资源简介

1.3 集合的基本运算
知识点一 交集
【例1-1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
【例1-2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，，则.故选：A.
【变式】
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,,则,故选:D.
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，所以.故选：A.
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，将集合中的元素代入中，可得.故选：D
4．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题得，则．故选：C.
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直接计算知，，.
故中的三个元素中，在集合内的是和，所以.
故选：A.
知识点二 并集
【例2-1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A．
【例2-2】已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，，所以，故选：A.
【变式】
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得，即，，.故选：C.
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由集合，，得.故选：D.
3．已知集合，，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，，则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，对比选项可知，只有C正确.故选：C
知识点三 补集
【例3-1】已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，所以.故选：D
【例3-2】已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A.
【变式】
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C.
2．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，，所以.故选：B.
3．设全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，全集，则，，
得，所以.故选：B
知识点四 交并补的综合运用
【例4-1】已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，∴，则．故选：B．
【例4-2】设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，由题意得，所以．故A正确；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，，或，故C错误；
对于D，或，或，故D错误.
故选：A.
【变式】
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合，，∴，又＝{0,1}，
∴()∩N＝{0,1}．故选：C．
2．设全集，集合M、N满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，故，
又，故，，
A选项，由题意得交集，并集和，故A错误；
B选项，由于，故，B错误；
C选项，由于，故，C错误；
D选项，由于，故，且，
又，故.
故选：D
3、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得：，，，
或，或，所以，故A错误；
或，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D.
4．设全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以或，因为，所以.故选：D.
知识点五 韦恩图表示集合的运算
【例5-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为.
因为集合，
所以，
则，
所以阴影部分表示的集合的子集个数为.
故选：B.
【例5-2】如图表示图形阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素
故可以表示为，也可以表示为：.
故选：B．
【变式】
1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，
而，，则，
得，故所求集合为.故选：C.
2．已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以图中阴影部分表示的集合或.
故选：D
3．若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵全集是实数集，集合，∴，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.故选：A.
重难点一 交集求参数
【例6-1】设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，若，则，即集合，所以.
故选：A
【例6-2】已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由中有2个元素可知：，，，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：A.
【变式】
1．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，所以，，则，，，.
故选：A.
2．已知集合，若，则实数（ ）
A．-1或2 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】因为，则，
若，解得，此时，
根据集合中元素的互异性，不合题意；
若，即，
解得或，若，此时，
不合题意；当时成立.
故选：D.
3．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，，
所以，解得或，
即.
故选：B.
4．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，又且，
故，即的取值范围为.
故选：D.
5．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中，
所以，即的取值范围是.故选：B.
重难点二 并集求参数
【例7-1】已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为中恰有三个元素，所以或或，
结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.
故选：D．
【例7-2】设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为或，，且，所以，解得，
即实数的取值范围为.故选：B．
【例7-3】（多选）设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【答案】ABD
【解析】，因为，所以，所以或或或，
若，则；若，则；若，则；若，无解．故选：ABD
【变式】
1．（多选）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】ABD
【解析】，
因为，所以，
当时，，
当时，，
则或，所以或，
综上所述，或或.
故选：ABD.
2．集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由数轴可知，当时满足题意，
即的取值范围为.
故选：B
3．已知集合．若，则实数 ．
【答案】
【解析】因为，故4必定在中，
当时，解得或，而此时有或，
解得或，故此时，
当时，解得，此时，不满足，故排除，
综上，即实数的值为.
故答案为：
重难点三 已知补集求参
【例8-1】已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由集合，，因为，可得.故选：C.
【变式】
1．设全集，集合，则（ ）
A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】已知，由补集概念知，，由集合中元素的互异性知，，
又全集，因为，且所以， 则解得．故选：D.
2．设全集，且，若，则m的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．不存在
【答案】A
【解析】由全集，，得，
即1，4是方程的两个根，于是，解得，所以m的值等于4.故选：A
3．已知全集，集合，，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】由集合，可得，解得，
又由且，可得，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为.故答案为：.
重难点四 集合综合运算求参数
【例9-1】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，因为，所以，所以，故选：A.
【例9-2】已知集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)254(2){m|m≤3}(3){m|m<2或m>4}
【解析】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
（2）（2）因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；
当B≠ 时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（3）（3）当B＝ 时，由（1）知m<2；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
【变式】
1．已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）因为，所以，，
所以，
（2）由得，得解得，
所以，故实数的取值范围为
2．已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）集合，，，
则由交集的定义可知，且，解得.
（2）当，即时，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，或，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
3．设集合，，．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】（1）或，即或
当，即时，，此时不成立，舍去
当，即时，方程的两根为，
若使得成立，则需或，
即或，解得.
则成立时，或
综上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，则，
当，即时，成立
当，即时，，若使得成立，
则需满足，即，解得（舍去）
综上所述.
单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，所以.
故选：B.
2．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合，，，，故选：D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，或.
可得，故B错误；
可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误；
可得，故D正确.
故选：D.
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误，
对于B，或，所以，故B错误，
对于C，，但，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选：D
5 ．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，
因为，，，
所以，则.
故选：A．
6 ．设集合，，若， 则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】当时，，则，
即此时，，不符合要求；
当时，，则，
即此时，，符合要求；
故.
故选：B.
7．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以或，
又，所以.
故选：A
8．已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】由，得到
分两种情况考虑：
①当，即时，，符合题意；
②当，即时，需，
解得：，综上得：，则实数的取值范围为.
故选：A
多选题
9．已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】由可得，.
当时，满足，此时；
当时，，
解可得，.
因为，所以或.
当时，；
当时，.
综上所述，或或.
故选：BCD.
10．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为集合，
可得，，且，
对于A中，由，，可得，
所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中， 由，，所以，所以D正确.
故选：ACD.
11．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于选项A和B，，，
若，则的取值范围是，所以A错误，B正确；
对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误.
故选：BD.
填空题
12．设集合，，，若，则 ， ．
【答案】 1
【解析】因为，则，
注意到，可得 ，解得.
故答案为：1；.
13．已知集合，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，则，
故有，解得，即.
故答案为：.
14．已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为中只有2个元素，则，所以.故选：B
四．解答题
15．已知全集，集合，.
(1)求；
(2)若，且，求a的值；
(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【解析】（1）由题意知，，
故；
（2）由，且，可得若，则，不合题意；
若，则，又，故；
（3）由于，
集合，C的真子集共有3个，
则C中必有2个元素，故.
16．已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】】（1）因为，所以，
又因为，所以．
（2）若选①：则满足或，
所以的取值范围为或．
若选②：所以或，
则满足，所以的取值范围为．
若选③： 由题意得，
则满足
所以的取值范围为
17．设全集, 集合，.
(1)若是非空集合，求实数的取值范围：
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为是非空集合，
所以方程有实数根，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，，
所以，，且，，
所以，解得，，
所以，，
所以.
18．已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知：；
因为，故；
①当，即时，满足，此时；
②当，若，则，解得；
综上所述：m的取值范围为
（2）因为，且，故，即，
解得，则，；
①当，即时，；
故，解得；
②当，即时，；
故，解得；
③当，即时，，不合题意；
综上所述，m的取值范围为.
19．已知集合，．
（1）若，且，求实数及的值；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）因为，即，解得或，
所以集合或，
因为，，所以集合，
因为集合，
所以和是方程的解，
则，解得，.
（2）因为，，
所以，即，解得，
故不等式组没有实数解即没有实数解，
故，实数的取值范围为.
（3）因为，所以和是方程的解，
则，解得，，
即，
因为的解集为，
所以若，则，解得，
若，即，解集为，
综上所述，实数的取值范围为.1.3 集合的基本运算
知识点一 交集
【例1-1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点二 并集
【例2-1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点三 补集
【例3-1】已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
知识点四 交并补的综合运用
【例4-1】已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
【例4-2】设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设全集，集合M、N满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设全集，则（ ）
A． B． C． D．
知识点五 韦恩图表示集合的运算
【例5-1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【例5-2】如图表示图形阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）

A． B．
C． D．
2．已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．或
3．若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
重难点一 交集求参数
【例6-1】设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数（ ）
A．-1或2 B．1 C． D．2
3．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点二 并集求参数
【例7-1】已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例7-3】（多选）设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【变式】
1．（多选）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合．若，则实数 ．
重难点三 已知补集求参
【例8-1】已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】
1．设全集，集合，则（ ）
A．3 B． C．4 D．2
2．设全集，且，若，则m的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．不存在
3．已知全集，集合，，则实数的值为 ．
重难点四 集合综合运算求参数
【例9-1】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】已知集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围.
【变式】
1．已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
2．已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
3．设集合，，．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5 ．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
6 ．设集合，，若， 则（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
多选题
9．已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
10．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
填空题
12．设集合，，，若，则 ， ．
13．已知集合，，若，则的取值范围是 .
14．已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四．解答题
15．已知全集，集合，.
(1)求；
(2)若，且，求a的值；
(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.
16．已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
17．设全集, 集合，.
(1)若是非空集合，求实数的取值范围：
(2)若，，求.
18．已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
19．已知集合，．
（1）若，且，求实数及的值；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．

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