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1.4 充分条件与必要条件
知识点一 命题及真假的判断
【例1】下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？
(1)个位数是5的自然数能被5整除；
(2)凡直角三角形都相似；
(3)上课请不要讲话；
(4)若两个角互为补角，则这两个角不相等；
(5)你是高一学生吗？
(6).
【变式】
1．下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
2．下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
3．下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④
4．判断下列语句是不是命题，并说明理由.
(1)是有理数；
(2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
(3)；
(4)梯形是不是平面图形呢？
(5)，；
(6)请勿喧哗；
(7).
知识点二 充分条件的判断
【例2-1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似.
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(4)
(5)若，则.
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数.
【例2-2】使不等式成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（多选）使成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
知识点三 必要条件的判断
【例3-1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等.
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例.
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形.
(4)若，则
(5)若为无理数，则x，y为无理数
【例3-2】下列哪一项是“”的必要条件（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc．
知识点四 充分必要条件的判断
【例4-1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4-2】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式】
1．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
重难点一 求参
【例5-1】
(1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)若是的充分条件，求m的取值范围
(3)若=，求m的取值范围
【变式】
1．已知集合，或，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
2．已知集合．
(1)求．
(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答．
3．设全集，集合，集合，
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
单选题
1．已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
2．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、使或}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
6．设，不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
8已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值不可以是（ ）
A． B． C．- D．0
多选题
9．下列句子中是命题的是（ ）
A．三边对应相等的两个三角形全等
B．如果，则
C．对于任意数，不能被3整除
D．八月的桂花真香啊
10．下列命题是真命题的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
11．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
12．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 .
13．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
解答题
15．已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
17．已知非空集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知，.
(1)若时，求，；
(2)是否存在a值使是成立的充分不必要条件，若存在求出a的取值范围，不存在说明理由.
(3)若，求a的取值范围.
19．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.问题：
已知集合.
(1)当时，求；
(2)若__________，求实数的取值范围.1.4 充分条件与必要条件
知识点一 命题及真假的判断
【例1】下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？
(1)个位数是5的自然数能被5整除；
(2)凡直角三角形都相似；
(3)上课请不要讲话；
(4)若两个角互为补角，则这两个角不相等；
(5)你是高一学生吗？
(6).
【答案】(1)真命题，原因见解析
(2)假命题，原因见解析
(3)不是命题（祈使句）
(4)假命题，原因见解析
(5)不是命题（一般疑问句）
(6)不是命题（无法判断真假）
【解析】（1）是命题，并且是真命题．
这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而，
所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题；
（2）是命题，并且是假命题.
取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题；
（3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题；
（4）是命题，并且是假命题，
取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题；
（5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题；
（6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题.
【变式】
1．下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
【答案】B
【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误；
对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确；
对于C：这是感叹句，不是命题，C错误；
对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，
故选：B
2．下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；
对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.
如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；
对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；
对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题．
故选：A.
3．下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【解析】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；
②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；
③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题；
④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，
故选：B
4．判断下列语句是不是命题，并说明理由.
(1)是有理数；
(2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
(3)；
(4)梯形是不是平面图形呢？
(5)，；
(6)请勿喧哗；
(7).
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)是，理由见解析；
(3)不是，理由见解析；
(4)不是，理由见解析；
(5)是，理由见解析；
(6)不是，理由见解析；
(7)是，理由见解析
【解析】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题；
（2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题；
（3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题；
（4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题；
（5）因为“，”中，所以“”是真的，所以它是命题；
（6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题；
（7）“”是假的，所以它是命题.
知识点二 充分条件的判断
【例2-1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似.
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(4)
(5)若，则.
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数.
【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是(5)是(6)不是
【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件.
（4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件.
（5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件.
（6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件.
【例2-2】使不等式成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，即，因为，
所以使不等式成立的一个充分条件是，而其他选项皆不满足.故选：A.
【例2-3】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以且，解得，故选：C
【变式】
1．（多选）使成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确；
而不能推出，更不能推出，故C、D错误.
故选：AB.
2．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因为的充分条件是，所以，则，
故选：B.
3．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，因为“”的充分条件是“”，所以，即，解得，
即实数a的取值范围为.故选：B
4．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
【答案】(1)是充分条件
(2)是充分条件
(3)不是充分条件
(4)是充分条件
【解析】（1）菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件；
（2）矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件；
（4）菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件．
知识点三 必要条件的判断
【例3-1】下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等.
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例.
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形.
(4)若，则
(5)若为无理数，则x，y为无理数
【答案】(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)不是
【解析】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件.
（2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件.
（3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件.
（4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件.
（5）由于为无理数，但不全是无理数，可得，
所以 q不是p的必要条件.
【例3-2】下列哪一项是“”的必要条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】“”的必要条件不等式范围包含“”，选项中仅有满足.故选：D
【变式】
1．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因此只有B是其必要条件．故选：B．
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”，
所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件.
故选：A
3．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc．
【答案】(1)是(2)不是(3)是(4)不是
【解析】（1）∵两个三角形全等 两个三角形相似，即q p．
∴p是q的必要条件．
（2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp．
∴p不是q的必要条件．
（3）∵A∩B＝A A B，即q p，
∴p是q的必要条件．
（4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp，
∴p不是q的必要条件．
知识点四 充分必要条件的判断
【例4-1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
所以是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【例4-2】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以.
故选：D.
【例4-3】常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，
所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式】
1．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以是的充分而不必要条件.故选：A.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，
则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
3．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，则；
反之，当时，或，解得或，
若，，满足，若，显然满足，
因此或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
4．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
重难点一 求参
【例5-1】
(1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)若是的充分条件，求m的取值范围
(3)若=，求m的取值范围
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)
【解析】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则，
得，解得，无解，
故不存在这样的m符合题意；
（2）若是的充分条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，，即实数m的取值范围为；
（3）若，
当时，，解得；
当即即时，
或，所以，
综上，或，即实数m的取值范围为；
【变式】
1．已知集合，或，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由不等式，解得，则，
或，，则，解得，
即实数的取值范围为.
（2）或，，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又由题意知，所以是的非空真子集，，
解得，所以实数的取值范围为.
2．已知集合．
(1)求．
(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）因为，，
所以，所以或.
（2）选①，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选②，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选③，“”是“”的充分不必要条件，所以，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，.
3．设全集，集合，集合，
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）若，
当时，有，即；
当时，有或，
解得或，
综上所述，若，则实数的取值范围为，
所以当时，实数的取值范围为.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以 ，
当时，显然成立，即；
当时，有或，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
单选题
1．已知，且是的充分条件，则实数可以是（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
若是的充分条件，则当且仅当，
对比选项可知实数可以是3.
故选：A.
2．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当时，满足，但命题不成立；
对于C，D，当时，满足，，但命题不成立.
故选：B.
3．暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“小西购买了一件暖色调大衣”可以是红色橙色、黄色、水粉色等，不一定是红色，故不满足充分性；
“小西购买了一件红色大衣”一定可以得出“小西购买的是一件暖色调大衣”，故满足必要性.
故选：B.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，而推不出，例如满足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5使或}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】对于A，因为或或，故错误；
对于B，因为或 或，故正确；
对于C，因为或 或，故错误；
对于D，因为不是或的真子集，故错误.
故选：B.
6．设，不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
因为，，与无包含关系，
所以不等式的一个必要不充分条件可以是B项.
故选：B.
7．若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】由已知，为实数，条件为，结论为，
充分性，若，则成立，所以满足充分性；
必要性，若时，当，时，满足；当，时，不满足；当，时，，所以不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
8已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值不可以是（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】A
【解析】设，,
因为p是q的必要条件，所以，
当时，由无解可得，符合题意；
当时，或，当时，由解得，
当时，由解得.
综上，的取值为0，，.
多选题
9．下列句子中是命题的是（ ）
A．三边对应相等的两个三角形全等
B．如果，则
C．对于任意数，不能被3整除
D．八月的桂花真香啊
E．
【答案】ABC
【解析】下列句子中是命题的是（ ）
对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题；
对于B，如果，则，是命题；
对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题；
对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题；
对于E，，不能判断真假，所以不是命题，
故选：ABC.
10．下列命题是真命题的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
【答案】AC
【解析】∵x＞3 x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题；
∵x＝2 x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题；
∵A∩B＝B A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题；
∵ac＞bc，c<0时，a故选：AC.
11．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，，若“”是真命题，
当时，则，即，解得或，
当时，则由题意可得方程有两个非负实数根，
所以，解得，
综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，
故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意.
故选：BCD
填空题
12．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为是的必要条件，所以是的子集，
故，解得，
故答案为：
13．已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，
且，
所以由题意可得 ，
所以，，且等号不同时成立，
所以解得，即实数m的取值范围是．
故答案为：.
解答题
15．已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）解：当时，集合，
因为集合或，所以或.
（2）解：由集合或，可得，
因为，且 “”是“”充分不必要条件，
可得 ，则，解得，即实数的取值范围是.
16．已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵是的必要不充分条件，
∴是A的真子集.
①当时，，
②当时，∴，解得.
∴实数的取值范围为.
（2）由，
则①当时，，
②当时，可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
17．已知非空集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，
故，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
18．已知，.
(1)若时，求，；
(2)是否存在a值使是成立的充分不必要条件，若存在求出a的取值范围，不存在说明理由.
(3)若，求a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)不存在
(3)
【解析】（1）当时，，
则，
，则
（2）依题知 ，则且等号不能同时取得，则，无解，
所以不存在a值使是成立的充分不必要条件；
（3）因为，则
当时，，解得，
当时，即时，
有，解得，即；
综上，.
19．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.问题：
已知集合.
(1)当时，求；
(2)若__________，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】（1）当时，集合，
可得或，
所以；
（2）若选择①，
则或，
解得或，所以可得；
所以实数的取值范围是.
若选择②，
“”是“”的充分不必要条件，则 ，
因为，
当时，，即；
当时，所以可得，即；
综上可知，实数的取值范围是.
若选择③，
，因为，
时，，即；此时满足；
时，或，解得
综上可知，实数的取值范围是或.

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