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2.2 一元二次方程的解法
课时1
第二章 一元二次方程
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程。
2.理解配方法的基本思路。
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。
x +12x-15=0。
10 m
8 m
1 m
x m
思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗
问题 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程
x =4，
(x+1) =9等。
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
问题 (2)你会解下列一元二次方程吗
x =5，2x +3=5，x +2x+1=5。
方程x =5，可根据平方根的意义求解，
得x1=，x2=-；
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
问题 (2)你会解下列一元二次方程吗
x =5，2x +3=5，x +2x+1=5。
方程2x +3=5，可化为x =1，
根据平方根的意义求解，
得x1=1，x2=-1；
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
可以先将方程变形为 x2=a 的形式后再开平方。
问题 (2)你会解下列一元二次方程吗
x =5，2x +3=5，x +2x+1=5。
方程x +2x+1=5可化为(x+1) =5，
由平方根的意义知，x+1=±，
所以x1=-1+，x2=-1-。
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程：
1.对于方程x =n，当n≥0时，它可以转化为x=±， 所以x1=，x2=-。
2.对于方程(x+m) =n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±， 所以x1=-m，x2=--m。
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
注意：
1.直接开平方法只适用于能转化为x =n或(x+m) =n(n≥0)的形式的方程。
2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当n为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况。
解方程：(x+1) -4=0。
解：移项，得(x+1) =4。
两边开平方，得x+1=±2，
即x+1=2，或x+1=-2，
所以x1=1，x2=-3。
例1
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
问题 (3)你能解方程x +12x-15=0吗 你遇到的困难是什么
等式的左边不是完全平方式的形式，不能用直接开平方法求解。
联想(2)中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗
知识点2 用配方法解一元二次方程
将方程转化为(x+m) =n (n≥0)的形式
即 x +12x+() -() -15=0。
所以 x +12x+36-51=0，
所以 (x+6) =51。
问题 (3)你能解方程x +12x-15=0吗
我们可以将方程x +12x-15=0转化为
(x+6) =。
两边开平方，得
x+6=±。
因此我们说方程x +12x-15=0有两个根，
x1=-6，x2=--6。
x2的值不符合要求，因为实际问题中梯子底端滑动的距离不可能是负值。
知识点2 用配方法解一元二次方程
x1，x2都符合原问题的要求吗？
知识点2 用配方法解一元二次方程
思路：将方程转化为(x+m) =n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。
填上适当的数，使下列等式成立：
x +12x+ =(x+6) ；
x -4x+ =(x- ) ；
x +8x+ =(x+ ) 。
观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢
知识点2 用配方法解一元二次方程
36
4
16
2
4
常数项是一次项系数一半的平方。
配方的方法：
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。
知识点2 用配方法解一元二次方程
x2+ax+( )2=(x+ )2
解方程：x +8x-9=0。
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x +8x=9。
两边都加一次项系数8的一半的平方，得
x +8x+() =9+() ，
即 (x+4) =25。
两边开平方，得 x+4=±5，
即 x+4=5，或x+4=-5。
所以 x1=1，x2=-9。
例2
知识点2 用配方法解一元二次方程
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
知识点2 用配方法解一元二次方程
配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即
1.下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A. x2＝4 B. 4 x2－4x－3＝0
C. x2－3x＝0 D. x2－2x－1＝9
A
2. 一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为 (　　)
A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　 　D.(x+3)2＝3
A
3.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( )
A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13
C
4.解方程：
(1)x -10x+25=7； (2)x -14x=8；
(3)x +3x=1； (4)x +2x+2=8x+4。
解：(1)配方，得(x-5) =7。
两边开平方，得x-5=±，
∴x1=5+，x2=5-。
(2)配方，得x -14x+(-7) =8+(-7) ，
即(x-7) =57。
两边开平方，得x-7=±，
∴x1=7+，x2=7-。
4.解方程：
(1)x -10x+25=7； (2)x -14x=8；
(3)x +3x=1； (4)x +2x+2=8x+4。
解：(3)配方，得x +3x+() =1+() ，
即(x+) =。
两边开平方，得x+=±，
∴x1= ，x2= 。
(4)移项、合并同类项，得x -6x=2。
配方，得x -6x+(-3) =2+(-3) ，
即(x-3) =11。
两边开平方，得x-3=±，
∴x1=3+，x2=3-。
利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。
适用范围： x =n或(x+m) =n(n≥0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即

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