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天水市逸夫实验中学2025—2026学年度九年级中考适应性考试
数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．在脑机接口技术中，研究人员可以通过植入式电极采集神经元活动产生的微弱电信号．某次实验中，设备检测到一段与运动意图相关的神经信号，其电压幅度为伏特．将数字用科学计数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，菱形的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．某特产食品销售店今年月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ）
A．这个月，食品销售总额为万元
B．甘肃奶油杏肉月份的销售额比月份有所上升
C．这个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是月份
D．这个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是万元
9．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，，图2是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．因式分解：_____________．
12．已知关于的分式方程，则该分式方程的解为_____________．
13．如图，在矩形中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长是_____________．
14．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为_____________．
15．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，，且，，求的度数．
16．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．
三、解答题（共11小题，共计96分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：
19．（6分）先化简，再求值，从，，这三个数中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值．
20．（8分）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆外一点作圆的切线”，他设计的尺规作图过程如下：
已知：及外一点
求作：直线和直线，使得切于点，切于点
作法：如图，
①连接，作线段的垂直平分线，交于点；
②以点为圆心，的长为半径作圆，交于点和点；
③作直线和直线
则直线和直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，准确完成作图（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）象棋起源于中国，有着悠久的历史文化．如图所示，有五枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“卒”“士”“象”“马”“车”．将它们背面朝上放置搅匀后，从中随机翻开一枚棋子，记下棋子名称后背面朝上放回，记作随机翻棋子1次．
（1）随机翻棋子10次，其中翻出“马”3次，则这10次翻棋子中，翻出“马”的频率是_____________；
（2）随机翻棋子2次，用画树状图或列表的方法，求这两次翻出的棋子中至少有一个“象”的概率．
22．（10分）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点离桌面的高度；（结果保留根号）
（2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度增加还是减少？面板上端离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）
23．（10分）教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____________；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____________度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标；
（2）连接，，求四边形的面积．
25．（10分）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
26．（10分）（1）如图1，在与中，，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点；若，，，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过原点，其对称轴为直线．直线（）与该抛物线交于点，连结．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当时，作交轴于点，交该抛物线对称轴于点．
①求点的坐标．
②求的长．
（3）点在直线上，，以、为邻边作菱形，连结交该抛物线对称轴于点．当时，直接写出的值．

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