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第二章 一元二次方程
章末小结
一元二次方程
概念
解法
根与系数的关系
实际应用
转化思想
特殊到一般
降次思想
建模思想
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
两根之和
两根之积
知识点1 一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。
注意：①都是整式方程，
②只含有一个未知数，
③未知数的最高次数是2。
知识点1 一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式： ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。
ax2 + bx + c = 0
二次项系数
二次项
一次项系数
一次项
常数项
等号右边为0
若关于x的方程(m+1)xm +1+2mx-3=0是一元二次方程，求m的值。
解：根据题意，得m +1=2，解得m=1或m=-1。
因为二次项系数m+1≠0， 即m≠-1， 所以m=1。
知识点1 一元二次方程的概念
例1
知识点2 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
判断一个数是不是方程的解：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。
例2
“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力。定义：方程cx +bx+a=0是一元二次方程ax +bx+c=0的倒方程，其中a，b，c为常数(a≠0， c≠0) 。 根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程-4x +3x+1=0的倒方程是 。
(2)若m是一元二次方程-6x +x+1=0的倒方程的一个实数根， 求m +m -6m+2026的值。
解：(2)由题意可知方程-6x +x+1=0的倒方程为x +x-6=0。
因为m是方程x +x-6=0的一个实数根，
所以m +m-6=0，
所以m +m -6m+2026=m(m +m-6)+2026=2026。
知识点2 一元二次方程的解
x +3x-4=0
知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤：
(1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系；
(2)设——设出合适的未知数；
(3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。
知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
估算一元二次方程ax +bx+c=0的解(或近似解)：
(1)先通过试值确定方程解的大致范围；
(2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am +bm+c<0，把n代入方程使得an +bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。
(3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。
“夹逼法”
有一根长为7.2m的木料，做成如图所示的窗框(宽<高)，当窗框的宽为多少时，这个窗户的面积为2m (精确到0.01，不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)
解：设窗框的宽为x m， 则窗框的高为 m。
根据题意，得x·=2。
整理，得15x -36x+20=0。
列表估算方程的解：
例3
知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6
15x -36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8
由表格，知0.8由宽<高，得x< ，
∴x<1.44，∴1.5继续列表计算：
∴0.87∴0.87因此，当窗框的宽约为0.87m时，这个窗户的面积为2m 。
知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x 0.85 0.86 0.87 0.88
15x -36x+20 0.237 5 0.134 0.033 5 -0.064
x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6
15x -36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8
知识点4 用直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。
理论依据：平方根的意义。
适用范围：能转化为x =n或(x+m) =n(n≥0)的形式的方程。
根的表示：
对于方程x =n，当n≥0时，x1=，x2=-。
对于方程(x+m) =n，当n≥0时，x1=-m，x2=--m。
知识点5 用配方法解一元二次方程
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即
知识点5 用配方法解一元二次方程
利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一化：化二次项系数为1。
二配：配方，使原方程变为(x+m) -n=0的形式。
三移：移项，使方程变为(x+m) =n的形式。
四开：如果n≥0，就可以左右两边同时开平方，得x+m=±。
五解：方程的根为x=-m±。如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。
已知2x +y +4x-6y+11=0，x，y为实数，求xy的值。
解：2x +y +4x-6y+11=0，
(2x +4x)+(y -6y)+11=0，
2(x +2x)+(y -6y)+11=0，
2(x +2x+1-1)+(y -6y+9-9)+11=0，
2(x +2x+1)-2+(y -6y+9)-9+11=0，
2(x+1) +(y-3) =0。
∵(x+1) ≥0，(y-3) ≥0，
∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3，
∴xy=(-1) =-1。
例4
知识点5 用配方法解一元二次方程
知识点6 用公式法解一元二次方程
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
一元二次方程的求根公式：
对于一元二次方程ax +bx+c=0，当b -4ac≥0时，它的根是
=
知识点6 用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
一化：将一元二次方程化为ax +bx+c=0。
二定：确定a，b，c的值。
三算：计算b -4ac的值。
四解：若b -4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。
知识点6 用公式法解一元二次方程
根的判别式：
b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。
Δ>0，方程有两个不相等的实数根。
Δ=0，方程有两个相等的实数根。
Δ<0，方程没有实数根。
已知关于x的方程(m+1)x +2mx+m-3=0有实数根。求m的取值范围。
解：关于x的方程(m+1)x +2mx+m-3=0有实数根，分两种情况讨论：
①当m+1=0且2m≠0，即m=-1时，原方程是一元一次方程，
此时原方程为-2x-4=0，必有实数根；
②当m+1≠0 时，原方程是一元二次方程，
Δ=b -4ac=(2m) -4×(m+1)×(m-3)=8m+12≥0，
解得m≥-且m≠-1。
综上可知，当m≥-时，方程(m+1)x +2mx+m-3=0有实数根。
例5
知识点6 用公式法解一元二次方程
知识点7 用因式分解法解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
一般步骤：
(1)移项：将方程的右边化为0；
(2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程；
(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。
知识点7 用因式分解法解一元二次方程
配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法
各自 特点
共性 将一元二次方程转化为(x+m) =n的形式；是解一元二次方程的通法。
是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。
将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。
都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。
知识点7 用因式分解法解一元二次方程
一元二次方程的解法选择思路：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0 (ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。
用适当的方法解下列方程：
(1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2；
(3) x2-x-1=0； (4) 2x -5x+1=0。
解：(1)移项，得4(x+1) =25。
两边同时除以4， 得 (x+1) = 。
两边开平方，得 x+1=±，
所以x1=，x2=-。
例6
知识点7 用因式分解法解一元二次方程
(2)原方程可变形为(x-2) +2x(x-2)=0。
因式分解，得(x-2)(x-2+2x)=0，
所以x-2=0， 或3x-2=0，
所以x1=2，x2= 。
用适当的方法解下列方程：
(1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2；
(3) x2-x-1=0； (4) 2x -5x+1=0。
解：(3)二次项系数化为1，得x2-2x-2=0。
配方，得x -2x+1-1-2=0， 即( x-1) -3=0。
移项，得(x-1) =3。
两边开平方，得x-1=±，
所以x1=1+， x2=1-。
例6
知识点7 用因式分解法解一元二次方程
(4)这里a=2，b=-5，c=1。
因为Δ=(-5) -4×2×1=17>0，
所以x==
所以：x1= ，x2=。
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
如果x1，x2是一元二次方程ax +bx+c=0的两个实数根，那么ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程ax +bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么
， 。
注意 应用根与系数的关系时要满足：
(1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式；
(2)方程必须有实数根，即b -4ac≥0。
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
根与系数关系的常见的变形：
①；
②；
=
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2= 。
-3
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
例7
已知关于x的一元二次方程x +(2m+1)x+m -2=0。
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2) +m =21，求m的值。
解：(1)根据题意，得Δ=(2m+1) -4(m -2)≥0，
解得m≥-，
∴m的最小整数值为-2。
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
例8
已知关于x的一元二次方程x +(2m+1)x+m -2=0。
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2) +m =21，求m的值。
解：(2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m -2。
∵(x1-x2) +m =21，
∴(x1+x2) -4x1x2+m =21，
∴[-(2m+1)] -4(m -2)+m =21。
整理，得m +4m-12=0， 解得m1=2，m2=-6.
∵m≥-，
∴m的值为2。
知识点8 一元二次方程的根与系数的关系
例8
知识点9 一元二次方程的应用
数学问题( 一元二次方程)
实际问题
实际问题的解
抽象
寻找等量关系
数学问题的解
(一元二次方程的解)
解方程
解释
验证
知识点9 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，找出等量关系；
(2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量；
(3)列：列一元二次方程；
(4)解：解一元二次方程；
(5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值；
(6)答：作答。
知识点9 一元二次方程的应用
常见问题：
平均增长率(降低率)问题： a(1±x)n=b， x为平均增长(或降低)百分率， a是增长(或降低)前的量， b是增长(或降低)n次后的量。
几何图形面积问题：根据题意设出未知数，并用含该未知数的代数式表示相关线段，利用图形的面积公式列方程求解;
当涉及不规则图形时，可采用割补法(即利用图形面积的和差关系)或者通过平移、旋转转化为规则图形进行求解；
若问题中涉及直角三角形，则通常借助勾股定理列方程求解。
知识点9 一元二次方程的应用
常见问题：
商品销售问题：单件利润=售价-成本；
总销量=原销量±因售价变化增减的销量；
总利润=单件利润×总销量。
几何图形中的动点问题：解决此类问题主要从两方面入手:
一是审清题意，明确动点的起点、终点、路线、速度等;
二是用含时间t的代数式正确表示有关线段的长;
进而表示相关图形的面积，再根据题中给出的等量关系列出方程求解。
如图，在矩形ABCD中，AB=10 cm，AD=8 cm， 点P从点A出发 沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s 的速度向终点C运动，当点P，Q 中有一个点到达终点后另一个点也停止运动。
(1)几秒后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍
知识点9 一元二次方程的应用
例9
解：(1)设t s后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍，
则AP=2t cm，BP=(10-2t)cm，BQ=t cm。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°。
在Rt△APD中，PD =AP +AD 。
在Rt△PBQ中，PQ =BP + BQ 。
∵PD=2PQ，∴PD =4PQ ，
∴(2t) +8 =4[(10-2t) +t ]，
即t -10t+21=0，
解得t1=3，t2=7。
∵10-2t≥0，∴t≤5，∴t=3。
答：3s后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍。
知识点9 一元二次方程的应用
如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm， 点P从点A出发 沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s 的速度向终点C运动，当点P，Q 中有一个点到达终点后另一个点也停止运动。
(2)几秒后，△DPQ的面积是24cm
知识点9 一元二次方程的应用
例9
(2)设x s后，△DPQ的面积是24cm 。
由题意，×8×2x+(10-2x)·x+(8-x)×10=10×8-24。
整理，得x -8x+16=0。 解得x1=x2=4。
易知x=4满足题意。
答：4s后，△DPQ的面积是24cm 。
某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率。
解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x。
根据题意列方程，得125(1-x)2=80。
解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。
知识点9 一元二次方程的应用
例10
某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品。
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品。
根据题意列不等式，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800。
解得y≥40，所以y的最小值为40。
答：最少购进40件甲种商品。
知识点9 一元二次方程的应用
例10

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