资源简介 1.2 集合间的关系知识点一 集合的关系【例1-1】设集合，则下列表述正确的是（ ）A． B． C． D．【例1-2】已知集合，，则（ ）A． B．AB C．BA D．【例1-3】设集合，则下列选项中正确的是（ ）A． B． C． D．【变式】1．已知集合，则有（ ）A． B． C． D．2．已知集合，则（ ）A． B． C． D． 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4知识点二 空集【例2-1】下列四个集合中是空集的是（ ）A． B． C． D．【例2-2】下列关于0与说法不正确的是（ ）A． B． C． D．【例2-3】已知空集，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【变式】1．下列关于空集的说法中，错误的是（ ）A． B． C． D．2．下列四个关系式中正确的个数是（ ）（1） ；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．43．下列四个说法中，正确的有（ ）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．已知集合，则实数k的取值范围是 .知识点三 （真）子集的个数【例3-1】若集合，则集合的子集共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【例3-2】集合的一个真子集可以为（ ）A． B． C． D．【例3-3】已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【例3-4】已知集合 ，则满足条件的集合的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式】1．设集合，则集合A的真子集个数为（ ）A．7个 B．8个 C．16个 D．15个2．已知集合，则满足的集合C的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．53．已知集合满足 ，则集合的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．44．（多选）已知集合，，集合满足 ，则（ ）A．， B．集合可以为C．集合的个数为7 D．集合的个数为8知识点四 韦恩图【例4】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）A． B． C． D． 【变式】1．下列能正确表示集合和关系的是（ ）A．B．C．D．2．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）A． B． C． D．重难点一 已知集合的关系求参数【例5-1】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.A．2 B．4 C．7 D．8【例5-2】已知集合，集合，若，则（ ）A． B．0 C．1 D．2【例5-3】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【例5-4】已知，若，求实数a的值【变式】1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）A． B． C． D．2．若集合，若，则（ ）A．1 B． C．或1 D．3．已知集合，，若，则（ ）A．0 B．4 C．16 D．16或04．已知集合，若，则的值可以为（ ）A．1 B．0 C．0或1 D．1或25．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．6．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．7．已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.8．已知集合，求：(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.单选题1．已知集合，则（ ）A． B． C． D．2．以下五个式子中，错误的个数为（ ）①；②；③；④；⑤.A．5 B．2 C．3 D．43．已知集合满足 ，这样的集合有（ ）个A．6 B．7 C．8 D．94．设集合，，若，则（ ）A．0 B．1 C． D．5．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（ ）A．8 B．7 C．6 D．46．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．67．非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（ ）．A．13个 B．14个 C．15个 D．16个8．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个．A．2 B．4 C．8 D．16多选题9．若集合，且，则实数的取值为（ ）A． B． C．0 D．210．已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．A． B． C．0 D．11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若 ，则或或填空题12．集合满足 ，则满足条件的集合的个数为 .13．若集合，则实数a的值的集合为 ．14．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ．解答题15．已知集合.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.16．已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围17．已知集合．(1)若，为常数，求实数m的取值范围．(2)若，为常数，求实数m的取值范围．(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．18．已知全集，集合．(1)若b＝4时，存在集合M使得A M B，求出所有这样的集合M；(2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．19．已知集合为非空数集，定义：(1)若集合，请直接写出集合：(2)若集合，且，求证：；1.2 集合间的关系知识点一 集合的关系【例1-1】设集合，则下列表述正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】】,所以，，，故ABD错误,C正确,故选：C【例1-2】已知集合，，则（ ）A． B．AB C．BA D．【答案】C【解析】，故BA.故选：C【例1-3】设集合，则下列选项中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意， 在中，，，∴，∴ ，【变式】1．已知集合，则有（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，，从而 ，不是的子集.2．已知集合，则（ ）A． B．C． D． 【答案】B【解析】因为，则，，，B对，ACD错.故选：B．3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，中包括0；②错误，中没有任何元素；③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；由③可知，④正确；⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素；⑥正确，有理数中包括整数.故选：B知识点二 空集【例2-1】下列四个集合中是空集的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，对于B,方程无实数解，∴集合为空集，对于C，是无限集，所以不是空集，对于D, ，不是空集.故选：B．【例2-2】列关于0与说法不正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C.【例2-3】已知空集，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，二次方程无解，故，解得.故选：D【变式】1．下列关于空集的说法中，错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误；对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确；对于C，因为是集合中的元素，故C正确.故选：A.2．下列四个关系式中正确的个数是（ ）（1） ；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1） 正确；对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误；对于（3），，所以错误；对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确．所以正确的有：（1），（4）共2个．故选：B．3．下列四个说法中，正确的有（ ）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A.4．已知集合，则实数k的取值范围是 .【答案】【解析】∵，∴，解得，因此实数k的取值范围是.故答案为：.知识点三 （真）子集的个数【例3-1】若集合，则集合的子集共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4个.故选：C.【例3-2】集合的一个真子集可以为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.【例3-3】已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】因为，所以可以是，共8个，故选：D【例3-4】已知集合 ，则满足条件的集合的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由可得且，根据为的真子集，可得或或，故满足条件的集合的个数为3.故选：A【变式】1．设集合，则集合A的真子集个数为（ ）A．7个 B．8个 C．16个 D．15个【答案】D【解析】由和可得，所以集合A的真子集个数为个.故选：D2．已知集合，则满足的集合C的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由题知因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，即集合的子集个数为个.故选：C.3．已知集合满足 ，则集合的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题可知，集合可以为：共3个，故选：C.4．（多选）已知集合，，集合满足 ，则（ ）A．， B．集合可以为C．集合的个数为7 D．集合的个数为8【答案】AC【解析】由题意得，，又 .所以，，故A正确；当时，不满足 ，B错误，集合的个数等价于集合的非空子集的个数，所以集合的个数为，故C正确，D错误，故选：AC.知识点四 韦恩图【例4】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】，又，所以 ，选项B符合，故选：B.【变式】1．下列能正确表示集合和关系的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】易知，显然，且互不包含.故选：A2．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，即，所以，即.故选：B重难点一 已知集合的关系求参数【例5-1】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】当时，，满足，当时，，因为，所以或，得或，综上，实数取值的集合为，所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C【例5-2】已知集合，集合，若，则（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】集合，集合，若，又，所以，解得故选：B【例5-3】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，若，则，故实数a的取值范围是.故选：B.【例5-4】已知，若，求实数a的值.【答案】1或4【解析】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.【变式】1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，,故当时，易求；当时，由得，或2.综上得：故选:C．2．若集合，若，则（ ）A．1 B． C．或1 D．【答案】C【解析】当时，，此时满足.当时，，此时满足，故选:C.3．已知集合，，若，则（ ）A．0 B．4 C．16 D．16或0【答案】D【解析】由题意集合，，若，则（互异性）即，所以或，解得或0.故选：D.4．已知集合，若，则的值可以为（ ）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【答案】A【解析】对于集合，由元素的互异性知且，则．由得．若，则，满足；若，则，矛盾，舍去．故选：A5．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，又，则，所以实数a的取值范围是.故选：B6．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，得，又，所以.故选：A.7．已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.8．已知集合，求：(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根所以，故；（2）由题意得或只有负根，当时，，故，当只有负根时，，无解，综上，实数的取值范围为.单选题1．已知集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；但，故CD错误.故选：B2．以下五个式子中，错误的个数为（ ）①；②；③；④；⑤.A．5 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误；对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确；对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确；对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误，综上，五个式子中错误的个数为3个.故选：C3．已知集合满足 ，这样的集合有（ ）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由 得且不全部是的元素，令 ，则，所以集合个数等于集合的个数，即的真子集个数，为个，故选：B.4．设集合，，若，则（ ）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以或，解得或或，当时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；当时集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去；当时集合、，满足，符合题意.故选：C5．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（ ）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】C【解析】根据题意，当时，集合，集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C6．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C7．非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（ ）．A．13个 B．14个 C．15个 D．16个【答案】C【解析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空，则可以为：，，，，，，，，，，，，，，所以共有（个）．故选：C.8．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】因为，，所以，所以，有两个元素，则的子集个数是个．故选：B．多选题9．若集合，且，则实数的取值为（ ）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【解析】因为，解得，则．当时，方程无解，则；当时，方程有解，则且，因为，所以，若，即若，即．综上所述，时，的值为．故选：ABC．10．已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．A． B． C．0 D．【答案】BCD【解析】由方程，解得或，即，当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；当时，由，可得 此时，要使得，可得或，解得或.综上可得，实数的值为或或.故选：BCD.11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若 ，则或或【答案】ABC【解析】依题意可得，对于A，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，当时，则，解得或，故C正确；对于D，当时，，故D错误．故选：ABC．填空题12．集合满足 ，则满足条件的集合的个数为 .【答案】7【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合，所以满足条件的集合为，共7个，所以满足条件的集合的个数为7，故答案为：7.13．若集合，则实数a的值的集合为 ．【答案】【解析】当时，满足题意；当时，应满足，解得；综上可知，a的值的集合为．故答案为：．14．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】因为，所以，解得.故答案为：解答题15．已知集合.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，所以中没有元素，即，所以的取值范围为.（2）因为，，由（1）知，当时，，此时满足；当时，则；所以的取值范围为.16．已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围【答案】(1)0或(2)(3)【解析】（1）若时，，符合题意；当时，可知方程为一元二次方程，则，解得；综上所述：或.（2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，若A中有一个，由（1）可知：或；若，则，解得；综上所述：a的取值范围为.（3）因为，则有：若，由（2）可知：；若，则有：若时，由（1）可知，符合题意；当时，则，解得；综上所述：a的取值范围为.17．已知集合．(1)若，为常数，求实数m的取值范围．(2)若，为常数，求实数m的取值范围．(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【解析】（1）①若，满足，则，解得．②若，满足，则解得．由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．（2）若，数轴表示如下：依题意有即此时m的取值范围是．（3）假设存在满足题意的实数m．若，则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．18．已知全集，集合．(1)若b＝4时，存在集合M使得A M B，求出所有这样的集合M；(2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)能，.【解析】（1）解：当时，可得，因为，所以，又由，又因为A M B，所以这样的集合M共有如下6个：.（2）解：能；由，可得，若时，此时满足是的一个子集，此时，解得；若时，由（1）知，当时，，此时，此时不是的一个子集；当时，，此时，此时是的一个子集；当时，，此时，此时是的一个子集，综上可得，当或时，满足，此时实数的取值范围为.19．已知集合为非空数集，定义：(1)若集合，请直接写出集合：(2)若集合，且，求证：；【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）解：因为，，所以；（2）证明：由，得，则可取，又因为，所以，剩下的元素满足，所以. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.2 集合间的基本关系（原卷版）-【基础与重难点】2026-2027学年高一数学上学期必修第一册（人教A版2019）.docx 1.2 集合间的基本关系（解析版）-【基础与重难点】2026-2027学年高一数学上学期必修第一册（人教A版2019）.docx
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