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第三章 图形的相似
3.3 相似三角形判定定理的
证明课时2
1.了解相似三角形判定定理的证明过程，进一步发展推理能力。
2.在解决相似三角形判定问题的过程中，体会方法的多样性。
在之前的学习中，我们通过探索得到了相似三角形的三个判定命题：
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
下面我们对它们进行证明。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
问题1 证明：两角分别相等的两个三角形相似。
A
A′
B C B′ C′
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。
求证： △ABC∽△A′B′C′。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则
∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， =
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例)。
过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则
=
(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的对应线段成比例)。
A
B C
A′
B′ C′
D E
F
知识点1 相似三角形判定定理的证明
∴= 。
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形。
∴DE = CF。
∴= 。
∴ = = 。
而∠ADE = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠AED = ∠C，
∴ △ADE∽△ABC(相似三角形的定义)。
∵ ∠A = ∠A′，∠ADE = ∠B = ∠B′，AD = A′B′，
A
B C
A′
B′ C′
D E
F
∴ △ADE≌△A′B′C′。
∴ △ABC∽△A′B′C′。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
问题2 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
A
A′
B C B′ C′
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，。
求证： △ABC∽△A′B′C′。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则
∠B = ∠ADE，∠C = ∠AED，
∴ △ABC∽△ADE(两角分别
相等的两个三角形相似)。
∴ = 。
∵ ，AD = A′B′，
∴ = 。∴ = 。
∴ AE = A′C′。
A
A′
B C B′ C′
D E
而∠A = ∠A′，
∴ △ADE≌△A′B′C′。
∴ △ABC∽△A′B′C′。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
问题3 证明：三边成比例的两个三角形相似。
A
A′
B C B′ C′
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， 。
求证： △ABC∽△A′B′C′。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD = AB′，AE = A′C′，连接DE。
∵ ，AD = A′B′，AE = A′C′，
∴ 。
而 ∠BAC = ∠DAE，
∴ △ABC∽△ADE
(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。
∴ 。
A
B C
A′
B′ C′
D E
知识点1 相似三角形判定定理的证明
又，AD = A′B′，
∴ 。
∴ 。
∴ DE = B′C′。
∴ △ADE≌△A′B′C′。
∴ △ABC∽△A′B′C′。
A
B C
A′
B′ C′
D E
定理 两角分别相等的两个三角形相似。
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。
相似三角形判定定理的证明思路：
第一步：构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形；
第二步：证明另一个三角形与所构造的三角形相似；
第三步：利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
回顾相似三角形判定定理的证明过程，你对几何证明有哪些新的认识
证明过程中，需要通过作辅助线用定理1证明定理2，
同样的定理3的证明用到了定理2，体现了数学转化的思想。
知识点1 相似三角形判定定理的证明
跟踪训练
你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。
求证：△ABC∽△A′B′C′。
证明：如图，在BA的延长线上取AD = A′B′，
过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E。
由判定定理1，易知△ABC∽△ADE，
则。
∵ ，AD = A′B′，
知识点1 相似三角形判定定理的证明
∴ ，
∴ ，
∴ AE = A′C′。
又∵ ∠A′ = ∠BAC = ∠DAE，
∴ △A′B′C′≌△ADE(SAS)。
故△ABC∽△A′B′C′。
你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。
求证：△ABC∽△A′B′C′。
跟踪训练
知识点1 相似三角形判定定理的证明
1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE = 2ED，CD = 3 cm，则AF的长为( )
A．5 cm 　 B．6 cm　 　C．7 cm　　　D．8 cm
B
2.将三角形纸片ABC按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF。已知AB = AC = 3，BC = 4，若△B′FC与△ABC相似，则BF = 。
3.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD， 以BC为边在△ABC外作
∠CBE = ∠ABD，∠BCE = ∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。
. .
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE = ∠ABD，∠BCE = ∠BAD，
∴△CBE∽△ABD，
∴ ，即 。
在△DBE和△ABC中，∠CBE = ∠ABD，
∴∠CBE＋∠DBC = ∠ABD＋∠DBC，
∴∠DBE = ∠ABC且
∴△DBE∽△ABC。
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
证明思路：
①构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形；
②证明另一个三角形与所构造的三角形相似；
③利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。
相似三角形 的判定定理

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