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1.1 集合的概念
知识点一 集合概念的理解
【例1】下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】
1．下列叙述能组成集合的是（　　）
A．接近0的数 B．数学成绩好的同学
C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员
2．下列对象能构成集合的是（ ）
A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体
C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生
3．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数
C．2023年高考数学难题 D．所有无理数
知识点二 集合与元素的关系
【例2-1】已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式】
1．下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
2．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用符号“”或“”填空：
（1）若，则-1 A；
（2）若，则3 B；
（3）若，则8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
知识点三 集合的表示方法
【例3-1】用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【例3-2】用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【变式】
1．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)抛物线上的点组成的集合．
(7)方程的解集；
(8)；
(9)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(10)不等式的解集．
知识点四 集合相等
【例4-1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例4-2】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【变式】
1．（多选）下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．已知，若，则实数的值为 ．
重难点一 集合的互异性
【例5-1】已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【例5-2】已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
【例5-3】已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】已知集合．
(1)若A是没有元素，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
【变式】
1．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合.
(1)若A是没有元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
单选题
1．下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20的偶数 B．π的近似值
C．方程的实数根 D．最小的正整数
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
4．集合中实数的取值范围是(　　)
A．或 B．且 C．或 D．且
5．下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合中最小的数是1；②若，则；
③若，则的最小值是2；④的解集是.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
7、设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1 B． C． D．与的取值有关
多选题
9．已知集合，，则a的值为（ ）.
A． B． C．1 D．
10．若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
11． 若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
12．已知集合，若，则实数 .
13．已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
14．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
解答题
15．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；
(2)所有奇数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
(4)；
(5)不大于10的非负奇数集；
(6)且；
(7)且，；
(8)；
(9)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
16．已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
17．已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
18．已知，．
(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；
(2)判断是否在集合B中，并说明理由；
(3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由．
19．已知数集含有（）个元素，定义集合．
(1)若，写出；
(2)写出一个集合，使得；
(3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由．1.1 集合的概念
知识点一 集合概念的理解
【例1】下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；
对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；
对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；
对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；
故选：B
【变式】
1．下列叙述能组成集合的是（　　）
A．接近0的数 B．数学成绩好的同学
C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员
【答案】C
【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误；
对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确.故选：C.
2．下列对象能构成集合的是（ ）
A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体
C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生
【答案】C
【解析】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；
对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；
对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合；
对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.
故选：C.
3．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数
C．2023年高考数学难题 D．所有无理数
【答案】C
【解析】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合；
对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合；
对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合；
对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合，
故选：C
知识点二 集合与元素的关系
【例2-1】已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程，解得或，所以，
所以，，.
故选：A.
【例2-2】已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以，故A正确；
当时，，所以，故B错误；
当或时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D错误.
故选：A
【变式】
1．下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；
在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.
故选：D.
2．给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】由于；；；，故①错误；②正确；③错误；④错误，
故选：A．
3．用符号“”或“”填空：
（1）若，则-1 A；
（2）若，则3 B；
（3）若，则8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
【答案】
【解析】（1），故；
（2），故；
（3），故；
（4），；
（5）
（6）因为2017不能被表示为的形式，所以；
（7）
知识点三 集合的表示方法
【例3-1】用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；
（2）
（3）
（4）
（5）由题意，
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋，
【例3-2】用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为，
则集合中的元素是数.
设代表元素为x，
则x满足，
所以，即．
（2）设被3除余2的数为x，
则．
又因为元素为正整数，
故．
所以被3除余2的正整数的集合
（3）设偶数为x，
则．
但元素是2，4，6，8，10，
所以．
所以．
（4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，
故第二象限内的点的集合为．
【变式】
1．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)抛物线上的点组成的集合．
(7)方程的解集；
(8)；
(9)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(10)不等式的解集．
【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【解析】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．
（2）．
（3）
（4）.
（5）.
（6）.
(7)
(8)
(9)
(10)
知识点四 集合相等
【例4-1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
【例4-2】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【解析】因为，且，所以，
则有，
所以，且，得，
所以，
故答案为：0
【变式】
1．（多选）下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【解析】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
2．）已知，若，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】题意知集合，
所以当时，得，所以，故满足；
当时，得，所以，故不满足；
当时，无解，故不满足；
综上，可得实数的值为.
故答案为：.
重难点一 集合的互异性
【例5-1】已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C.
【例5-2】已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
【答案】B
【解析】由，
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；
若，即，则不符合集合元素的互异性.
故.
故选：B.
【例5-3】已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得且，解得．故选：A
【例5-4】已知集合．
(1)若A是没有元素，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，集合，当时，集合；
(3)
【解析】（1）解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范围为：；
（2）：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所述，当时，集合，当时，集合；
（3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得，时中至少有一个元素，即.
故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为.
【变式】
1．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【解析】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
3．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，集合中的方程为，解得或，
，故选：C．
4．已知集合.
(1)若A是没有元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为
(3)
【解析】（1）A是空集，且，，解得，的取值范围为：；
（2）当时，集合，
当时，，，解得，此时集合，
综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为；
（3）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.
单选题
1．下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20的偶数
B．π的近似值
C．方程的实数根
D．最小的正整数
【答案】B
【解析】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合；
对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合；
对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合；
对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合，
故选：B
2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意.故选：D.
3．给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；
②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；
④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
【答案】D
【解析】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误；
对于②，集合仅有1个元素，故②正确；
对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误；
对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误.
故选：D.
4．集合中实数的取值范围是(　　)
A．或 B．且 C．或 D．且
【答案】D
【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且，
所以实数的取值范围为且.
故选：D.
5．下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合中最小的数是1；
②若，则；
③若，则的最小值是2；
④的解集是.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当时，，但，故②错误；
若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C
6．已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
【答案】D
【解析】由题意若，解得或，若，解得，
当时，满足题意，
当时，违背了集合中元素间的互异性，
当时，满足题意，
综上所述，a的值可能为，8.
故选：D.
7设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
8．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1 B． C． D．与的取值有关
【答案】A
【解析】由题意，若，，，，
，综上，集合.所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
多选题
9．已知集合，，则a的值为（ ）.
A． B． C．1 D．
【答案】BD
【解析】，集合，
得或或，
解得或或，
当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，，满足题意；
当时，，，，满足题意.
故选：BD.
10．若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【答案】BCD
【解析】因为集合中的元素具有互异性，所以，
所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形.故选：BCD
11． 若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD
填空题
12．已知集合，若，则实数 .
【答案】0
【解析】若，则，而，不满足集合元素的互异性；
若，则，故，满足题设，
所以.
故答案为：0
13．已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【解析】由题意知：中元素，即为的解，
∴或，可知：或
∴当时，；当时，，
∴或，故答案为：或
14．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或
【解析】由方程，则或，
当存在两个相等的实数根时，，解得，
此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.
故答案为：或.
解答题
15．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；
(2)所有奇数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
(4)；
(5)不大于10的非负奇数集；
(6)且；
(7)且，；
(8)；
(9)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【解析】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合.
（2）所有奇数组成的集合.
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合.
（4）.
（5）解：由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为.
（6）解：由集合且，可得，解得且，
当时，可得，满足题意；
当时，可得，不满足题意；
当时，可得，不满足题意；
当时，可得，满足题意；
当时，可得，满足题意；
当时，可得，满足题意，
所以集合且可表示为.
（7）解：由集合且，则满足且且，
所以，所以可表示为集合.
（8）解：由方程且，解得，
所以集合可表示为集合.
（9）解：由平面直角坐标系内，点到轴的距离为，到轴的距离为，
所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合，可表示为集合.
16．已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)的值为0或
(2)的值为
【解析】（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，，，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
17．已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)且
【解析】（1）若集合是空集，则，
解得.故实数的取值范围为.
（2）若集合是单元素集，则
①当时，即时，，满足题意；
②当，即时，，解得，
此时.
综上所述，或.
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.
当中有0个元素时，由(1)知；
当中有2个元素时，解得且.
综上所述，实数的取值范围为且.
18．已知，．
(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；
(2)判断是否在集合B中，并说明理由；
(3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由．
【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析
(2)在集合B中，理由见解析
(3)属于集合，理由见解析
【解析】（1）∵，∴3在集合A中，
令，则，故5不在集合A中.
（2），且，故在集合B中.
（3）设，，
则，
所以属于集合.
19．已知数集含有（）个元素，定义集合．
(1)若，写出；
(2)写出一个集合，使得；
(3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析.
【解析】（1）因为，，
所以为中元素，
故.
（2）取，此时，
满足.
（3）当时，不存在集合，使得.
（反证法）
假设时，存在集合，使得，
不妨设，且，
则，
所以为中7个不同的元素，
所以，
由解得.
此时，与矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合.

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