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高一数学
时量：120 分钟 满分:150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A={x|x +x-6≤0},B={0,1,2,3},则 A∩B=（ ）
A.{0,1} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
2.已知向量 =(-2,1), =(λ,4),若 ⊥ ,则 λ=（ ）
A.2 B.8
C.-2 D.-8
3.已知 x>-1,则 的最小值为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.已知 l、m、n 为三条不同直线，α、β、γ 为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A.若 l⊥m,m⊥n,则 l∥n
B.若 α⊥β,γ⊥β,则 γ∥α
C.若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β
D.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β
5.甲乙两人投球命中率分别为 , ，且甲乙互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6.记△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=3,b=4,B=2A,则 （ ）
（ ）
A.1 B.-1
C.
8.已知直四棱柱 的底面是边长为 6 的正方形， 8,点 M 是棱 AA 的中点,E 是棱
AB 上的一点,且 AE=2EB,则过点 D ，M，E 的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ）
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知复数 则（ ）
A. z 的虚部为-2
B.|z|=5
C. z 的共轭复数为-1+2i
10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有 1，2，3，4，5，6 的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的
点数，A 表示事件“第一次正面朝上的点数为 3”，B 表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C 表示事件“两
次正面朝上的点数之和为 7”，D 表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于 3”，则（ ）
A. A 与 B 相互独立 B. A 与 C 相互独立
C. A 与 D 相互独立 D. C 与 D 相互独立
11.已知函数 则下列说法正确的是（ ）
A.若 ω=2,则 f(x)在 上单调递增
B.若 则 ω 的最小值为 1
C.若 f(x)在( 内无零点，则 ω 的取值范围为
D.若 f(x)在( 内单调递减，则 ω 的取值范围为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f(x)=2x,则 f(0)+f(-2)= .
13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从 3000 名学生中抽取了一个容量
为 100 的样本，其中男女生人数之比为 3：2，统计数据得到男生平均身高为 176，方差为 164，女生平均身
高为 161，方差为 169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为
14.已知平面向量 , , 满足| |=| - |=2,| - |=1,则 · 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB 的中点，且
(1)求证:
(2)求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值.
16.(本小题满分 15 分)
某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分 100 分)，共有 100
名教职工参加，其成绩均落在区间[50,100]内,将竞赛成绩数据分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,
制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值，并估计竞赛成绩的第 75 百分位数；
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取 8 人，
再从这 8 人中随机抽取 2 人参加交流会，求其中恰有 1 人的竞赛成绩在[90，100]内的概率.
17.(本小题满分 15 分)
在 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =b+c.
(1)求 A 的值;
(2)若 的面积为 求 的周长.
18.(本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 是正三角形，DA=DC,PA=PC,BD⊥PA.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 ABCD;
(2)设 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
(3)若 P，A，B，C，D 五个点均在球 O 的球面上，且 O 在平面 ABCD 内，若四棱锥 P-ABCD 的体积与球 O
的体积分别为 求 的值.
19.(本小题满分 17 分)
已知 O 为坐标原点，对于函数 称向量 为函数
的相伴向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
已知 分别为函数 f(x)，g(x)的相伴向量，
(1)若
(i)求
(ii)若 且|g(x)|在 x 处取到最大值,求 的值.
(2)若 f(x)g(x)的最大值为 2026,求 的最大值.
高一数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A A D C C B D ACD ABC ABD
1．C 【解析】 ，故 ．
2．A 【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 ．
3．A 【解析】当 时， ，所以 ，当
且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 3．
4．D 【解析】对于 A，若 ， ，则 、相交或异面，故 A 错误；
对于 B，若 ， ，则 或相交；故 B 错误；
对于 C，若 ， ，则 或 ，故 C 错误；
对于 D，如图，因为 ，经过直线 和平面 内一点 可作平面 ，设 ，则 ，
因为 ，故 ，又 ，故 ，故 D 正确．
5．C 【解析】甲命中的概率为 ，不命中的概率为 ；乙命中的概率为 ，不命中的概率为
；设恰好有一人命中的概率为 ，则 ．
6． C 【 解 析 】 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 即 ， 解 得
，
而 ，故 ， ，
，所以 ．
则 ．
7． B 【 解 析 】 原 式
．
8．D 【解析】连接 交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，
连接 ，交 于点 ，连接 ， ， ，所以过点 ， ， 的平面截直四棱柱
的截面为五边形 ．
由平行线分线段比例可知： ， ，
故点 为 中点，故 ，又 ，
故 ， ．
故 ，
，
， ，
，所以五边形的周长为 ．
9．ACD 【解析】 ．
对于 A， 的虚部为 ，正确；
对于 B， ，错误；
对于 C， 的共轭复数为 ，正确；
对于 D， ，正确．
10． ABC 【 解 析 】 根 据 题 意 得 ， ， ， ，
．
选项 A． ， ， ，A 正确；
选项 B． ， ， ，B 正确；
选项 C． ， ， ，C 正确；
选项 D． ， ， ，D 错误．
11．ABD 【解析】对于 A 选项，函数 ，当 时， ，符合
题意，故 A 正确；
对于 B 选项，由于 ， ，所以 ，
即 或 ，所以 或 ，
又 ，所以 的最小值为 1，故 B 正确；
对于 C 选项，由已知得 整理得 ，
当 时， ，当 时， ，故 的取值范围为 ，故 C 错误；
对于 D 选项，由于 在 内单调递减，由于函数 在 内单调递减，
则满足 解得 ，当 时， ．故 D 正确．
三、填空题
12． 【解析】由 是定义在 上的奇函数，得 ，又当 时， ，则
-4，所以 ．
13．220 【解析】根据题意，由于男女生人数之比为 ，则样本中男女生人数之比为 ，
其中，男生平均身高为 176，方差为 164，女生平均身高为 161，方差为 169，
则样本的平均数 ，
样本的方差 ，
用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 220．
14．12 【解析】如图，设 ， ， ，
则 ， ，由 ， ，
得点 在以 为圆心，2 为半径的圆上，点 在以 为圆心，1 为半径的圆上，
，由图可知，当 ， ， 三点共线（ ， 的位置分别如图中的 ，
）时， 取最大值 4， 取最大值 3，
取最大值 1，所以 的最大值为 12．
四、解答题
15．【解析】（1）连接 交 于 ，因为 为劣弧 的中点，
故 是 中点，又 是 中点，所以 ，
平面 ， 平面 ，因此 平面 ．
（2）依题意， 平面 ，故 ，
又 为半圆弧 的中点，因此 ， ，
因此 平面 ，故 是直线 与平面 所成的角．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
16．【解析】（1）由频率分布直方图可知 ，解得 ．
因为前三组的频率之和为 ，
前四组的频率之和为 ，所以第 75 百分位数在 内．
设这次竞察成绩的第 75 百分位数为 ，则 ，解得 ．
（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 8 人，
竞赛成绩在 内的有 人，记为 、 、 、 、 ，
竞赛成绩在 内的有 3 人，记为 、 、 ．
所有选法有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 28 种，
其中恰有 1 人的竞赛成绩在 内的选法有 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，
共 15 种，故所求概率为 ．
17．【解析】（1） 中， ，
利用正弦定理： ，
整理得 ，
故 ，整理得 ，由于 ，所以 ；
（2）因为 的面积为 ，则 ，
则 ，由正弦定理 及 ，
则 ，
则 ．
由余弦定理， ，
则 ，
则 的周长为 ．
18． 【解析】（1）证明：由条件得， ， ，则 是线段 的中垂线，所以
，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ；
（2）如图所示，记 与 交于 点，连接 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
由（1）知，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，取 的中点 ，因为 ，故 ，同理 ，即 为二面角
的平面角，
由 ， ，得 ，因此 ，因此 ，
因此 ，因此 ，
又 ，在 .，由余弦定理， ，
故二面角 的余弦值为 ．
（3）因为 ， ， ， ， 五点同在球 上，且 在平面 内，故 为四边形 的外心，
因此 、 、 、 四点共圆，
由对称性可知， 为 的中点，
设球的半径为 ，
则 ， ， ，又 ，故 ，
因此 ，
，因此 ．
19． 【 解 析 】 （ 1） （ ⅰ ） 依 题 意 ，
，
所以 的相伴向量 ， ．
（ⅱ）设 ，则 ， ，
由 ．
于是 ，其中 ，
依题意， ，即 ， ，由 在 处取到最大值，
故 ，即 ，
因此 ．
注意到 ，从而 ．
（2）设 ， ，则 ， ，
，
因此 的最大值为 ．
注意到 ，
因此 ，
注意到 ，因此 ，即 ，
当 ， 时， ，且 的最大值为 2026，符合
题意．

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