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2.1 认识一元二次方程
课时1
第二章 一元二次方程
1.理解一元二次方程的有关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。
2.能把一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m 的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗
8m
5m
知识点1 一元二次方程的概念
问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程
(8-2x)(5-2x)=18
8m
5m
x
x
x
x
(8-2x)
(5-2x)
2x -13x+11=0
18m
知识点1 一元二次方程的概念
问题2 观察下面等式：
10 +11 +12 =13 +14 。
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗
知识点1 一元二次方程的概念
问题2 观察下面等式：
10 +11 +12 =13 +14 。
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数
根据题意，你能列出怎样的方程
x +(x+1) +(x+2) =(x+3) +(x+4)
(x+1)
(x+2)
(x+3)
(x+4)
x
x -8x-20=0
问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米
你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗
=6(m)
如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程
(x+6) +7 =10
1 m
知识点1 一元二次方程的概念
x m
10 m
8 m
x +12x-15=0
知识点1 一元二次方程的概念
由上面三个问题，得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)=18，
x +(x+1) +(x+2) =(x+3) +(x+4) ，
(x+6) +7 =10 。
这三个方程有什么共同特点
①都是整式方程，
②只含有一个未知数，
③未知数的最高次数是2。
2x -13x+11=0
x -8x-20=0
x +12x-15=0
知识点1 一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。
知识点1 一元二次方程的概念
例1
下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ）
①；
；
③；
④；
；
⑥ (m是常数)；
⑦ ；
⑧
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
符合一元二次方程的概念；√
整理，得x2+2x 1=0，符合一元二次方程的概念；√
含有两个未知数；×
含有未知数的式子不都是整式；×
未知数的最高次数是 3；×
当m=0 时，未知数的最高次数是 1；×
整理，得x=0；×
含有未知数的式子不都是整式。×
B
判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键
观察含有未知数的式子是否为整式
不是一元二次方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
观察是否满足“一元”和“二次”
不是一元二次方程
是一元二次方程
是
是
否
否
知识点1 一元二次方程的概念
我们把ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax ，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
知识点2 一元二次方程的一般形式
如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。
即为bx+c=0，不是一元二次方程，
所以规定a≠0。
思考：为什么规定a≠0？
一元二次方程的一般形式：
ax2 + bx + c = 0
二次项系数
二次项
一次项系数
一次项
常数项
等号右边为0
知识点2 一元二次方程的一般形式
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
x =-2x+6； 4-3x =0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1) +3x=4x 。
解：
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
例2
x +2x-6=0
1
2
-6
3x -4=0
3
0
-4
4x -5x=0
4
-5
0
3x -x-1=0
3
-1
-1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( )
①x -2xy+1=0； ②x -x-=0；③x +-2=0；④x(x+3)=x -1；⑤x =6；⑥x -x+4=0。
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解：答案不唯一。
例如，可设三边长分别为x-1，x，x+1(x>1)。
根据题意，得(x-1) +x =(x+1) ，
化成一般形式为x -4x=0。
2.根据题意到出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。
3.把方程(3x+2) =4(x-3) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：原方程可化为5x +36x-32=0，
这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32。
4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。
解：(1)设正方形的边长为x,
根据题意，得4x2=25,
一般形式为4x2-25=0。
解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，
根据题意，得x(x-2)=100,
一般形式为x2-2x-100=0。
4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。
解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m,
根据题意，得x=(1-x)2,
一般形式为x2-3x+1=0。
4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。
5.若关于x的方程 (m-2) －4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______。
分析：∵一元二次方程未知数的最高次数为2，
∴ m2-2=2，即m=±2。
∵二次项系数不为0，
∴m-2≠0，即m≠2。
∴m=-2。
-2
一元二次方程
定义
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成
ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。
ax +bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax ，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
一般形式

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