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2.3 一元二次方程的根与系数的关系
第二章 一元二次方程
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。
如果ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) (a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程ax +bx+c=0必有两个实数根x=x1，x=x2。
反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax +bx+c=0的两个实数根，那么ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
问题1 2x -3x+1=0的两个根为x1=x2=1，那么2x -3x+1与2(x-)(x-1)相等吗
相等。
如方程2x -7x+6=0的两根为x1=2，x2=，
此时2(x-x1)(x-x1)=2(x-2)(x-)
=(x-2)(2x-3)
=2x -3x-4x+6
=2x -7x+6。
换几个一元二次方程再试一试。
问题2 你认为ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立
一定成立。
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
如果x1，x2是一元二次方程ax +bx+c=0的两个实数根，那么ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
思考 根据上面的结论，你能发现一元二次方程ax +bx+c=0的系数与它的两个根x1，x2之间有怎样的关系吗
当x1，x2是一元二次方程ax +bx+c=0的两个根时，根据上面的结论有
ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
所以 ax +bx+c=ax -a(x1+x2)x+ax1x2。
所以
于是
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程ax +bx+c=0有两个实数根x， ，那么
， 。
注意 应用根与系数的关系时要满足：
(1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式；
(2)方程必须有实数根，即b -4ac≥0。
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x +7x+6=0； (2)2x -3x-2=0。
解：(1)这里a=1，b=7，c=6。
Δ=b -4ac=7 -4×1×6=49-24=25>0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
-7，6。
例1
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x +7x+6=0； (2)2x -3x-2=0。
解：(2)这里a=2，b=-3，c=-2。
Δ=b -4ac=(-3) -4×2×(-2)=9+16=25>0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
，。
例1
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
x1，x2是方程3x2 +4x-3=0的两个根。利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) (x1 +1)(x2 +1)； (2)
解：根据根与系数的关系得：x1 +x2 = = x1 x2= = -1。
(1) (x1 +1)(x2 +1) = x1 x2 +x1 +x2 +1=(-1)+()+1=
(2) =
例2
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
根与系数关系的常见的变形：
①；
②；
=
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x -3x-1=0； (2)3x +2x-5=0。
. .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-1。
Δ=b -4ac=(-3) -4×1×(-1)=13>0，
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1+x2=3，x1x2=-1。
(2)这里a=3，b=2，c=-5。
Δ=b -4ac=2 -4×3×(-5)=64>0，
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个实数根是x1，x ，
那么x1+x2=-，x1x2=-。
2.小明和小华分别求出了方程9x +6x-1=0的根。
小明：x1=x2=-，
小华：x1=-3+3，x2=-3-3。
他们的答案正确吗 说说你的判断方法。
. .
解：他们的答案不正确。判断方法如下：
∵Δ=b -4ac=6 -4×9×(-1)=72>0，
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1+x2=-，x1x2=-。
小明的答案中x1+x2=-，x1x2=≠-，
∴小明的答案错误。
小华的答案中x1+x2=(-3+3)+(-3-3)=-6≠-，
∴小华的答案错误。
3.已知方程x -x-7=0的一个根是3，求它的另一个根。
. .
解：设另一个根是x1，则由根与系数的关系，
得 x1+3=或3x1=-7，
解得 x1=-，
∴它的另一个根是-。
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = ，q= 。
1
-2
5. 已知x1，x2是一元二次方程x2 - 4x – 5 = 0的两根，则 。
-
6.已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2。
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足＝16＋x1x2，求实数k的值。
. .
解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
解得k≤
∴实数k的取值范围为k≤
6.已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2。
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足＝16＋x1x2，求实数k的值。
. .
解：(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1。
∵ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，
解得k1＝－2，k2＝6(不符合题意，舍去)。
∴实数k的值为－2。
ax +bx+c=0的两个实数根为x1， x2
一元二次方程的根与系数的关系
，
推导
ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)

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