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第三章 图形的相似
3.4 相似三角形的性质课时1
1.了解相似三角形的性质定理。
2.会用性质解决相关的问题。
两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等，那么两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢
C
A D B
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房的屋架△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。如果CD = 1.5cm，那么模型房的屋架立柱有多高
C′
A′ D′ B′
模型房的屋架立柱的高为3cm。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
理由：∵CD⊥AB，
∴C′D′⊥A′B′，
∴∠ADC = ∠A′D′C′ = 90°。
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A = ∠A′，
∴△ACD∽△A′C′D′。
∴ = = 。
∵CD = 1.5cm，
C
A D B
C′
A′ D′ B′
∴ = ，
∴C′D′ = 3cm。
故模型房的屋架立柱的高为3cm。
C
A D B
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
问题 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房的屋架△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。如果CD = 1.5cm，那么模型房的屋架立柱有多高
C′
A′ D′ B′
思考：如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比是多少
证明：相似三角形对应高的比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。
求证： = k。
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B = ∠B′。
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
∴ = = k。
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为3，那么这两个三角形的两条中线AD，A′D′有怎样的关系
这两个三角形的两条中线AD，A′D′长度的比值为3。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
B D C
A′
B′ D′ C′
因为△ABC∽△A′B′C′，相似比为3，
所以∠B = ∠B′， = = 3。
因为AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线，
所以BD = BC，B′D′ = B′C′，
所以 = = 3
所以△ABD∽△A′B′D′，
所以 = = 3。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
B D C
A′
B′ D′ C′
思考：如果两个三角形相似，那么对应中线的比是多少
证明：相似三角形对应中线的比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AM，A′M′分别为△ABC和
△A′B′C′对应边上的中线。
求证： = k。
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B = ∠B′， = 。
∵AM，A′M′分别是边BC，B′C′上的中线，
∴BM = BC，B′M′ = B′C′，
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
∴ = ∴△ABM∽△A′B′M′，∴ = = k。
思考：相似三角形的角平分线也有类似的结论吗？
证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′对应角的平分线。
求证： = k。
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B = ∠B′，∠BAC = ∠B′A′C。
又∵AN，A′N′分别平分∠BAC，∠B′A′C′，
∴∠BAN = ∠B′A′N′，
∴△ABN∽△A′B′N′，
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
∴ = = k。
定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
注意：相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。
(1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则的值等于多少
由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′ ，
于是 = = k。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
B D E C
A′
C′ E′ D′ B′
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。
(2) 若BE = BC，B′E′ = B′C′，则的值等于多少
由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△A′B′E′，
于是 = = k。
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
B D E C
A′
C′ E′ D′ B′
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在边BC上，点D′，E′在边B′C′上。
(3) 你能提出更一般性的问题吗
例如，∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′ = ∠B′A′C′，则等于多少
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
B D E C
A′
C′ E′ D′ B′
如图，AD是△ABC的高，AD = h，点R在边AC上，点S在边AB上，
SR⊥AD，垂足为E。当SR = BC时，求DE的长。如果SR = BC呢
例1
知识点1 相似三角形中对应线段的性质定理
A
S E R
B D C
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC。
∴ ∠ASR = ∠B，∠ARS = ∠C。
∴ △ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。
∴ = (相似三角形对应高的比等于相似比)，
即 = 。
当SR = BC时，得 = 。解得DE = h 。
当SR = BC时，得 = 。解得DE = h 。
1.如果两个相似三角形对应高的比为5 4，那么这两个相似三角形的相似比为 。
5 4
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， = ，B′D′ = 4cm，
求BD的长。
. .
解：根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得
= = ，
即 = ，
∴BD = 6cm。
3.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm。
（1）求这两个三角形的相似比。
（2）在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短中线的长是3cm，那么较长的中线有多长
. .
解：（1）因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
所以这两个相似三角形的相似比是2 5。
（2）设较长的中线长为x cm，则
=
解得 x = ，
所以较长的中线长为cm。
4.如果两个相似三角形的对应边之比为3 7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，那么另一个三角形对应中线的长为( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
C
5.某高级中学为高一新生设计的学生板凳正面视图如图所示。其中BA = CD，
BC = 20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为30cm，那么横梁EF应为多长 (材质及其厚度等忽略不计)
解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M两点，作CP⊥AD于点P，交EF于点Q。
由题意，得四边形ABCM和四边形AENM都是平行四边形，
∴EN = AM = BC = 20cm。
∴MD = AD-AM = 30-20 = 10(cm)。
由题意，知CP = 40cm，PQ = 8cm。
∴CQ = 32cm。
∵EF∥AD，
∴∠CNF =∠CMD，∠CFN =∠CDM，
∴△CNF∽△CMD，
∴ = ，
即 = ，∴NF=8cm。
∴EF = EN+NF = 20+8 = 28(cm)。
故横梁EF应为28cm。
N Q
M P
对应边成比例，对应角相等
相似三角形的性质
基本性质
“三线”
对应高的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
对应中线的比等于相似比

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