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第10讲 独立性检验
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、2×2列联表 3
知识点2、独立性检验 3
知识点3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 3
03 重难点题型 4
题型一：列联表及其应用 4
题型二：等高条形图分析 6
题型三：独立性检验核心思想 9
题型四：独立性检验实际应用 13
04 过关检测 20
知识点1、列联表
设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：
总计
总计
知识点2、独立性检验
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0．1 0．05 0．01 0．005 0．001
2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
知识点3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
（1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较；
（3）根据检验规则得出推断结论；
（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
题型一：列联表及其应用
例1．一个列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中，的值分别是 （ ）
A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38
【答案】B
【解析】由，得．
由，得．
由，得．
由，得．
故选：B
例2．（2026·高三·全国·一轮复习）下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【答案】C
【解析】因为．所以．又，所以．
故选：C.
例3．某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以，
所以，A、B对；
所以，则对；
则错.
故选：.
变式1．下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（ ）
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
A．52、54
B．54、52
C．94、146
D．146、94
【答案】A
【解析】由题意可得，解得，
所以a、b值分别为52、54.
故选：A.
变式2．（2026·高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】对于A， ，
对于B，，
对于C，，
对于D，
显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,
故选:B.
题型二：等高条形图分析
例4．（2026·高三·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物的预防效果优于药物的预防效果
B．药物的预防效果优于药物的预防效果
C．药物、对该疾病均有显著的预防效果
D．药物、对该疾病均没有预防效果
【答案】B
【解析】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大，
所以药物的预防效果优于药物的预防效果，
故选：B.
例5．（2026·高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【解析】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，
因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，
因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．
故选：C.
例6．（2026·高二·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【答案】A
【解析】原图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误；
故选：A.
变式3．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系，
由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系，
故选：B
变式4．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小.
故选：B.
题型三：独立性检验核心思想
例7．（2026·高二·河北承德·期中）现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 154 60
女 196 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先对列联表参数赋值：
，，，，总样本量.
将参数代入卡方计算公式，
分步计算：
：，，故；
；
；
代入得.
例8．（2026·甘肃白银·三模）某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设原列联表对应数据为，样本容量，
则原卡方统计量满足： ，
将所有数据扩大为原来的 倍后，
新数据为 ，新样本容量 ，代入卡方公式得：
，
由 ，可知：
选项A的1.96、选项D的0.212均小于2.12，不符合要求，错误，
选项C的2.12对应，与的约束矛盾，排除，错误
选项B的 ，对应，满足所有约束条件，正确.
例9．（2026·高二·安徽淮北·期末）读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（ ）
A．25 B．45 C．60 D．75
【答案】A
【解析】依题意，设男生的人数为，可列出2×2列联表如下所示：
是否喜欢参加暑期研学旅行 性别 总计
男生 女生
喜欢
不喜欢
总计
则=.
由题意知，即，得，所以.
又，所以结合选项知B，C，D项都可以.
变式5．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（ ）
(已知，其中，)
总计
总计
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当有的把握认为与有关系，则，故，
此时临界条件为，此时对应的刚好为，
即此时,即，
故，则，
故，
故选：A
变式6．（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表：
不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计
男生
女生
总计
若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ）
附：，.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A．80 B．100 C．120 D．150
【答案】B
【解析】完成列联表如下：
不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计
男生
女生
总计
则，解得.
又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100.
故选：B.
题型四：独立性检验实际应用
例10．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校 A B C D
抽查人数 10 15 100 75
“创文”活动中参与的人数 6 14 80 49
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的.
(1)根据上表中 A，B两校的数据，补全下面的2×2列联表(将序号处的数据填写完整)：
学校 参与 未参与 合计
A 6 ① 10
B 14 ② 15
合计 20 ③ ④
(2)根据小概率值的独立性检验，分析A，B两校参与“创文”活动与学校是否有关
(3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）略；
（2）零假设为：A，B两校参与“创文”活动与学校无关系.
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即A，B两校参与“创文”活动与学校有关系；
（3）依题意，，所以．
又，所以，．
因为，所以中位数在第三组，
所以中位数为．
例11．（2026·高二·安徽宿州·阶段检测）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）零假设为：的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，
可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立，
因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关.
（2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后，甲获胜的概率，
（ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”，
，
则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为.
例12．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 20 60 80
成年人 40 60
合计 140
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关
(2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【解析】【小题1】由数据表格可知，，，.
零假设为：喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关，
根据列联表中的数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关.
【小题2】由题意可知，未成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是；
成年人喜欢该电影的概率是，不喜欢的概率是.
由题意，的可能取值为0，1，2，
则；；.
所以的分布列为
0 1 2
数学期望为.
变式7．（2026·浙江·二模）睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：
轻度睡眠障碍人数 1 2 3 1 2
重度睡眠障碍人数 4 3 6 4 4
睡眠质量良好人数 25 25 11 5 4
总人数 30 30 20 10 10
(1)由表中的数据求这100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率；
(3)若平均每天使用电子产品的时间大于等于4小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计
超标 不超标
良好
障碍（包括轻度和重度）
合计 100
附：，
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）设这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为，
则，
所以这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为3.8小时.
（2）设：此人轻度睡眠障碍；：此人平均每天使用电子产品的时间在内，
则，，
所以.
（3）由表中数据得列联表如下：
睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计
超标 不超标
良好 20 50 70
障碍（包括轻度和重度） 20 10 30
合计 40 60 100
零假设为：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关，
根据列联表中的数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
变式8．（2026·高二·陕西榆林·期中）某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表：
客户年龄（岁）客户购买次数 合计
购买过1次或2次 40
购买过3次以上（含3次） 20 10
合计
(1)补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联；
(2)在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：．
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）补全的2×2列联表如下：
客户年龄（岁）客户购买次数 合计
购买过1次或2次 30 40 70
购买过3次以上（含3次） 20 10 30
合计 50 50 100
零假设为：客户购买次数与客户年龄无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为客户购买次数与客户年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
（2）从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，
年龄在的人数为，年龄在的人数为，
依题意，的所有可能取值分别为1，2，3，
所以，
所以X的分布列为
1 2 3
所以．
1．（25-26高二下·河北衡水·期末）现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 150 60
女 200 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，
.
所以.
2．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ）
附：，其中．
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】C
【解析】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下：
钓鱼 性别
男性 女性 总计
喜爱钓鱼
不喜爱钓鱼
总计
则，
本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，
可得，解得，
又因为列联表中相关人数需为整数，则，
所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人．
3．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ）

A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人
B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人
C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
【答案】C
【解析】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，
所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误；
由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，
所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人，
所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误；
已知，根据临界值表可得，
依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于，
所以正确；
因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论，
所以错误.
4．（25-26高二下·广东·期末）通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表．已知， ，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（　　）
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
A．爱好跳绳与性别有关
B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．爱好跳绳与性别无关
D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
【答案】C
【解析】假设：爱好跳绳与性别无关，
由列联表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
故爱好跳绳与性别无关．
5．（25-26高二下·北京·期末）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表．
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　）
A．爱好跳绳与性别无关
B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．爱好跳绳与性别有关
D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
【答案】A
【解析】由题可知，
根据独立性检验规则，表明没有充分证据推断跳绳与性别有关，
可以认为爱好跳绳与性别无关．
6．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，）
A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】B
【解析】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系.
7．（25-26高二下·上海·期中）为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成某种抗体，使用列联表独立性检验.随机抽取一定量植株，获得观察数据，制作列联表.提出原假设：感染与形成抗体__________；确定显著性水平；若计算得；依据，从而__________原假设，即得统计决断.（ ）
A．有关；拒绝 B．有关；接受 C．无关；拒绝 D．无关；接受
【答案】D
【解析】在独立性检验中，提出原假设：感染与形成抗体无关，当计算得到的统计量小于临界值时，就接受原假设.
8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）独立性检验中，若小于临界值，则下列结论正确的是（ ）
A．两个变量一定相互独立 B．两个变量一定不独立
C．没有充分证据表明两个变量有关 D．两个变量有关联的可能性为
【答案】C
【解析】对于A，小于临界值，并不意味着“一定相互独立”，只是无足够证据反对独立，故A错误；
对于B，小于临界值，并不意味着“一定不独立”，只是无足够证据反对独立，故B错误；
对于C，这是独立性检验的基本逻辑：当时，无充分证据支持变量相关，即不能认为有关联，故C正确；
对于D，对应的把握认为两个变量有关联，而实际上，故D错误.
9．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲 乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到.
车型与地区
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
下列说法正确的是（ ）
A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人
B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】C
【解析】对A：，故新能源车主有人，故A错误；
对B：购买燃油车的人数为，
购买新能源车的人数为，
则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误；
对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，
由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误.
10．（多选题）（25-26高二下·江苏·阶段检测）为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员在某城市测得样本数据如下表：
车流量辆 车流量辆 合计
4 11
1
合计 12 20
附：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.074 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
下列说法正确的是（ ）
A．该城市在车流量时的概率的估计值为
B．统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染越无关联
C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联
D．根据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染没有关联
【答案】ACD
【解析】先补全列联表：车流量1500辆且 的频数为，
车流量<1500辆且 的频数为，
车流量1500辆的合计频数为，
的合计频数为.
车流量辆 车流量辆 合计
4 11
1
合计 12 20
对于选项A，车流量1500辆时， 的概率估计值为，A正确.
对于选项B，统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染的关联性越强，B错误.
计算 .
对于选项C， ，故在犯错误的概率不超过的前提下，
可以认为车流量大小与空气污染有关联，C正确.
对于选项D， ，故根据小概率值 的独立性检验，
认为车流量大小与空气污染没有关联，D正确.
11．（多选题）（25-26高二下·河南驻马店·期中）下列结论错误的是（ ）
A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小
B．利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上
C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大
D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍
【答案】ABC
【解析】对于A，两个变量的相关性越弱，越小，所以A错误；
对于B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，所以B错误；
对于C，若的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，所以C错误；
对于D，若，每个数据都变为原来的2倍，
则，所以D正确．
12．（多选题）（25-26高二下·浙江温州·期中）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下：
阳性 阴性 合计
荧光抗体法 150 200
常规培养法 80 200
合计 270 130 400
参考公式：，其中.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
下列表述正确的是（ ）
A．
B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
【答案】ACD
【解析】A，根据表格数据可知，，A正确；
B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，
零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误；
C，由题意得，
零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确；
D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确.
13．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值所对应的临界值，分析喜欢该体育运动与性别________（填“有关”或“无关”）．
【答案】有关
【解析】因为，所以根据小概率值的独立性检验，喜欢该体育运动与性别有关．
14．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示：
电离辐射剂量 存活情况 合计
死亡 存活
第一种剂量
第二种剂量
合计
由表中数据算得：__________精确到 ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用__________填“相同”或“不相同”．(已知)
【答案】 . 不相同
【解析】由列联表中数据，计算得，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关，
即两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．
15．（25-26高二下·江西·阶段检测）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】48
【解析】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为，
女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下：
追星 不追星 总计
男生
女生
总计
则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得：
.
又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则.
16．（25-26高二下·重庆·期中）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀．
(1)请将列联表补充完整；
学校 数学成绩 合计
优秀 不优秀
甲校 10
乙校 15
合计 100
(2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异．
(3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）由已知，列联表如下：
单位：人
学校 数学成绩 合计
优秀 不优秀
甲校 10 40 50
乙校 15 35 50
合计 25 75 100
（2）零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异.
（3）甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率，
设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则，
所求概率为.
17．（25-26高二下·河南·阶段检测）某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表：
A级电池 B级电池 总计
液冷技术 200 50 250
风冷技术 150 100 250
总计 350 150 500
(1)根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关；
(2)现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）零假设：“是A级电池”与“电池冷却技术类型”无关，
由题中数据得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立，
所以“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关．
（2）从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，
则A级电池抽取8组，B级电池抽取2组，则的所有可能取值为，，，
，，，
故的分布列为
1 2 3
所以．
18．（25-26高二下·重庆·期中）2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表：
性别 马拉松 合计
喜爱 不喜爱
男 60 40 100
女 40 60 100
合计 100 100 200
(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
(2)依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望．
附：．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【解析】（1）零假设为：喜爱马拉松与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关.
（2）由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男性，2个女性，
故的可能取值有，
，，.
所以的分布列为
0 1 2
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第10讲 独立性检验
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、2×2列联表 3
知识点2、独立性检验 3
知识点3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 3
03 重难点题型 4
题型一：列联表及其应用 4
题型二：等高条形图分析 5
题型三：独立性检验核心思想 7
题型四：独立性检验实际应用 9
04 过关检测 14
知识点1、列联表
设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：
总计
总计
知识点2、独立性检验
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0．1 0．05 0．01 0．005 0．001
2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
知识点3、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
（1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较；
（3）根据检验规则得出推断结论；
（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
题型一：列联表及其应用
例1．一个列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中，的值分别是 （ ）
A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38
例2．（2026·高三·全国·一轮复习）下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
例3．某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（ ）
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
A．52、54
B．54、52
C．94、146
D．146、94
变式2．（2026·高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：
a b
c d
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
题型二：等高条形图分析
例4．（2026·高三·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物的预防效果优于药物的预防效果
B．药物的预防效果优于药物的预防效果
C．药物、对该疾病均有显著的预防效果
D．药物、对该疾病均没有预防效果
例5．（2026·高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
例6．（2026·高二·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
变式3．（2026·高二·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：独立性检验核心思想
例7．（2026·高二·河北承德·期中）现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 154 60
女 196 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，.
A． B．
C． D．
例8．（2026·甘肃白银·三模）某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2026·高二·安徽淮北·期末）读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（ ）
A．25 B．45 C．60 D．75
变式5．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图的列联表中，定义，易知越大越有利于结论“与有关系”.若当值大于常数时，有的把握认为与有关系，那么的值为（ ）
(已知，其中，)
总计
总计
A． B．
C． D．
变式6．（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表：
不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计
男生
女生
总计
若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ）
附：，.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A．80 B．100 C．120 D．150
题型四：独立性检验实际应用
例10．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校 A B C D
抽查人数 10 15 100 75
“创文”活动中参与的人数 6 14 80 49
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的.
(1)根据上表中 A，B两校的数据，补全下面的2×2列联表(将序号处的数据填写完整)：
学校 参与 未参与 合计
A 6 ① 10
B 14 ② 15
合计 20 ③ ④
(2)根据小概率值的独立性检验，分析A，B两校参与“创文”活动与学校是否有关
(3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例11．（2026·高二·安徽宿州·阶段检测）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例12．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 20 60 80
成年人 40 60
合计 140
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关
(2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《飞驰人生3》的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
变式7．（2026·浙江·二模）睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：
轻度睡眠障碍人数 1 2 3 1 2
重度睡眠障碍人数 4 3 6 4 4
睡眠质量良好人数 25 25 11 5 4
总人数 30 30 20 10 10
(1)由表中的数据求这100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率；
(3)若平均每天使用电子产品的时间大于等于4小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计
超标 不超标
良好
障碍（包括轻度和重度）
合计 100
附：，
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
变式8．（2026·高二·陕西榆林·期中）某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表：
客户年龄（岁）客户购买次数 合计
购买过1次或2次 40
购买过3次以上（含3次） 20 10
合计
(1)补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联；
(2)在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：．
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
1．（25-26高二下·河北衡水·期末）现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 150 60
女 200 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ）
附：，．
A． B．
C． D．
2．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ）
附：，其中．
A．人 B．人 C．人 D．人
3．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ）

A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人
B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人
C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于
4．（25-26高二下·广东·期末）通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表．已知， ，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（　　）
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
A．爱好跳绳与性别有关
B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．爱好跳绳与性别无关
D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
5．（25-26高二下·北京·期末）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表．
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　）
A．爱好跳绳与性别无关
B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．爱好跳绳与性别有关
D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
6．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，）
A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
7．（25-26高二下·上海·期中）为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成某种抗体，使用列联表独立性检验.随机抽取一定量植株，获得观察数据，制作列联表.提出原假设：感染与形成抗体__________；确定显著性水平；若计算得；依据，从而__________原假设，即得统计决断.（ ）
A．有关；拒绝 B．有关；接受 C．无关；拒绝 D．无关；接受
8．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）独立性检验中，若小于临界值，则下列结论正确的是（ ）
A．两个变量一定相互独立 B．两个变量一定不独立
C．没有充分证据表明两个变量有关 D．两个变量有关联的可能性为
9．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲 乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到.
车型与地区
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
下列说法正确的是（ ）
A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人
B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
10．（多选题）（25-26高二下·江苏·阶段检测）为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员在某城市测得样本数据如下表：
车流量辆 车流量辆 合计
4 11
1
合计 12 20
附：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.074 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
下列说法正确的是（ ）
A．该城市在车流量时的概率的估计值为
B．统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染越无关联
C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联
D．根据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染没有关联
11．（多选题）（25-26高二下·河南驻马店·期中）下列结论错误的是（ ）
A．两个变量的相关性越弱，相关系数越小
B．利用样本点求经验回归方程，则至少有一个样本点在回归直线上
C．对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大
D．在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍
12．（多选题）（25-26高二下·浙江温州·期中）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下：
阳性 阴性 合计
荧光抗体法 150 200
常规培养法 80 200
合计 270 130 400
参考公式：，其中.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
下列表述正确的是（ ）
A．
B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
13．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值所对应的临界值，分析喜欢该体育运动与性别________（填“有关”或“无关”）．
14．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示：
电离辐射剂量 存活情况 合计
死亡 存活
第一种剂量
第二种剂量
合计
由表中数据算得：__________精确到 ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用__________填“相同”或“不相同”．(已知)
15．（25-26高二下·江西·阶段检测）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（25-26高二下·重庆·期中）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀．
(1)请将列联表补充完整；
学校 数学成绩 合计
优秀 不优秀
甲校 10
乙校 15
合计 100
(2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异．
(3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（25-26高二下·河南·阶段检测）某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表：
A级电池 B级电池 总计
液冷技术 200 50 250
风冷技术 150 100 250
总计 350 150 500
(1)根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关；
(2)现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（25-26高二下·重庆·期中）2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表：
性别 马拉松 合计
喜爱 不喜爱
男 60 40 100
女 40 60 100
合计 100 100 200
(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
(2)依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望．
附：．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

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