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1.5 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【例1】指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．
(1)所有实数都能使成立；
(2)对所有实数，，方程恰有一个解；
(3)存在整数，，使得成立；
(4)存在实数，使得与的倒数之和等于1．
【答案】(1)“所有”是全称量词；，
(2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解
(3)“存在”是存在量词；，，
(4)“存在”是存在量词；，
【解析】（1）“所有”是全称量词；，；
（2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解；
（3）“存在”是存在量词；，，；
（4）“存在”是存在量词；，．
【变式】
1．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0.
【答案】（1）全称命题； m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题； 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题； 一个三角形没有外接圆；（4）全称命题； x∈R，x2≥0.
【解析】（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为： m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为： 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为： 一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为： x∈R，x2≥0.
2．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【答案】(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
(4)全称量词命题
【解析】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题；
（2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题；
（3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题；
（4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.
3．用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（1）任意实数都有，；
（2）存在实数，；
（3）存在一对实数、，使成立；
（4）有理数的平方仍为有理数；
（5）实数的平方大于：
（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析.
【解析】（1）命题为：，假命题，当时，结论不成立；
（2）命题为：，假命题，
对任意的，；
（3）命题为：、，，真命题，如，，则；
（4）命题为：，，真命题；
（5）命题为：，，假命题，当时，命题不成立；
（6）命题为：，，有，真命题，即满足．
知识点二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断真假.
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数.
【答案】（1） x∈R，x2+x+1＞0；真命题；（2） a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解；假命题；（3） x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命题；（4） x∈Q，x2x+1是有理数；真命题.
【解析】对于（1），所有实数x都能使x2+x+1＞0成立，改写为： x∈R，x2+x+1＞0，
因为判别式＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命题；
对于（2），对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解，改写为： a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解，因为a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）是假命题；
对于（3），一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改写为： x，y∈Z，3x﹣2y＝10，
因为x＝4，y＝1时，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命题；
对于（4），所有的有理数x都能使x2x+1是有理数，改写为： x∈Q，x2x+1是有理数，因为、、1和x都是有理数，所以x2x+1是有理数，（4）是真命题.
【变式】
1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．，
C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，
例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；
对于B，易知“，”是全称量词命题，
且由可得，所以是真命题，即B正确；
对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意；
对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；
故选：B
2．（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A． B．
C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数
【答案】CD
【解析】对于A，命题是全称量词命题，故A错误；
对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误；
对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确；
对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确．
故选：CD．
3．（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（ ）
A．存在实数，使
B．有一个无理数，它的立方是有理数
C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数
D．每个三角形的内角和都是
【答案】AB
【解析】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确；
B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确；
C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确；
D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确.
故选：AB.
知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定
【例3-1】命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，．
故选：D
【例3-2】已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：命题的否定为：为．故选：C．
【变式】
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定为“”.
故选：B.
2．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题的否定是“”.故选：D.
3．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，
所以命题，的否定是，.
故选：A
重难点一 根据量词求参数
【例4-1】若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“”是真命题，
则当时，不等式为对恒成立；
当时，要使得不等式恒成立，则，解得
综上，的取值范围为.故选：D.
【例4-2】已知集合，，且．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由于是真命题，所以．
而，所以，解得，故的取值范围为．
（2）因为，所以，解得．
由为真命题，得，
当时，或，解得．
因为，所以当时，；
所以当时，．故的取值范围为．
【变式】
1．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
2．已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
3．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若，满足，此时，即，
当时，要使，则，即，即，
综上实数的取值范围为.
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于，
若时，
当，满足，此时，即，
当时，，
若，则满足或，
即或，
综上若，得或，
则当时，即实数的取值范围是.
单选题
1．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D．，
【答案】C
【解析】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题；
B中，该命题是存在量词命题且是真命题；
C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题；
D中，该命题是存在量词命题且是假命题.
故选：C.
2．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若“”为真命题，则A错误，
又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误，
则集合可以是.
故选：C
3．“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，恒成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得，
所以“，恒成立”是“”的充要条件.
故选：C
4．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解，
所以.
故选：D
5．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题为“，”且为真命题
B．命题为“，”且为假命题
C．命题为“，”且为假命题
D．命题为“，”且为真命题
【答案】C
【解析】命题的否定为特称命题，：，，
当时，，为假命题，ABD错误，C正确.故选：C.
6已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题为真命题则，，，即.
又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D.
7已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题，是假命题，
，恒成立是真命题；
当时，恒成立，
当时，需，，解得，
当时，，不可能满足恒成立，
综上可得a的取值范围为.
8命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题“，”为假命题，
即命题“，”为真命题，
则，解得，
对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误；
对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确；
对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误.
故选：C.
多选题
9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对任意非正数c，若，则
C．有些菱形不是平行四边形
D．对任意实数x，不等式恒成立
【答案】ABD
【解析】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确；
B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确；
C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误；
D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题，
因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确.
故选：ABD
10．下列四个命题中是假命题的为（ ）
A．使 B．使
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A. 由可得，故不存在，使，A错误，
对于B，由得，故不存在，使，B错误，
对于C，当时，，故C错误，
对于D,由于，故，D正确，
故选：ABC
11．已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
填空题
12．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，，为真命题，故，解得，故实数的取值范围是.
故答案为：
13．下列哪些命题是真命题？
（1）是的充要条件
（2）
（3），使得
（4）若为无理数，则为无理数
【答案】（1）（2）（3）
【解析】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题；
对（2）当时，，，故（2）是真命题；
对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则，
令，则，故（3）为真命题；
对（4）取，，可以验证（4）是假命题.
故答案为：（1）（2）（3）
14．已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当命题为真命题时，，
当命题为真命题时，，即，
所以与同时为真命题时有，解得，
故与不同时为真命题时，的取值范围是．
故答案为：
解答题
15．已知集合，．
(1)时，求
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
时，=，
故=；
（2）若命题：“，”是真命题，则，
若，
若，解得，
综上得.
16．已知命题：“，使等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）由题意，方程在上有解，
令，只需在值域内，
当时，，当时，，
所以值域为，
的取值集合为；
（2）由题意，，显然不为空集.
①当，即时，，
， ；
②当，即时，，不合题意舍去；
③当，即时，.
， ；
综上可得或.
17．已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，所以，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是.
（2）因为“，使得”是真命题，所以，
当时，
若，成立，此时，解得；
若，则有或，解得，
所以时，的取值范围是或，
所以命题为真命题时的取值范围是.
18．已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为命题：，为假命题，
所以命题的否定为：，，为真命题，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
又，所以，解得，
所以实数的取值集合为．
19．已知命题“满足，使”，
(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.
(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.
【答案】(1)或；
(2)
【解析】（1）命题“满足，使”，为真命题时，
，令，则，
所以，
所以命题为假时，则或，
命题“”，为真命题时，
，解得或，
所以命题为假时，则，
又因为命题都为假命题时，，
即，
所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；
（2）由（1）可知：命题为真命题时，，
记
因为是的充分不必要条件，
所以 ，
当即，也即时，满足条件；
当时，
，解得；
综上可知：实数的范围是1.5 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【例1】指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．
(1)所有实数都能使成立；
(2)对所有实数，，方程恰有一个解；
(3)存在整数，，使得成立；
(4)存在实数，使得与的倒数之和等于1．
【变式】
1．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0.
2．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
3．用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（1）任意实数都有，；
（2）存在实数，；
（3）存在一对实数、，使成立；
（4）有理数的平方仍为有理数；
（5）实数的平方大于：
（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于．
知识点二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】用量词符号“ ”“ ”表述下列命题，并判断真假.
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数.
【变式】
1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．，
C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形
2．（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A． B．
C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数
3．（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（ ）
A．存在实数，使
B．有一个无理数，它的立方是有理数
C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数
D．每个三角形的内角和都是
知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定
【例3-1】命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例3-2】已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
重难点一 根据量词求参数
【例4-1】若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】已知集合，，且．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是真命题，求实数的取值范围．
【变式】
1．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
3．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
单选题
1．下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D．，
2．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
3．“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题为“，”且为真命题
B．命题为“，”且为假命题
C．命题为“，”且为假命题
D．命题为“，”且为真命题
6、已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7、已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8、命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对任意非正数c，若，则
C．有些菱形不是平行四边形
D．对任意实数x，不等式恒成立
10．下列四个命题中是假命题的为（ ）
A．使 B．使
C． D．
11．已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
填空题
12．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
13．下列哪些命题是真命题？
（1）是的充要条件
（2）
（3），使得
（4）若为无理数，则为无理数
14．已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 .
解答题
15．已知集合，．
(1)时，求
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围．
16．已知命题：“，使等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.
17．已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
18．）已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
19．已知命题“满足，使”，
(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.
(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.

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