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深圳市南山实验教育集团2026年九年级数学三模试卷
1．以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（　　）
A．-3℃ B．+3℃ C．-5℃ D．+5℃
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a+4b=7ab B．（3x）3=9x3
C．（-2ab2）2=4a2b4 D．（x-2）2=x2-4
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE-EF”组成.道闸工作时，折叠杆“AE-EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF 始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　)
A．∠BAE+∠AEF=180° B．∠BAE+∠AEF =270°
C．∠BAE+∠AEF=360° D．∠BAE+∠AEF 的度数无法确定
6．生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵 若设买了x棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图1，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm，且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　）
A．30cm B．45cm C．60cm D．75cm
8．如图，一段抛物线y=-x（x-5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，若P（2026，m）是其中某段抛物线上一点，则m为（　　）
A．4 B．-4 C．-6 D．6
9．若，则代数式的值是　 　．
10．在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为　 　．
11．密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量.如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的函数，其函数关系的部分对应值如下表（ρ>0）：
密度ρ（g/cm3） 1 2 3 4 …
高度h（cm） 18 9 6 4.5 …
当液体密度时，浸在液体中的高度h=　 　cm.
12．如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a米.某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门.已知BD=3a米，QD=3a米.已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米，此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，刚好能成功防守，则BN的长为　 　米.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，点D为AC边上一点，连接BD，将△ABD沿BD折叠.点A落至点E处，连接BE、CE，线段BE交AC边于点F，若EC∥BD.且则BC=　 　.
14．计算：
15．先化简，再求值：其中x满足
16．学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94
七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 α 83
众数 78 b
七年级所抽取学生使用满意度评分扇形统计图
（1）上述图表中　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高 请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数.
17．某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件.
（1）商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元
（2）设商家一次性购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润 最大利润是多少
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若弧AC=弧BD，CG=2，求阴影部分的面积.
19．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数和其中y1的图象经过点P（1，1），y2与y1为“同簇二次函数”.
①求m的值及函数y2的表达式；
②如图，点A和点C是函数y1图象上的点，点B和点D是函数y2图象上的点，且都在对称轴右侧，若AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，求的值（只需直接写出答案）.
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知等
腰直角三角形纸片ABC和ADE中，90°.
（1）【初步感知】
如图1，纸片ADE绕点A逆时针旋转60°，连接CE，CD，证明：CD平分∠ACE；
（2）【深入探究】
在（1）条件下，如图2，延长ED交BC于F，求BF的长；
（3）【拓展延伸】
在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数用于表示具有相反意义的量，题目规定零上温度记为正，则零下温度应记为负。
零下记作
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义，解题关键是明确“零上”与“零下”是一对相反意义的量。当规定其中一个量为正时，与其相反的量就用负表示，直接按照此规则书写即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不能合并，该运算错误。
B、根据积的乘方法则，，该运算错误。
C、根据积的乘方与幂的乘方法则，，该运算正确。
D、根据完全平方公式，，该运算错误。
故答案为：C
【分析】本题考查整式的基本运算，涵盖同类项合并、积的乘方、完全平方公式等核心知识点。判断时需注意：只有同类项才能合并；积的乘方要将每一个因式分别乘方；完全平方公式展开后有三项，切勿遗漏中间项。
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得。
解不等式，
去括号得，
移项合并得，
系数化为1得。
根据“同大取大”原则，不等式组的解集为
在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及解集的数轴表示。先分别求解两个不等式，解不等式时注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向要改变；再根据不等式组解集的确定法则找到公共解集，最后在数轴上表示时，应在-1处画实心点，向右画射线。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过点A作，根据平行公理的推论得出，再根据平行线的性质可得，，进而得到，解答即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设买了棵三角梅树苗，则杜鹃树苗的数量为棵
三角梅的单价为元，杜鹃的单价为元
根据“杜鹃的单价比三角梅的单价少25元”，可列方程
故答案为：A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，核心是找到等量关系。设三角梅树苗数量为，先表示出杜鹃树苗的数量，再根据“单价=总价÷数量”分别表示出两种树苗的单价，最后利用“杜鹃单价+25=三角梅单价”这一等量关系列出方程。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作地面于点，则，
，，
，
，
，
，
解得
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是构造相似三角形。过点作地面的垂线，由和都垂直于地面，可得，从而证明与相似。再根据已知的线段比例，转化为相似比，代入相似三角形对应边成比例的性质即可求出的长度。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：抛物线，与轴交点为；
由绕旋转得到，解析式为，与轴交点为；
由绕旋转得到，解析式为，与轴交点为；
由此归纳得第段抛物线的解析式为：
，
点在抛物线上。
的解析式为：
将代入得：
故答案为：B
【分析】本题考查抛物线的旋转规律探究，核心是归纳出第段抛物线的解析式。先写出前几段抛物线的解析式，观察发现每段抛物线与轴的两个交点横坐标相差5，且旋转180°后二次项系数变为原来的相反数，由此归纳出的一般形式。再通过整数除法确定2026所在的段数，代入对应解析式即可求出的值。
9．【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据整式的加减运算得到，再整体代入计算即可求解。
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮，
∴小灯泡发亮的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意得到四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮，进而根据简单事件的概率即可求解。
11．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据可知，，即与的乘积为定值18，
是的反比例函数，设
将，代入得：，解得，
函数解析式为
当时，
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是判断函数类型并求出解析式。通过计算表格中与的乘积，发现其为定值，因此与成反比例关系。利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式即可求出对应的值。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，
在中，，，
由勾股定理得：
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
。
在中，，，
，
由勾股定理得：
在中，，
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形。先在中求出的长度，再利用三角函数求出和，进而得到的值。然后在中利用求出和，最后在中求出，用减去即可得到的长度。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
。
，
，
，
，，
，
。
设，则，
由折叠的性质得：
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，
解得，(舍去)
，
故答案为：
【分析】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。先由和折叠性质推出，从而得到，求出、、、的长度。再证明，得到与的比例关系。最后设未知数，利用勾股定理分别在和中表示出，列方程求解即可。
14．【答案】解：原式
=-6.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值。先分别计算各项：的偶次幂为；绝对值内，去掉绝对值后为；负整数指数幂；任何非零数的零次幂为1；。再将各项结果合并，注意合并同类二次根式。
15．【答案】解：原式
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，核心是分式的混合运算和整体代入思想。先对括号内的两个分式进行通分，通分时先将分母因式分解，找到最简公分母；再将除法转化为乘法，约分后得到最简分式。然后从已知方程中求出的值，整体代入最简分式计算即可。
16．【答案】（1）30；86；6
（2）八年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高，理由如下：
七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高
（3）（人），
故该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数215人.
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人），在D组中的数据有（人），在B组中的数据有8人，在C组中的数据有，
将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故；
∴，即；
八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故，
七年级20名学生评分在C组中的数据有，
【分析】（1）本题考查中位数、众数和扇形统计图的相关计算。计算七年级中位数时，先根据扇形统计图求出A组和D组的人数，再结合B组人数求出C组人数，将20个数据从小到大排列后，取第10和第11个数据的平均数；八年级众数是出现次数最多的数，统计八年级评分中各数出现的次数即可；m% 是C组人数占总人数的百分比，用C组人数除以20再乘以100%即可。
（2）本题考查统计量的实际意义。比较两个年级的满意度时，可从中位数或众数的角度分析，平均数相同的情况下，中位数和众数更高的年级，整体满意度更高。
（3）本题考查用样本估计总体。分别用七年级和八年级的总人数乘以样本中“非常满意”人数所占的比例，再将两个结果相加，即可估计出全校非常满意的总人数。
17．【答案】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，
由题意得：3000-10（x-10）=2600，
解得：x=50；
答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元
（2）当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，
当x=10时，y有最大值，最大值为600×10=6000；
当10即
由于-10<0，当x=35时，y有最大值12250；
当50当x=60时，y有最大值，最大值为200×60=12000；
综上，当x=35时，y有最大值12250；
答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用。设购买件时单价为2600元，根据“单价=3000-10×(购买数量-10)”这一规律，列出方程求解即可。
（2）本题考查分段函数的最值问题，需分三种情况讨论：当时，单价固定为3000元，利润函数为一次函数，根据一次函数的单调性求最大值；当时，单价随购买数量变化，利润函数为二次函数，通过配方求出顶点式，结合二次函数的性质求最大值；当时，单价固定为2600元，利润函数为一次函数，根据单调性求最大值。最后比较三个区间的最大值，得出企业获得的最大利润及对应的购买数量。
18．【答案】（1）证明：连接OD，交BC于点E，
∵点D为BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵DG∥BC，
∴∠ODG=∠OEC=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD，
∴DG是⊙O的切线.
（2）连接OC、CD，则OA=OC=OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠G=∠ACB=90°，∠CED=∠EDG=90°，
∴四边形CEDG是矩形，
∴DE=CG=2，
点D为BC的中点，
∴△AOC和△COD都是等边三角形，
∵CE⊥OD，
∴OE=DE=2，
∴AC=OC=CD=OD=2DE=4，
∴AH=2CH，
∴阴影部分的面积是
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线的判定，核心是证明。连接交于点，根据垂径定理，弧的中点与圆心的连线垂直平分弧所对的弦，因此。再由，可得，结合是的半径，即可证明是切线。
（2）本题考查圆与三角形的综合计算，涉及矩形的判定、等边三角形的性质和阴影部分面积的计算。连接、，由是直径得，结合可证明四边形是矩形，得到。再由，推出三个圆心角均为，证明和是等边三角形，求出、等线段的长度。最后用的面积减去的面积，即可得到阴影部分的面积。
19．【答案】（1）解：和的图象的顶点均为（0，0），且开口均向上，
和为“同簇二次函数”
（2）解：①把P（1，1）代入得解得m=1，
∵y2与y1为“同簇二次函数”，且y1的顶点为（1，1），
∴y2的顶点为（1，1），
即
∴函数y2的表达式为
②
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（2）②设点B的坐标为
∵AB∥x轴，
∴点A的坐标为
∵AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，
∴点C的坐标为（点D的坐标为
【分析】（1）本题考查新定义“同簇二次函数”的理解，核心是掌握二次函数的顶点式。根据定义，只要两个二次函数的顶点坐标相同，且二次项系数同号（开口方向相同）即可，写出任意两个满足条件的函数即可。
（2）①本题考查二次函数的解析式求解。先将点代入的解析式，解方程求出的值，再将化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向。根据“同簇二次函数”的定义，与顶点相同、开口方向相同，设出的顶点式，代入已知的常数项求出的值，即可得到的表达式。
②本题考查二次函数图象上点的坐标特征及线段长度的计算。设点的横坐标为，根据点在函数图象上表示出点坐标，再利用“平行于轴的直线上的点纵坐标相等”求出点坐标，利用“垂直于轴的直线上的点横坐标相等”求出点坐标，进而求出点坐标。最后根据平行于轴的线段长度等于两端点横坐标之差，分别计算和的长度，求出比值即可。
20．【答案】（1）证明：由旋转性质得AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC=CE，∠ACE=60°，
又∵AD=DE，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠ECD=30°，
∴CD平分∠ACE
（2）延长CD交AE于点G，
∵△ACE是等边三角形，CG平分∠ACE，
在Rt△ADG中，
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，∠ADF=90°，
∴∠FCD=∠ACB+∠ACD=75°，
∠BFD=360°-∠ABF-∠ADF-∠BAD=120°，
∴∠DFC=60°，
∴∠FDC=180°-60°-75°=45°，
过点C作CH⊥EF于H，则△DCH是等腰直角三角形，
∴∠DCH=45°，
∴∠HCF=30°，
在Rt△CDH中，
在Rt△HCF中，
（3）2或或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（3）①当∠EDC=90°时，如图3-1所示，则∠ADE+∠CDE=180°，
∴此时A、D、C三点共线，
如图3-2所示，当点D在CA延长线上时，此时满足∠EDC=90°，
②如图所示，当AD∥BC时，则∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠EDA+∠DAB=180°，
∴DE∥AB，
又∵DE=AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AD=DE，∠ADE=90°，
∴四边形ABED是正方形，
∴∠ABE=∠DEC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=180°，
∴此时C、B、E三点共线，
③当∠ECD=90°时，过点A作AQ⊥CE于Q，交DE于N，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC=AE，AQ⊥EC，
∴EQ=CQ，
∵NQ∥CD，
∴△NEQ∽△DEC，
∵∠AND=∠ENQ，∠ADN=∠EQN=90°，
∴∠DAN=∠QEN，
∴tan∠DAN=tan∠QEN，
解得
综上所述，直角三角形CDE的面积为2或或或
【分析】（1）本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质。由旋转的性质得，，可证明是等边三角形，得到。再结合，，利用SSS证明，从而得到，即平分。
（2）本题考查解直角三角形的综合应用。延长交于点，由等边三角形三线合一的性质得，求出、的长度，进而得到的长度。过点作于点，先证明是等腰直角三角形，求出的长度，再在中利用三角函数求出的长度，最后用减去即可得到的长。
（3）本题考查分类讨论思想在几何中的应用，需分三种情况讨论直角顶点的位置：当时，分点在线段上和在的延长线上两种情况，分别计算的长度，再求三角形面积；当时，证明四边形是正方形，得到的长度，进而求出面积；当时，过点作于点，利用相似三角形和勾股定理求出和的长度，再计算面积。
1 / 1深圳市南山实验教育集团2026年九年级数学三模试卷
1．以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
2．某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（　　）
A．-3℃ B．+3℃ C．-5℃ D．+5℃
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数用于表示具有相反意义的量，题目规定零上温度记为正，则零下温度应记为负。
零下记作
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义，解题关键是明确“零上”与“零下”是一对相反意义的量。当规定其中一个量为正时，与其相反的量就用负表示，直接按照此规则书写即可。
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a+4b=7ab B．（3x）3=9x3
C．（-2ab2）2=4a2b4 D．（x-2）2=x2-4
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不能合并，该运算错误。
B、根据积的乘方法则，，该运算错误。
C、根据积的乘方与幂的乘方法则，，该运算正确。
D、根据完全平方公式，，该运算错误。
故答案为：C
【分析】本题考查整式的基本运算，涵盖同类项合并、积的乘方、完全平方公式等核心知识点。判断时需注意：只有同类项才能合并；积的乘方要将每一个因式分别乘方；完全平方公式展开后有三项，切勿遗漏中间项。
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得。
解不等式，
去括号得，
移项合并得，
系数化为1得。
根据“同大取大”原则，不等式组的解集为
在数轴上表示为：
故答案为：D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及解集的数轴表示。先分别求解两个不等式，解不等式时注意移项要变号，系数化为1时若系数为负，不等号方向要改变；再根据不等式组解集的确定法则找到公共解集，最后在数轴上表示时，应在-1处画实心点，向右画射线。
5．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE-EF”组成.道闸工作时，折叠杆“AE-EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF 始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　)
A．∠BAE+∠AEF=180° B．∠BAE+∠AEF =270°
C．∠BAE+∠AEF=360° D．∠BAE+∠AEF 的度数无法确定
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过点A作，根据平行公理的推论得出，再根据平行线的性质可得，，进而得到，解答即可．
6．生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵 若设买了x棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设买了棵三角梅树苗，则杜鹃树苗的数量为棵
三角梅的单价为元，杜鹃的单价为元
根据“杜鹃的单价比三角梅的单价少25元”，可列方程
故答案为：A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，核心是找到等量关系。设三角梅树苗数量为，先表示出杜鹃树苗的数量，再根据“单价=总价÷数量”分别表示出两种树苗的单价，最后利用“杜鹃单价+25=三角梅单价”这一等量关系列出方程。
7．如图1，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm，且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　）
A．30cm B．45cm C．60cm D．75cm
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作地面于点，则，
，，
，
，
，
，
解得
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是构造相似三角形。过点作地面的垂线，由和都垂直于地面，可得，从而证明与相似。再根据已知的线段比例，转化为相似比，代入相似三角形对应边成比例的性质即可求出的长度。
8．如图，一段抛物线y=-x（x-5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，若P（2026，m）是其中某段抛物线上一点，则m为（　　）
A．4 B．-4 C．-6 D．6
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：抛物线，与轴交点为；
由绕旋转得到，解析式为，与轴交点为；
由绕旋转得到，解析式为，与轴交点为；
由此归纳得第段抛物线的解析式为：
，
点在抛物线上。
的解析式为：
将代入得：
故答案为：B
【分析】本题考查抛物线的旋转规律探究，核心是归纳出第段抛物线的解析式。先写出前几段抛物线的解析式，观察发现每段抛物线与轴的两个交点横坐标相差5，且旋转180°后二次项系数变为原来的相反数，由此归纳出的一般形式。再通过整数除法确定2026所在的段数，代入对应解析式即可求出的值。
9．若，则代数式的值是　 　．
【答案】2027
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据整式的加减运算得到，再整体代入计算即可求解。
10．在如图所示的电路图中，任意合上一个开关，则小灯泡发亮的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮，
∴小灯泡发亮的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意得到四个开关，其中只有一个开关能使得小灯泡发亮，进而根据简单事件的概率即可求解。
11．密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量.如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的函数，其函数关系的部分对应值如下表（ρ>0）：
密度ρ（g/cm3） 1 2 3 4 …
高度h（cm） 18 9 6 4.5 …
当液体密度时，浸在液体中的高度h=　 　cm.
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据可知，，即与的乘积为定值18，
是的反比例函数，设
将，代入得：，解得，
函数解析式为
当时，
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是判断函数类型并求出解析式。通过计算表格中与的乘积，发现其为定值，因此与成反比例关系。利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式即可求出对应的值。
12．如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a米.某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门.已知BD=3a米，QD=3a米.已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米，此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，刚好能成功防守，则BN的长为　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，
在中，，，
由勾股定理得：
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
。
在中，，，
，
由勾股定理得：
在中，，
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形。先在中求出的长度，再利用三角函数求出和，进而得到的值。然后在中利用求出和，最后在中求出，用减去即可得到的长度。
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，点D为AC边上一点，连接BD，将△ABD沿BD折叠.点A落至点E处，连接BE、CE，线段BE交AC边于点F，若EC∥BD.且则BC=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
。
，
，
，
，，
，
。
设，则，
由折叠的性质得：
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，
解得，(舍去)
，
故答案为：
【分析】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。先由和折叠性质推出，从而得到，求出、、、的长度。再证明，得到与的比例关系。最后设未知数，利用勾股定理分别在和中表示出，列方程求解即可。
14．计算：
【答案】解：原式
=-6.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值。先分别计算各项：的偶次幂为；绝对值内，去掉绝对值后为；负整数指数幂；任何非零数的零次幂为1；。再将各项结果合并，注意合并同类二次根式。
15．先化简，再求值：其中x满足
【答案】解：原式
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，核心是分式的混合运算和整体代入思想。先对括号内的两个分式进行通分，通分时先将分母因式分解，找到最简公分母；再将除法转化为乘法，约分后得到最简分式。然后从已知方程中求出的值，整体代入最简分式计算即可。
16．学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94
七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 α 83
众数 78 b
七年级所抽取学生使用满意度评分扇形统计图
（1）上述图表中　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高 请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数.
【答案】（1）30；86；6
（2）八年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高，理由如下：
七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对AI辅助学习工具的满意度更高
（3）（人），
故该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数215人.
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人），在D组中的数据有（人），在B组中的数据有8人，在C组中的数据有，
将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故；
∴，即；
八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故，
七年级20名学生评分在C组中的数据有，
【分析】（1）本题考查中位数、众数和扇形统计图的相关计算。计算七年级中位数时，先根据扇形统计图求出A组和D组的人数，再结合B组人数求出C组人数，将20个数据从小到大排列后，取第10和第11个数据的平均数；八年级众数是出现次数最多的数，统计八年级评分中各数出现的次数即可；m% 是C组人数占总人数的百分比，用C组人数除以20再乘以100%即可。
（2）本题考查统计量的实际意义。比较两个年级的满意度时，可从中位数或众数的角度分析，平均数相同的情况下，中位数和众数更高的年级，整体满意度更高。
（3）本题考查用样本估计总体。分别用七年级和八年级的总人数乘以样本中“非常满意”人数所占的比例，再将两个结果相加，即可估计出全校非常满意的总人数。
17．某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件.
（1）商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元
（2）设商家一次性购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，
由题意得：3000-10（x-10）=2600，
解得：x=50；
答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元
（2）当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，
当x=10时，y有最大值，最大值为600×10=6000；
当10即
由于-10<0，当x=35时，y有最大值12250；
当50当x=60时，y有最大值，最大值为200×60=12000；
综上，当x=35时，y有最大值12250；
答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用。设购买件时单价为2600元，根据“单价=3000-10×(购买数量-10)”这一规律，列出方程求解即可。
（2）本题考查分段函数的最值问题，需分三种情况讨论：当时，单价固定为3000元，利润函数为一次函数，根据一次函数的单调性求最大值；当时，单价随购买数量变化，利润函数为二次函数，通过配方求出顶点式，结合二次函数的性质求最大值；当时，单价固定为2600元，利润函数为一次函数，根据单调性求最大值。最后比较三个区间的最大值，得出企业获得的最大利润及对应的购买数量。
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若弧AC=弧BD，CG=2，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OD，交BC于点E，
∵点D为BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵DG∥BC，
∴∠ODG=∠OEC=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD，
∴DG是⊙O的切线.
（2）连接OC、CD，则OA=OC=OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠G=∠ACB=90°，∠CED=∠EDG=90°，
∴四边形CEDG是矩形，
∴DE=CG=2，
点D为BC的中点，
∴△AOC和△COD都是等边三角形，
∵CE⊥OD，
∴OE=DE=2，
∴AC=OC=CD=OD=2DE=4，
∴AH=2CH，
∴阴影部分的面积是
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线的判定，核心是证明。连接交于点，根据垂径定理，弧的中点与圆心的连线垂直平分弧所对的弦，因此。再由，可得，结合是的半径，即可证明是切线。
（2）本题考查圆与三角形的综合计算，涉及矩形的判定、等边三角形的性质和阴影部分面积的计算。连接、，由是直径得，结合可证明四边形是矩形，得到。再由，推出三个圆心角均为，证明和是等边三角形，求出、等线段的长度。最后用的面积减去的面积，即可得到阴影部分的面积。
19．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数和其中y1的图象经过点P（1，1），y2与y1为“同簇二次函数”.
①求m的值及函数y2的表达式；
②如图，点A和点C是函数y1图象上的点，点B和点D是函数y2图象上的点，且都在对称轴右侧，若AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，求的值（只需直接写出答案）.
【答案】（1）解：和的图象的顶点均为（0，0），且开口均向上，
和为“同簇二次函数”
（2）解：①把P（1，1）代入得解得m=1，
∵y2与y1为“同簇二次函数”，且y1的顶点为（1，1），
∴y2的顶点为（1，1），
即
∴函数y2的表达式为
②
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（2）②设点B的坐标为
∵AB∥x轴，
∴点A的坐标为
∵AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，
∴点C的坐标为（点D的坐标为
【分析】（1）本题考查新定义“同簇二次函数”的理解，核心是掌握二次函数的顶点式。根据定义，只要两个二次函数的顶点坐标相同，且二次项系数同号（开口方向相同）即可，写出任意两个满足条件的函数即可。
（2）①本题考查二次函数的解析式求解。先将点代入的解析式，解方程求出的值，再将化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向。根据“同簇二次函数”的定义，与顶点相同、开口方向相同，设出的顶点式，代入已知的常数项求出的值，即可得到的表达式。
②本题考查二次函数图象上点的坐标特征及线段长度的计算。设点的横坐标为，根据点在函数图象上表示出点坐标，再利用“平行于轴的直线上的点纵坐标相等”求出点坐标，利用“垂直于轴的直线上的点横坐标相等”求出点坐标，进而求出点坐标。最后根据平行于轴的线段长度等于两端点横坐标之差，分别计算和的长度，求出比值即可。
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知等
腰直角三角形纸片ABC和ADE中，90°.
（1）【初步感知】
如图1，纸片ADE绕点A逆时针旋转60°，连接CE，CD，证明：CD平分∠ACE；
（2）【深入探究】
在（1）条件下，如图2，延长ED交BC于F，求BF的长；
（3）【拓展延伸】
在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明：由旋转性质得AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC=CE，∠ACE=60°，
又∵AD=DE，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠ECD=30°，
∴CD平分∠ACE
（2）延长CD交AE于点G，
∵△ACE是等边三角形，CG平分∠ACE，
在Rt△ADG中，
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，∠ADF=90°，
∴∠FCD=∠ACB+∠ACD=75°，
∠BFD=360°-∠ABF-∠ADF-∠BAD=120°，
∴∠DFC=60°，
∴∠FDC=180°-60°-75°=45°，
过点C作CH⊥EF于H，则△DCH是等腰直角三角形，
∴∠DCH=45°，
∴∠HCF=30°，
在Rt△CDH中，
在Rt△HCF中，
（3）2或或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（3）①当∠EDC=90°时，如图3-1所示，则∠ADE+∠CDE=180°，
∴此时A、D、C三点共线，
如图3-2所示，当点D在CA延长线上时，此时满足∠EDC=90°，
②如图所示，当AD∥BC时，则∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠EDA+∠DAB=180°，
∴DE∥AB，
又∵DE=AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AD=DE，∠ADE=90°，
∴四边形ABED是正方形，
∴∠ABE=∠DEC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=180°，
∴此时C、B、E三点共线，
③当∠ECD=90°时，过点A作AQ⊥CE于Q，交DE于N，
∵DC⊥EC，AQ⊥EC，
∴AQ∥DC，
∵AC=AE，AQ⊥EC，
∴EQ=CQ，
∵NQ∥CD，
∴△NEQ∽△DEC，
∵∠AND=∠ENQ，∠ADN=∠EQN=90°，
∴∠DAN=∠QEN，
∴tan∠DAN=tan∠QEN，
解得
综上所述，直角三角形CDE的面积为2或或或
【分析】（1）本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质。由旋转的性质得，，可证明是等边三角形，得到。再结合，，利用SSS证明，从而得到，即平分。
（2）本题考查解直角三角形的综合应用。延长交于点，由等边三角形三线合一的性质得，求出、的长度，进而得到的长度。过点作于点，先证明是等腰直角三角形，求出的长度，再在中利用三角函数求出的长度，最后用减去即可得到的长。
（3）本题考查分类讨论思想在几何中的应用，需分三种情况讨论直角顶点的位置：当时，分点在线段上和在的延长线上两种情况，分别计算的长度，再求三角形面积；当时，证明四边形是正方形，得到的长度，进而求出面积；当时，过点作于点，利用相似三角形和勾股定理求出和的长度，再计算面积。
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