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1.2集合间的基本关系 学习案
一、概念填空
【1】子集、真子集、集合相等：
概念 图示 性质
子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的___ ，记作___ (或____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么
集合 相等 一般地，如果集合A的___元素都是集合B的元素，同时集合B的___元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则
真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作___ (或___ ) A B，且B C，则A C; ，且，则A B
【答案】 任意一个 子集 任何一个 任何一个 A B BA
【分析】略
【详解】略
【2】空集：________的集合叫空集，记作________.空集也是有限集.
【答案】 没有元素
【分析】略
【详解】略
【3】如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为______，所有非空真子集的个数为________.
【答案】
【分析】根据集合子集个数分析即可.
【详解】如果中有个元素，则的所有子集的个数为，非空子集为子集个数减1，非空真子集为子集个数减2.
故答案为：；；
【4】不含任何元素的集合称为______，记为，它是任何集合的_______，是任何____的真子集.
【答案】 空集 子集 非空集合
【分析】根据给定条件，利用空集的定义直接求解作答.
【详解】不含任何元素的集合称为空集，记为，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
故答案为：空集；子集；非空集合
考点归纳
①判断两个集合的包含关系；②求集合的子集（真子集）；③求集合的子集（真子集）的个数；④根据集合的包含关系求参数；⑤两个集合相等问题；⑥根据集合的子集（真子集）求参数；⑦空集的概念及性质
巩固训练
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
3．设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，，则集合的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．空集是集合的子集
C．代数式的值组成的集合是
D．集合与集合是同一个集合
二、多选题
9．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知非空集合，且，则的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．－3 D．0
11．下列命题中正确的是（ ）
A．集合的真子集是
B．
C．设，若，则
D．
三、填空题
12．设a，，若集合，则______．
13．集合的真子集的个数为______.
14．若集合，则实数a的值的集合为____________．
四、解答题
15．判定下列集合之间的关系：
(1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}；
(2)，
16．已知集合且，且
(1)写出集合的子集，真子集；
(2)求集合的子集数，非空真子集数．
17．设集合．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数m的取值范围．
18．已知集合，．
(1)若，求A；
(2)若，且，求实数b的取值范围．
19．已知集合．
(1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合；
(2)若，求实数的取值范围．
四、参考答案
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D D C C C D BCD BCD BCD
1．C
【知识点】判断两个集合的包含关系
【详解】因为，所以．
2．B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）
【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案.
方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可.
【详解】方法一：因为集合，，
所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个．
方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素，
故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集，
因为集合的真子集的个数为，
所以满足条件的集合C有
3．D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.
【详解】当时，方程无解，即，满足；
当时，由方程，解得，即，
因为，可得或，解得或，
所以由实数组成的集合为.
4．D
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】由子集的定义，解不等式可得结果.
【详解】由，可得，解得.
故选：D.
5．C
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等
【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系．
【详解】集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，集合，
，可得，
综上可得
故选：C.
6．C
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据集合中元素的性质可知或，解得，即可求解.
【详解】因为，所以或，
则或或，
当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去；
所以，所以，
故选：C
7．C
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应用
【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可.
【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，
所以，， ，不是的子集，故ABD错误，C正确；
故选：C.
8．D
【知识点】集合元素互异性的应用、空集的性质及应用、列举法表示集合、判断是否为同一集合
【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D.
【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对；
空集是任何非空集合的子集，B对；
当时，；当或时，；
当时，，C对；
是点集，是数集，D错．
故选：D
9．BCD
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用、常用数集或数集关系应用
【分析】根据常用数集的含义、空集的性质、元素与集合关系判断各项的正误.
【详解】由是无理数，是整数，所有正整数都是实数，空集是任意集合的子集，
所以A错，B、C、D对.
故选：BCD
10．BCD
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解．
【详解】因为非空集合，则或或，
当时，可得且，解得，则；
当时，可得且，解得，则；
当时，可得，解得，则，
综上可得，的值可以是3或－3或0．
故选：BCD．
11．BCD
【知识点】空集的概念以及判断、根据两个集合相等求参数、判断两个集合的包含关系
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确.
【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确；
对于C，因为，，，所以，，，C正确；
对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以 ，D正确．
故选：BCD.
12．0
【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算.
【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故，
两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此，
此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，，
此时，符合条件.
所以.
13．3
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解.
【详解】方程可化为，解得或1，
则，故集合的真子集的个数为.
14．
【知识点】空集的性质及应用
【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当时，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上可知，a的值的集合为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】（1）根据子集定义可判断；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解；
【详解】（1）x是矩形是平行四边形，
；
（2），，
，，
的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，
例如：
所以；
16．(1)答案见解析
(2)16，14
【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解；
（2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数．
【详解】（1），
的子集有：，，，，，，，；
的真子集有：，，，，，，．
（2），
有4个元素，的子集数为个，
的非空真子集数为个．
17．(1)
(2){或}
【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可；
（2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可.
【详解】（1）由知，且可得，
所以A的非空真子集的个数为；
（2）因为，若，则，可得；
若，则，解之得；
综上所述：实数m的取值范围为{或}.
18．(1)
(2)
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）解一元二次方程即可求解；
（2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可.
【详解】（1）当时，得，解得或，
所以．
（2）因为，所以，解得，
所以．
因为，所以，解得，
所以b的取值范围是．
19．(1)
(2)
【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解，
（2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解.
【详解】（1）对于，
当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意；
当时，方程为关于的一元二次方程，
由题意知，该方程有两个相等的实根，
所以，
解得或.
所以实数的取值构成的集合为.
（2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论：
①当时，，即.
②当集合中只有一个元素时，由（1）知，
当时，，，；
当时，，，，；
当时，，，，.
③当集合中有两个元素时，
因为，所以，即，
即关于的方程的两根分别为1，2，
所以，无解.
综上所述，实数的取值范围是.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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