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2.1 认识一元二次方程
课时2
第二章 一元二次方程
1.理解一元二次方程的解的意义，能利用方程的解求代数式的值。
2.能根据实际问题列出一元二次方程，会估算一元二次方程的解。
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m 的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，
你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x (单位：m) 吗
(8-2x)(5-2x)=18
8m
5m
思考：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
判断一个数是不是方程的解的方法：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。
跟踪训练
以-2为解的方程是( )
A. x2+2x-2＝0 　　　　　 B. x2-x-2＝0
C. x2+x+2＝0 　　　 　 D. x2+x-2＝0
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
D
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
问题 我们知道，x满足方程
(8-2x)(5-2x)=18。
(1)x可能小于0吗 x可能大于4吗 可能大于2.5吗
都不可能。因为x表示四周未铺地毯的条形区域的宽度，
所以x不可能小于0。
8m
5m
x
x
x
x
(8-2x)
(5-2x)
18m
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
问题 我们知道，x满足方程
(8-2x)(5-2x)=18。
(1)x可能小于0吗 x可能大于4吗 可能大于2.5吗
根据题意，知8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽，
所以8-2x>0，5-2x>0，
所以x<2.5，
所以x不可能大于4，也不可能大于2.5。
8m
5m
x
x
x
x
(8-2x)
(5-2x)
18m
问题 我们知道，x满足方程
(8-2x)(5-2x)=18。
(2)你能确定x的大致范围吗
能。
由(1)分析，得x的大致范围是0知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
8m
5m
x
x
x
x
(8-2x)
(5-2x)
18m
问题 我们知道，x满足方程
(8-2x)(5-2x)=18。
(3)填写下表。
(4)你知道所求宽度 x (单位：m) 是多少吗
因为所求宽度x的大致范围是0所以所求宽度是1m时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立。
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
问题 我们知道，x满足方程
(8-2x)(5-2x)=18。
(5) 还有其他求解方法吗
还可以将18分解因数为6×3，
用8-2x=6和5-2x=3的方法求出其解为x=1。
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。
依题意可得：
(x+6) +7 =10 ，
一般形式：
x +12x-15=0。
10 m
8 m
1 m
x m
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。
x +12x-15=0。
10 m
8 m
1 m
x m
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
思考 (1)小明认为底端也滑动了1m， 他的说法正确吗 为什么
不正确。
因为x=1不满足方程x +12x-15=0，
所以他的说法不正确。
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。
x +12x-15=0。
10 m
8 m
1 m
x m
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
思考 (2)底端滑动的距离可能是2m吗 可能是3m吗 为什么
不可能是2m，也不可能是3m。
因为x=2和x=3同样都不满足方程x +12x-15=0，所以二者都不可能。
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。
x +12x-15=0。
10 m
8 m
1 m
x m
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
思考 (3)你能猜出滑动距离x(单位：m)的大致范围吗
x 0 0.5 1 1.5 2
x +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以1x +12x-15=0。
思考 (4) x的整数部分是几 十分位是几 为什么
进一步计算：
所以1.1因此x的整数部分是1，十分位是1。
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
x 0 0.5 1 1.5 2
x +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
你明白估算一元二次方程的解的想法吗
通过两端不断逼近的方法估算一元二次方程的解。
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x +12x-15=0。
进一步计算：
所以1.1x 1.1 1.2 1.3 1.4
x +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
x 0 0.5 1 1.5 2
x +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢
在1.1和1.2之间再取值，并进行计算，计算结果最接近0的那个对应取值就是把x的小数部分精确到百分位的近似值。
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤：
(1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系；
(2)设——设出合适的未知数；
(3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
估算一元二次方程ax +bx+c=0的解(或近似解)：
(1)先通过试值确定方程解的大致范围；
(2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am +bm+c<0，把n代入方程使得an +bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。
(3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。
“夹逼法”
中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( )
A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864
C. x(60+x)=864 D. 2[x+(x+60)]=864
例1
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
A
在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步
解：将方程x(60-x)=864转化为x -60x+864=0。
因为30×30=900，900接近864，
所以x的值应该在30附近。
列表并计算：
由表格可知20例2
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x 20 30 40
x -60x+864 64 -36 64
在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步
进一步列表并计算：
所以当x=24或36时满足x -60x+864=0，
所以x -60x+864=0的解为x=24或x=36(不符合题意，舍去)。
所以矩形田地的宽为24步，长为60-24=36(步)。
因为36-24=12(步)，
所以这块矩形田地的长比宽多12步。
例2
知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解
x 21 22 23 24 25 … 35 36 37 38 39
x -60x+864 45 28 13 0 -11 … -11 0 13 28 45
1.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是(　　)。
A.2　 　 B.-1 C.-2 D.10
A
2.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)。
A.3＜x＜3.2 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
3.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为(　　)。A.2 B.-2 C.2或-2 D.14
B
4.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。这五个整数分别是多少
解：设这五个连续整数的第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4。
根据题意，得(x+1) +(x+2) +x =(x+3) +(x+ 4) 。整理，
得 x -8x-20=0。
列表：
∴x=-2或x=10，
∴这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2或10，11，12，13，14。
x -3 -2 -1 … 9 10 11
x -8x-20 13 0 -11 … -11 0 13
一元二次方程
实际问题
从实际问题中抽象出一元二次方程模型
夹逼法
解的估算

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