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2.2 一元二次方程的解法
课时4
第二章 一元二次方程
1.理解用因式分解法解方程的依据。
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。
一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h (单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t 。小球从弹出到落回地面，经过了几秒
问题1 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t 。小球从弹出到落回地面，经过了几秒
设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程
15t-5t =0。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
15t-5t =0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法 他们的结果正确吗
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
小颖的解法：
由方程 15t-5t =0，
得 5t -15t=0。
因此 t=，
所以 t1=0，t2=3。
小颖的解法是正确的，她运用了公式法解方程。
15t-5t =0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法 他们的结果正确吗
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
小明的解法：
由方程 15t-5t =0，
得 5t =15t。
两边都约去 5t，
得 t=3。
小明的解法是错误的，他进行的方程变形不是同解变形。同解变形要求方程两边同时除以同一个不为0的数，他的做法漏掉了根为0的情况。
15t-5t =0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法 他们的结果正确吗
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
小亮的解法：
由方程 15t-5t =0，
得 5t -15t=0。
即 5t(t-3)=0。
于是t=0，或t-3=0。
所以 t1=0，t2=3。
这样做的依据是什么？
如果a · b=0，那么 a=0或 b=0.
小亮让方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。
15t-5t =0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法 他们的结果正确吗
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
小亮的解法：
由方程 15t-5t =0，
得 5t -15t=0。
即 5t(t-3)=0。
于是t=0，或t-3=0。
所以 t1=0，t2=3。
小亮的解法是正确的，他用的是本节要学的因式分解法。
当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
适用范围：一元二次方程的一边为 0 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)移项：将方程的右边化为0；
(2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程；
(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
解方程：
(1)5x =4x；
解：(1)原方程可变形为
5x -4x=0，
x(5x-4)=0。
x=0，5x-4=0。
所以 x1=0，x2=。
例1
(2)原方程可变形为
x(x-2)-(x-2)=0，
(x-2)(x-1)=0。
x-2=0，或x-1=0。
所以 x1=2，x2=1。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
(2)x(x-2)=x-2。
思考 (1)解方程：x -4=0，(x+1) -25=0，x +2x-3=0，x +6x-8=0。
x -4=0，因式分解，得(x+2)(x-2)=0，
所以x+2=0，或x-2=0，
所以x1=-2，x2=2。
(x+1) -25=0，因式分解，得(x+6)(x-4)=0，
所以x+6=0，或x-4=0，
所以x1=-6，x2=4。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法
还可以用直接开平方法解方程。
思考 (1)解方程：x -4=0，(x+1) -25=0，x +2x-3=0，x +6x-8=0。
x +2x-3=0，配方，得x +2x+1-1-3=0，
即(x+1) =4，
开平方，得x+1=±2，
所以x1=1，x2=-3。
x +6x-8=0，配方，得x +6x+9-9-8=0，
即(x+3) =17，开平方，得x+3=±，
所以x1=-3+，x2=-3-。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
思考 (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程
用到了因式分解法、配方法。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解
配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法
各自 特点
共性 将一元二次方程转化为(x+m) =n的形式；是解一元二次方程的通法。
是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。
将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。
都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择思路：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。
1.经计算，整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4=0的根为(　　)
A. x1=-1，x2=-4　 B. x1=-1，x2=4
C. x1=1，x2=4　 D. x1=1，x2=-4
B
2.用因式分解法解方程：
(1) (x+2)(x-4)=0； (2) 4x(2x+1)=3(2x+1)。
. .
解：(1) (x+2)(x-4)=0，
∴x+2=0，或x-4=0，
∴x1=-2，x2=4。
(2) 4x(2x+1)=3(2x+1)，
移项，得4x(2x+1)-3(2x+1)=0，
∴(2x+1)(4x-3)=0，
∴2x+1=0，或4x-3=0，
∴x1=-，x2=。
3.用适当的方法解下列方程：
(1) 2(x-1)2-18=0 ； (2) x2+4x-1=0。
. .
解：(1) 整理，得(x-1)2= 9，
开平方，得x-1=±3，
即x-1=3 或x-1= -3，
∴ x1=4，x2=-2。
(2) 原方程变形为x2+4x=1，
配方，得x2+4x+22 =1+22，
即 (x+2)2 =5 。
可得x+2=±，
∴ x1=-2+，x2=-2-
3.用适当的方法解下列方程：
(3) (3x+2)2-4x2＝0； (4) 2(x -3)2＝x2-9 。
. .
解：(3)因式分解，
得(3x+2+2x)(3x+2-2x)＝0，
(5x+2)(x+2)＝0，
∴5x+2=0，或x+2=0，
∴x1＝-，x2＝-2。
(4) 2(x-3)2＝(x+3)(x-3)，
(x-3)[2(x-3)-(x+3)]＝0，
(x-3)(x-9)＝0，
∴x-3=0，或x-9=0，
∴x1＝3，x2＝9。
4.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
. .
解：设这个数为x。
根据题意，得 2x =7x。
移项，得 2x -7x=0，
所以 x(2x-7)=0，
所以 x=0，或2x-7=0，
所以 x1=0，x2=，
所以这个数是0。
5.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x-7)-10(x-7)＝0的一个根，求这个三角形的周长。
. .
解：x(x-7)-10(x-7)＝0，
(x-7)(x-10)＝0，
解得 x1＝7，x2＝10。
当x＝10时，3+7＝10，不符合三角形三边关系，
∴x2＝10不合题意，舍去。
当x＝7时，3+7>7，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+7+7＝17。
因式分解法
当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
一般步骤：
(1)移项：将方程的右边化为0；
(2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程；
(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。

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