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2.2 一元二次方程的解法
课时3
第二章 一元二次方程
1.经历求根公式的推导过程。
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式。
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。
一化；二配；三移；四开；五解。
如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax +bx+c=0，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多。
你能用配方法解方程ax +bx+c=0(a≠0)吗
因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a，
得 x +x+=0。
配方，得 x +x+() - () +=0，
() - =0。
移项，得 () =。
知识点1 用公式法解一元二次方程
接下来能用直接开平方解吗？
你能用配方法解方程ax +bx+c=0(a≠0)吗
因为a≠0，所以4a >0。当b -4ac≥0时， 是一个非负数，
此时两边开平方，得
=±，
即 =±，
=。
知识点1 用公式法解一元二次方程
一元二次方程的求根公式：
对于一元二次方程ax +bx+c=0，当b -4ac≥0时，它的根是
=。
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
知识点1 用公式法解一元二次方程
解方程：
(1)x -7x-18=0； (2)4x +1=4x。
解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18。
因为 b -4ac=(-7) -4×1×(-18)=121>0，
所以 x= =
即x1=9，x2=-2。
例1
知识点1 用公式法解一元二次方程
解方程：
(1)x -7x-18=0； (2)4x +1=4x。
解：(2)将原方程化成一般形式，得
4x -4x+1=0。
这里a=4，b=-4，c=1。
因为b -4ac=(-4) -4×4×1=0，
所以 x= =
即 x1=x2=。
例1
知识点1 用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤 示例(2x +x=2)
一化
二定
三算
四解
b -4ac=1 -4×2×(-2)= 17>0。
a=2，b=1，c=-2。
2x +x-2=0。
x=，即x1=，x2=
将一元二次方程化为ax +bx+c=0。
计算b -4ac的值。
确定a，b，c的值。
若b -4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。
知识点1 用公式法解一元二次方程
跟踪训练
一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是( )
A. B.
C. D.
知识点1 用公式法解一元二次方程
A
思考 你能解一元二次方程x -2x+3=0吗
这里的a=1，b=-2，c=3。
因为b -4ac=(-2) -4×1×3=-8<0，
所以原方程没有实数根。
知识点1 用公式法解一元二次方程
思考 对于一元二次方程ax +bx+c=0，当b -4ac<0时，它的根的情况是怎样的
方程没有实数根。
知识点1 用公式法解一元二次方程
对于一元二次方程ax +bx+c=0，
当b -4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b -4ac<0时，方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况可由b -4ac来判定。
我们把b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示（即 Δ=b2-4ac）。
知识点1 用公式法解一元二次方程
下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A.x +1=0 B.x -2x+1=0 C.x +x+1=0 D.x +x=1
解析：选项A，这里a=1，b=0，c=1，故Δ =b -4ac=0 -4×1×1=-4<0，
所以该方程无实数根；
选项B，这里a=1，b=-2，c=1，故Δ =b -4ac=(-2) -4×1×1=0，
所以该方程有两个相等的实数根；
选项C，这里a=1，b=1，c=1，故Δ =b -4ac=1 -4×1×1=-3<0，
所以该方程无实数根；
选项D，移项，得x +x-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，故Δ =b -4ac=1 -4×1×(-1)=5>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
例2
知识点1 用公式法解一元二次方程
D
1.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x +5=7x； (2)4x(x-1)+3=0；
(3)4(y +0.09)=2.4y。
. .
解：(1)原方程可变形为2x -7x+5=0。
这里a=2，b=-7，c=5。
∵b -4ac=(-7) -4×2×5=9>0，
∴原方程有两个不相等的实数根。
1.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x +5=7x； (2)4x(x-1)+3=0；
(3)4(y +0.09)=2.4y。
. .
解：(2)原方程可变形为4x -4x+3=0。
这里a=4，b=-4，c=3。
∵b -4ac=(-4) -4×4×3=-32<0，
∴原方程没有实数根。
1.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x +5=7x； (2)4x(x-1)+3=0；
(3)4(y +0.09)=2.4y。
. .
解：(3)原方程可变形为4y -2.4y+0.36=0。
这里a=4，b=-2.4，c=0.36。
∵b -4ac=(-2.4) -4×4×0.36=0，
∴原方程有两个相等的实数根。
2.关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( )
A.m≥0 B.m＞0
C.m≥0且m≠1 D.m＞0且m≠1
C
3. 若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是 。
k≤4且k≠0
4.用公式法解方程：
(1)2x -9x+8=0； (2)9x +6x+1=0；
(3)16x +8x=3； (4)x(x-3)+5=0。
. .
解：(1)这里a=2，b=-9，c=8。
∵b -4ac=(-9) -4×2×8=17>0，
∴x= = ，
∴x1= ，x2=
(2)这里a=9，b=6，c=1。
∵b -4ac=6 -4×9×1=0，
∴x= = -，
∴x1=x2=
4.用公式法解方程：
(1)2x -9x+8=0； (2)9x +6x+1=0；
(3)16x +8x=3； (4)x(x-3)+5=0。
. .
解：(3)移项，得16x +8x-3=0。
这里a=16，b=8，c=-3。
∵b -4ac=8 -4×16×(-3)=256>0，
∴x= = ，
∴x1=，x2= -
(4)去括号，得x -3x+5=0。
这里a=1，b=-3，c=5。
∵b -4ac=(-3) -4×1×5=-11<0，
∴原方程没有实数根。
5.一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形三条边的长。
. .
解：设较长的直角边长为x，则较短的直角边长与斜边长分别为x-2，x+2。
根据题意，得 x +(x-2) =(x+2) ，
即 x -8x=0。
解得x1=0( 不合题意，舍去)，x2=8。
故 x-2=6，x+2=10。
答：这个三角形三条边的长分别为6，8，10。
6.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0。
求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
. .
证明：∵在x2+ax+a-2=0中，
Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8＝(a-2)2+4>0 ，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
一元二次方程的解法
根的判别式Δ=b -4ac
Δ>0，方程有两个不相等的实数根
Δ=0，方程有两个相等的实数根
Δ<0，方程没有实数根
公式法
=

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