开式中项系数为（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
5．（24-25高二下·宁夏银川·阶段检测）的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·重庆大足·期中）已知的展开式中的系数为35，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
7．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中含的系数（ ）
A．120 B．27 C．126 D．
8．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若 的展开式中的系数为，则（ ）
A．10 B．15 C． D．
9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设n为正奇数，则被6整除的余数为（ ）
A． B．0 C．4 D．5
10．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（25-26高二下·四川遂宁·期中）已知，则下列描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答)
14．（24-25高二下·宁夏·期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________．
15．（2025·河南周口·二模）在的展开式中有理项的系数的和为__________．中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 二项式定理常考类型
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、定义 3
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点： 3
知识点3、二项展开式的通项： 3
知识点4、二项式系数及其性质 3
知识点5、二项式定理的应用 4
03 重难点题型 5
题型一：展开式指定项系数的求解 5
题型二：三项及以上多项式的展开问题 5
题型三：两个二项式乘积的展开式系数问题 7
题型四：展开式系数和与部分系数和的计算 8
题型五：利用二项式定理解决整除与余数问题 11
题型六：二项式系数与展开式系数的最值问题 12
题型七：杨辉三角的性质与应用问题 14
题型八：展开式中有理项的确定与求解 17
04 过关检测 19
知识点1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
（），
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点：
（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
知识点3、二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
知识点4、二项式系数及其性质
（1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即．
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
（2）展开式中的系数求法（的整数且）
考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
知识点5、二项式定理的应用
（1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
（2）利用赋值法进行求有关系数和．
（3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．
（4）证明有关的不等式问题．
（5）进行近似计算．
题型一：展开式指定项系数的求解
例1．（25-26高二下·河南周口·期中）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　）
A．56 B． C．70 D．
【答案】A
【解析】第4项的二项式系数为．
例2．（25-26高二下·广东广州·期中）的展开式中的系数是（ ）
A．6 B． C．192 D．
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为，
当，的次数是2，所以的系数是.
例3．（25-26高二下·广东茂名·期中）在的展开式中，第7项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二项展开式的通项可得第7项为.
变式1．（25-26高二下·重庆渝北·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．15 C． D．
【答案】C
【解析】由题意得展开式的通项为，
令，即，所以展开式中的常数项为.
题型二：三项及以上多项式的展开问题
例4．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
其展开式的通项公式为，
令，得到，所以展开式中的常数项为.
例5．（25-26高二下·天津武清·期中）已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ）
A．20 B．70 C．84 D．864
【答案】B
【解析】的展开式中只有第3项的二项式系数最大，
故展开式共5项，所以，
变形为，
展开式为，
令得，所以常数项为.
例6．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．135 B．15 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知的通项为，，
可知的通项为，
令，，解得，，所以的系数为．
变式2．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A．61 B．29 C．309 D．308
【答案】C
【解析】的展开式中的常数项为．
变式3．（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解析】，
通项为，
令，所以常数项为.
故选：C.
题型三：两个二项式乘积的展开式系数问题
例7．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知（）的展开式中的常数项为24，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】对于的二项式展开式通项公式：
，
原式的常数项由两部分组成：
第一部分：第一个括号取，第二个括号取常数项，
即令，得，这部分系数为：；
第二部分：第一个括号取，第二个括号取项，
令，得，这部分系数为：；
则总的常数项为，且，解得.
例8．（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．48 D．288
【答案】B
【解析】的展开式通项为：，
要得到的展开式中的系数，分两类讨论：
①取1乘的项：令，解得，对应系数为，
②取乘的项：令，解得，对应系数为，
将两类系数求和，得的总系数为.
例9．（25-26高二下·天津武清·期中）展开式中的系数是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】的通项为；
因为，
的通项为：，
当时，此项为；
的通项为，
当时，此项为；
综上的系数为．
变式4．（25-26高二下·四川成都·期中）的展开式中，的系数为（ ）
A． B．120 C． D．40
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为，；
当第一个因式取时，需中含，则令得，对应系数为；
当第一个因式取时，需中含，则令得，对应系数为；
综上，的系数为.
题型四：展开式系数和与部分系数和的计算
例10．（多选题）（24-25高二下·四川德阳·期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误；
对于B选项，令，则原式等于，又因为，
故，故B选项正确；
对于C选项，令，则原式等于，
即，由B选项得，故C选项错误；
对于D选项，，
则，，
故，则D选项正确.
例11．（多选题）（25-26高二下·湖北·期中）已知且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对A：令，则，得，故A正确；
对B：由，则，
对有，，
对有，，
则，
故，故B错误；
对C：令，得，故C正确；
对D：令，得，
从而得，
又，从而，故D错误.
例12．（多选题）（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，令，得 ，故A正确．
对于B，令，得 ，故B错误．
对于C，式子与相加，
得，所以．
令，得 ，所以，故C正确．
对于D，因为，且展开式的第3项为，
所以 ，故D错误．
变式5．（多选题）（25-26高二下·陕西榆林·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A： 令 ，代入原式左边得：，因此 ，A错误；
对于B： 令 ，代入原式左边得：，
因此 ，B正确；
对于C： 设 ，，
由得： （1）；
令 ，代入左边得：，即： （2）；
（1）（2）得 ，即 ，C正确；
对于D： 对原式两边关于求导，
左边导数为： ，
右边导数为：，
令 ，代入左边导数得： ，
即 ，D正确.
变式6．（多选题）（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A：令展开式中，可得，即，A正确；
选项B：分别令和：
时， ①，
时， ② ，
①+②得，
即，B错误；
选项C：展开式通项为，
故当，，当时，，
所以，C正确；
选项D：将所求式子变形为 ，
令代入原式得，
两边同乘得 ，D正确.
题型五：利用二项式定理解决整除与余数问题
例13．（25-26高二下·江苏南通·期中）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【解析】，因为，
则 除以的余数为，因此除以余数也应为.
，余数为.
例14．（25-26高二下·山东济宁·期中）除以5的余数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
因为，
所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为，
所以除以5的余数与 除以5的余数相同，即余数为2.
例15．（25-26高二下·湖北·期中）计算除以所得的余数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，
故除以所得的余数为.
变式7．（25-26高二下·江苏盐城·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】D
【解析】因，
而
，
因此被10除的余数为9，
又因为，所以被10除的余数为9，
经检验在各选项中，只有2029被10除的余数为9，故的值可以是2029.
变式8．（25-26高二下·四川眉山·期中）被7除所得的余数为4，则实数m可以为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
展开得，
展开式中前项均含因子，能被整除，仅最后一项，
因此除以的余数为1，
因为被除余，所以，，
所以，所以可以为3.
题型六：二项式系数与展开式系数的最值问题
例16．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）设为正整数，展开式的各项二项式系数最大值为，展开式的各项系数的最大值为，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为展开式有项， 所以最中间的一项即第项的二项式系数最大，即，
因为展开式有项，其展开式的通项公式为，系数为，
所以系数的大小由和二项式系数决定，而二项式系数的最大值为展开式最中间的有两个，其系数分别是和，
又因为，所以无论是奇数还是偶数，展开式的各项系数的最大值为，
因为，所以，解得.
例17．（25-26高二下·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】根据二项式的展开式，的二项式系数的最大值为，即，
的二项式系数的最大值为或且，即，
已知，即，得，
化简得，解得.
例18．（25-26高二下·重庆渝北·期中）关于的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．二项式系数和为256 B．所有项系数之和为
C．二项式系数最大值为70 D．常数项为第四项
【答案】D
【解析】二项式系数之和为，故A正确；
令，可得各项系数之和为，故B正确；
，二项式系数最大值为，故C正确；
展开式的通项公式为，
令，得，即常数项为第五项，故D错误．
变式9．（2025·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（ ）
A． B．常数项是第3项
C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1
【答案】B
【解析】由题意可得，解得，故正确；
二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，则常数项为第4项，故错误；
因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确；
令，则展开式的所有项的系数和为，故正确，
故选：B
变式10．（2025高三·全国·专题练习）若且，则在展开式中各项系数的最大值为（ ）
A．42 B．35 C．28 D．21
【答案】B
【解析】展开式的通项为，，即，
解得，故展开式中共有8项，
所以展开式中间两项的系数最大，最大值为.
故选：B
题型七：杨辉三角的性质与应用问题
例19．（25-26高二下·北京·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位.现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和.如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是 __.
①当是偶数时，中间的一项取得最小值；当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；
②；
③；
④.
【答案】①②③
【解析】对于①，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值；
当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，
当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当是偶数时，中间的一项取得最小值；
当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①正确，
对于②，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第一个数相乘，所以②正确，
对于③，根据组合数的性质，可得，即，所以③正确，
对于④，开始每个数均等于其“脚下”两个数之和，即，所以④错误，
所以关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是①②③．
例20．（25-26高二下·安徽安庆·期中）“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为.
【答案】27
【解析】“杨辉三角”第行的数依次为：、、、、、、，
所以第行从左到右第12个和第13个数依次为：、，
由题意得：，即：，所以：，
化简得：，解得：，
即：第27行中从左到右第12与第13个数的比为.
例21．（25-26高二下·重庆·阶段检测）我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______.
【答案】
7
【解析】在“杨辉三角”中，第n行所有数字之和为，
因此，所以.
变式11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______．
【答案】21
【解析】将数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…变成以下数阵：
第1行 2
第2行 3 3
第3行 4 6 4
第4行5 10 10 5
… …
则因为，所以在该数阵第6行的第2个位置，故．
题型八：展开式中有理项的确定与求解
例22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，有理项的个数共有__________个．
【答案】2
【解析】因为，
所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个.
例23．（24-25高二下·山西长治·阶段检测）二项式的展开式中，共有有理项是______项
【答案】1012
【解析】二项式的展开式，，
展开式中有理项即为为整数，为偶数，又，则符合条件的有1012个，
所以共有有理项1012项.
故答案为：1012
例24．（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项．
【答案】6
【解析】令，得，则或（舍去）．
∴的展开式的通项为．
当时，为有理项，故有理项共有6项．
故答案为：6.
变式12．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________．
【答案】
【解析】由二项式知，其展开式通项为，
所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为.
1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）二项式展开式中含的项是（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【答案】B
【解析】由题设，二项式的展开式通项为，，
令，可得，故含的项是第8项.
2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】展开式通项为.
令，解得.
将代入通项得常数项：.
3．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）的展开式中的第2项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式中的第2项为．
4．（24-25高二下·湖北·阶段检测）展开式中项系数为（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】D
【解析】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为
，
由，可得或，
因此，展开式中项的系数为.
故选：D.
5．（24-25高二下·宁夏银川·阶段检测）的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，，
对于，有，且为正整数，
令，则，故或或，
所以常数项为.
故选：A
6．（25-26高二下·重庆大足·期中）已知的展开式中的系数为35，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】的展开式中，含的项为：，
依题意，，解得.
7．（25-26高二下·北京平谷·期中）展开式中含的系数（ ）
A．120 B．27 C．126 D．
【答案】D
【解析】根据题意知，含的项由以下三项合并而成，展开式中的常数项与展开式中的二次项的积；
展开式中的一次项与展开式中的一次项的积；
展开式中的二次项与展开式中的常数项的积；
所以，
所以展开式中含的系数是.
8．（25-26高二下·河北石家庄·期中）若 的展开式中的系数为，则（ ）
A．10 B．15 C． D．
【答案】A
【解析】由.
其中展开式中的系数为，
展开式中项的系数为
则原式展开式中的系数为，
.
9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设n为正奇数，则被6整除的余数为（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
这项中，前项均为6的倍数，
因为为正奇数，所以第项，除以6余5，
所以被6整除的余数为5.
10．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的展开式共有项，中间一项的二项式系数最大，为，
展开式的通项为，令可得，
含项为，其系数为，则，
故选：．
11．（多选题）（25-26高二下·四川遂宁·期中）已知，则下列描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，通过对赋值，即可求出，故A正确；
对于B选项，通过对赋值，即可求出，故B正确；
对于C选项，通过对赋值，可得，
再结合B选项，可得，故C正确；
对于D选项，展开式的通项为，，故D错误.
12．（多选题）（25-26高二下·河北唐山·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A：令，代入原式得，故A错误；
选项B：令得①式：；
令得②式：，
①+②得，即，故B正确；
选项C：①②得，即，故C正确；
选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确.
13．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答)
【答案】19600
【解析】由杨辉三角的性质，得，
所以
.
14．（24-25高二下·宁夏·期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________．
【答案】
【解析】由“杨辉三角”性质，得：
．
故答案为：799
15．（2025·河南周口·二模）在的展开式中有理项的系数的和为__________．
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
当时，展开式为有理项，
所以展开式中有理项的系数的和为.
故答案为：.

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