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第三章 图形的相似
3.2 探索相似三角形的条件
课时3
1.理解“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的内容及其几何表示。
2.掌握判定方法，会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似。
我们知道两三角形的三边对应相等能判定两个三角形全等，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？
知识点1 判定两个三角形相似的方法3
问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗
画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。
设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗
∠A=∠A′，△ABC∽△A′B′C′ 。
理由：∵∠A=∠A′， =k，
∴△ABC∽△A′B′C′。
C
B A
C′
B′ A′
知识点1 判定两个三角形相似的方法3
问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗
画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。
设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗
改变k值，结论还成立吗？
改变k值的大小，上述结论仍然成立。
定理 三边成比例的两个三角形相似。
几何语言：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
= ，
∴△ABC∽△A′B′C′。
知识点1 判定两个三角形相似的方法3
如图，在△ABC和△ADE中， = ，∠BAD=20°，
求∠CAE的度数。
解：∵ = ，
∴△ABC∽△ADE( 三边成比例的两个三角形相似)。
∴ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE。
∵ ∠BAD=20°，
∴ ∠CAE=20°。
例1
知识点1 判定两个三角形相似的方法3
A
B
C
D E
如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′ 相似吗 你有哪些判断方法
△ABC∽△A′B′C′。
方法一 ∵ ∠A=∠A=45°，= =，
∴△ABC∽△A′B′C′。
方法二 ∵ = =，
∴△ABC∽△A′B′C′。
知识点1 判定两个三角形相似的方法3
A′ C′
A B′ C
B
判定两个三角形相似的基本思路：
知识点2 判定两个三角形相似的基本思路
证明两个
三角形相似
已有一组角相等，可证
已有两组边成比例，可证
这两边的夹角相等；
第三组边的比值与前两组边的比值相等
另一组角相等；
夹等角的两边成比例
特殊三角形相似的汇总：
(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)直角边和斜边或两条直角边成比例的两个直角三角形相似；
(3)有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形相似；
(4)所有的等边三角形相似；
(5)所有的等腰直角三角形都相似。
知识点2 判定两个三角形相似的基本思路
如图，点D 是△ABC(三边不相等)的边AC上的一点，过点D画线段 DE，使点E在△ABC的边上，且点D，E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似，则这样的画法有( )
A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种
解析：如图，①作∠ADE =∠B；②作DE ∥BC；
③作∠CDE =∠B；④作DE ∥AB。
①③画法的依据为“两角分别相等的两个三角形相似”；
②④画法的依据为“两角分别相等或两边成比例且夹角
相等的两个三角形相似”。因此共有4种画法。
例2
C
知识点2 判定两个三角形相似的基本思路
1.如图，每组中的两个三角形是否相似 为什么
. .
解：(1)不相似。
∵ ，
∴这两个三角形不相似。
7
10
5
5
6
2.5
6
4
7
3
2
3.5
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
(2)
(1)
(2)相似。
∵ ==，==，== ，
∴ = = ，
∴这两个三角形相似。
2.下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形
C．两个全等三角形 D．两个直角三角形
D
3.一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2cm，则当另一个三角形的另外两边长是______________cm时，这两个三角形相似。
3和4.8
4.如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（　　）
A．以点E，F，A为顶点的三角形 B．以点E，F，B为顶点的三角形
C．以点E，F，C为顶点的三角形 D．以点E，F，D为顶点的三角形
C
5.如图，在△ABC中，∠A=68°，AB=8，AC=4，将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
C
6.如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：
①A；②CBA ；③；④中的一个，不能得出△ABC 和△BCD相似的是： （填序号）。
③
7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为( )
A.10 B.8 C.5 D.4
C
探索三角形相似的条件
判定定理
三边成比例的两个三角形相似
基本思路
已有一组角相等
已有两组边成比例
可证另一组角相等；
可证夹等角的两边成比例
可证这两边的夹角相等；
可证第三组边的比值与前两组边的比值相等

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