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2.4 一元二次方程的应用
课时2
第二章 一元二次方程
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及增长率问题。
2.进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力。
步骤 内容摘要 注意事项
一审
二设
三列
四解
五验
六答
审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系。
设未知数，一种是设直接未知数，另一种是设间接未知数。
用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。
根据方程的特点，选择适当的解法求出未知数的值。
检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。
写出实际问题的答案。
等量关系往往体现在关键词句中。
有单位的要带单位。
方程两边单位要统一。
一般不必写出解方程的过程。
一般两个根中只有一个根符合实际意义。
注意语句完整。
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元
分析：这个情境涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5 000元。
例1
知识点1 一元二次方程的应用
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 元，
每台冰箱的销售利润为 元，
平均每天销售冰箱的数量为 台，
这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决。
例1
知识点1 一元二次方程的应用
(2 900 - x)
(2 900- x-2 500)
(8+4)
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元
解：设每台冰箱的销售价降低x元，根据题意，得
(2 900-x-2 500)(8+4×)=5 000。
解这个方程，得x1=x2=150。
2 900-150=2 750。
所以，每台冰箱的定价应为2 750元。
例1
知识点1 一元二次方程的应用
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元
例1
知识点1 一元二次方程的应用
得到的方程是(x-2 500)(×4+8)=5 000。
思考：如果设每台冰箱的定价应为x元，那么你能列出怎样的方程
思考 例1列出的两个方程有什么区别和联系
联系：都是根据条件用x表示出每台冰箱的利润和销售量，然后依据“每台冰箱的利润乘以销售量等于总利润”列方程。
区别：表示每台冰箱的利润和销售量的代数式不相同。
知识点1 一元二次方程的应用
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个。为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少 这时应购进台灯多少个
等量关系：涨价后每个台灯的利润×总销量=10 000元
解：设每个台灯涨价x元。
根据题意，得(40+x-30)(600-10x)=10 000。
解得x1=10，x2=40(不合题意，舍去)。
所以40+x=40+10=50，
600-10x=600-10×10=500。
所以每个台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个。
知识点1 一元二次方程的应用
知识点1 一元二次方程的应用
利润问题：
单件利润 = 售价 - 成本(成本为固定值，售价变化会直接影响单件利润)；
总销量 = 原销量 ± 因售价变化增减的销量(通常 “降价则销量增加，涨价则销量减少”，需根据题目条件确定增减幅度)；
总利润 = 单件利润 × 总销量(这是列方程的核心等量关系，题目常以 “总利润达到某一数值” 为目标，据此建立方程)。
某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意，得
400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6。
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)。
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。
知识点1 一元二次方程的应用
注意：增长率不可为负，但可以超过1。
知识点1 一元二次方程的应用
增长率(或下降率)问题：
若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系：
a(1±x)n=b
(其中增长取“+”，降低取“－”)
回顾利用方程解决实际问题的过程，你对其中的关键环节有什么感悟？积累了哪些经验？
关键环节是分析出数量关系和等量关系，依据等量关系列方程。
解方程时要注意检验方程的根是否有意义。
知识点1 一元二次方程的应用
1.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。设两次降价的百分率都为x，则x满足( )
A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x) ＝25 D．25(1－x) ＝16
D
2.某批发市场礼品柜台在春节期间购进大量贺年卡， 一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元。为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施。调查发现，这种贺年卡的单价每降低0.05元，平均每天就可多售出200张。摊主要想平均每天赢利180元，这种贺年卡的单价应降低多少元
. .
解：设这种贺年卡的单价应降低x元。
根据题意，得 (0.3-x)(500+×200)=180。
整理，得 400x -70x+3=0。
解得x1=0.1，x2=0.075(不合题意，舍去)。
答：这种贺年卡的单价应降低0.1元。
3.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么x满足 ( )
A．50(1＋x2)＝196　
B．50＋50(1＋x2)＝196x
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
C
4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售。由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售。
(1)求平均每次下调的百分率；
. .
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1-x)2=3.2，
解得 x1=20%，x2=1.8 (舍去)
∴平均每次下调的百分率为20%；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元。试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由。
. .
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5 000=14 400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5 000－200×5=15 000(元)，
∵14 400＜15 000，
∴小华选择方案一购买更优惠。
5.一个农业合作社以 64 000 元的成本收获了某种农产品 80 t，目前可以以 1 200 元/t 的价格售出。如果储藏起来，每星期会损失 2 t，且每星期需支付各种费用 1 600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元。那么，储藏多少个星期后出售这批农产品可获利 122 000 元？
. .
解：设储藏 x 个星期后出售这批农产品可获利122 000元，
根据题意，得
(1 200＋200x)(80－2x) －64 000－1 600x＝ 122 000 。
解这个方程，得 x1＝x2＝15。
所以，储藏 15 个星期后出售这批农产品可获利 122 000元。
若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”)。
应用一元二次方程
常见问题
增长率问题
营销问题
常用公式：
单件利润=售价-成本；
总销量=原销量±因售价变化增减的销量；
总利润=单件利润×总销量。

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