资源简介

广东省惠州市惠东县2025—2026 学年第二学期九年级学业质量调研检测数学试卷
1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在3.1亿．数据3.1亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
4．下列各式计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形是平行四边形 B．
C． D．
6． 在单词 probability （概率)中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（　　)
A． B． C． D．
7．如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴的负半轴，轴的正半轴上，点在第二象限．将矩形绕点顺时针旋转，使点落在轴上，得到矩形，与相交于点．若经过点的反比例函数（）的图象交于点，矩形的面积为8，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
11．分解因式：2x2﹣8=　 　
12．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作于点，，则　 　度．
13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为　 　．
14．计算：　 　．
15．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图：
①在和上分别截取和，使，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D；
②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点E和点F．
根据以上作图，若，，，，则的长为　 　．
16．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．
设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
17．如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．
（1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______；
（2）求圆周角的度数．
18．某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 m 1.1 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】
（1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值．
【应用模型】
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求b的取值范围．
19．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
20．今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差
型号 14和16 15 1.4
型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____，_____．
（2）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
（3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
21．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．
已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
任务1：
（1）某一时刻测得米，
①请直接写出________；
②请求出此时影子的长度；
任务2：
（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
22．若一次整式A，B满足（k，t是常数，），我们称整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
如：对于一次整式，，因为，所以整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为11．
（1）为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式A 整式B A与B关联系数 关联结果
　
　 　
　 16
（2）请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
①猜想一次整式B与A“按序关联”的系数及结果，并说明理由；
②猜想一次整式A与nB（常数）“按序关联”的系数及结果；
（3）已知一次整式与关联系数为，关联结果为，A与2B关联系数为，关联结果为．若，，且总存在x的值，使整式A与的值相等，求a，b的取值范围．
23．综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则________．
（2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）．
（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵向东走记作正数，向西走记作负数，
∴向西走800米可记作米．
故选：B
【分析】理解题意，根据正负数的意义，向西走就是负数，求解即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据3.1亿用科学记数法可表示为．
故选：D
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
故选：B．
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可得到主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵选项A：，正确；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：，正确．
∴ 计算错误的是C．
故选：C．
【分析】根据二次根式的四则运算法则，对选项逐个求解判断即可．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，，
故选项B错误，符合题意；
故选：B．
【分析】根据平行线的判定证明，再根据平行四边形的判定与性质得到，，，进而对比选项即可求解。
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中字母“i”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到，
解得，
即蜡烛火焰的高度是．
故选：B．
【分析】设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的性质得到，从而解方程即可求解。
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：观察大长方形的长：水平方向由一个小长方形的长与两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 25。
观察大长方形的宽：竖直方向由一个小长方形的长与三个小长方形的宽组成，同时也等于两个小长方形的长，因此有 x + 3y = 2x，整理得 x = 3y。
联立得方程组，对应选项 B。
故选：B．
【分析】本题主要考查根据几何图形抽象出二元一次方程组。解题关键是分别从大长方形的长和宽两个方向找出小长方形长与宽之间的等量关系，注意不同放置方式下边长对应的代数式要准确。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
故选：C
【分析】根据矩形，正方形可以得到，，从而得到，再利用余弦三角函数的定义得到，求解即可．
10．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；旋转的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∵，
设，则，，
∴，
∵矩形的面积为，
，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，的纵坐标为、的横坐标为，
代入，得，则
∴．
故选：D
【分析】根据三角函数的定义，可得，设，从而得到，，得到，再根据矩形的面积可得，求出a，求出k值，进而求得的坐标，即可求解．
11．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．【答案】50
【知识点】直角三角形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：平分，
．
，
．
，
．
故答案为：50
【分析】根据角平分线的定义可得，由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解．
13．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
该方程有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式，
即：，
计算得，
解得：，
实数的取值范围是且．
【分析】先根据一元二次方程的定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：原式，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意计算cos60°的数值和负整数指数幂，再计算加法即可求解。
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
由作法得平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
则即，
解得．
故答案为：
【分析】连接，根据题意可得，平分，垂直平分，，得，，从而得到，，由三角形外角的性质求出，得到，设，则，根据勾股定理建立方程求解即可．
16．【答案】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元，
因此可列方程，
解得，经检验，是分式方程的解，
则圆珠笔的数量为，
∵圆珠笔的数量一定是整数，
∴不符合题意．
故嘉嘉搞错了．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】设每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可解决问题．
17．【答案】（1）
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
答：∠ADC的度数为45°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）
解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
【分析】
（1）根据网格图的特征和垂径定理可得：的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，连接，根据勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形可求解．
（1）解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
18．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，把，代入得：
，
∴．
∴，
∴顶点坐标为，
当时，；
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴b的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，把，代入，用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，设解析式为，当时，，当时，，求出b的取值范围．
19．【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再根据中点得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2） 根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而结合菱形或者矩形的判定即可求解。
（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
20．【答案】（1），
（2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）；
（3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值，
，
型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件，
中位数为．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，进而画出树状图，从而得到共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，再根据概率公式即可求解；
（3）根据众数、平均数、中位数的定义结合题意即可求解。
（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值，
，
型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件，
中位数为．
（2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）；
（3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）
21．【答案】任务①；
②如图，过点作于点，过点作于点，
结合题意可得：四边形为矩形，
由条件可知米，
在中，，
又，
解得：米，
此时影子的长度为米；
任务2：小明会被照射到．理由如下：
如图，过点作交于点
由条件可知，
由条件可知是等边三角形，
米
米，
.
米，
米，
当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到.
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍，
（米），
如图，过作于，而，
故答案为：；
【分析】任务1：①过作于，根据等腰三角形的性质可得再根据勾股定理求得，根据三角函数的定义即可求解；
②过点作于点，过点作于点，根据题意可得，根据三角函数的定义可得，根据角之间的关系可得，得到，最后利用三角函数即可得出的长度；
任务2：过点作交于点，由题意可得，是等边三角形，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可．
22．【答案】（1）8，，，
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
【分析】（1）先理解“按序关联”的定义，再根据定义，逐个求解计算即可；
（2）①根据“按序关联”的定义，可得，分析然后求解即可；②根据“按序关联”的定义，可得，再根据定义对式子进行变形，求解即可；
（3）根据“按序关联”的定义，由（2）可得，，，结合， 求得，，从而得到，再根据题意，求解即可．
（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
23．【答案】（1）
（2）如图，连接、、，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米），
由（1）可知，，
∴（米）．
∴小河最短是沿线段修建，距离为米．
（3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，
∵为的直径，，
∴点、点都在上，为的直径，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
（4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（1）可知，
∴，
∴；
如图，当点在直线的右侧时，连接、，
同理可知，，
设，则，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
综上所述，线段与的数量关系是或．
【分析】（1）根据题意结合小吴同学方法得到，进而将AC和BC代入计算即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据勾股定理得到米，从而根据（1）即可求解；
（3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，先根据圆周角定理得到，进而根据正方形的判定与性质得到，，由（1）可知，，再结合题意根据勾股定理即可求解；
（4）根据题意分类讨论：点在直线的左侧和右侧，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理结合（1）中的结论即可求解。
1 / 1广东省惠州市惠东县2025—2026 学年第二学期九年级学业质量调研检测数学试卷
1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵向东走记作正数，向西走记作负数，
∴向西走800米可记作米．
故选：B
【分析】理解题意，根据正负数的意义，向西走就是负数，求解即可．
2．豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在3.1亿．数据3.1亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据3.1亿用科学记数法可表示为．
故选：D
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
故选：B．
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可得到主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
4．下列各式计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵选项A：，正确；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：，正确．
∴ 计算错误的是C．
故选：C．
【分析】根据二次根式的四则运算法则，对选项逐个求解判断即可．
5．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形是平行四边形 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，，
故选项B错误，符合题意；
故选：B．
【分析】根据平行线的判定证明，再根据平行四边形的判定与性质得到，，，进而对比选项即可求解。
6． 在单词 probability （概率)中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中字母“i”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
7．如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到，
解得，
即蜡烛火焰的高度是．
故选：B．
【分析】设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的性质得到，从而解方程即可求解。
8．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：观察大长方形的长：水平方向由一个小长方形的长与两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 25。
观察大长方形的宽：竖直方向由一个小长方形的长与三个小长方形的宽组成，同时也等于两个小长方形的长，因此有 x + 3y = 2x，整理得 x = 3y。
联立得方程组，对应选项 B。
故选：B．
【分析】本题主要考查根据几何图形抽象出二元一次方程组。解题关键是分别从大长方形的长和宽两个方向找出小长方形长与宽之间的等量关系，注意不同放置方式下边长对应的代数式要准确。
9．如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
故选：C
【分析】根据矩形，正方形可以得到，，从而得到，再利用余弦三角函数的定义得到，求解即可．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴的负半轴，轴的正半轴上，点在第二象限．将矩形绕点顺时针旋转，使点落在轴上，得到矩形，与相交于点．若经过点的反比例函数（）的图象交于点，矩形的面积为8，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；旋转的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∵，
设，则，，
∴，
∵矩形的面积为，
，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，的纵坐标为、的横坐标为，
代入，得，则
∴．
故选：D
【分析】根据三角函数的定义，可得，设，从而得到，，得到，再根据矩形的面积可得，求出a，求出k值，进而求得的坐标，即可求解．
11．分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作于点，，则　 　度．
【答案】50
【知识点】直角三角形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：平分，
．
，
．
，
．
故答案为：50
【分析】根据角平分线的定义可得，由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解．
13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
该方程有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式，
即：，
计算得，
解得：，
实数的取值范围是且．
【分析】先根据一元二次方程的定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
14．计算：　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：原式，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意计算cos60°的数值和负整数指数幂，再计算加法即可求解。
15．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图：
①在和上分别截取和，使，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D；
②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点E和点F．
根据以上作图，若，，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
由作法得平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
则即，
解得．
故答案为：
【分析】连接，根据题意可得，平分，垂直平分，，得，，从而得到，，由三角形外角的性质求出，得到，设，则，根据勾股定理建立方程求解即可．
16．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．
设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
【答案】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元，
因此可列方程，
解得，经检验，是分式方程的解，
则圆珠笔的数量为，
∵圆珠笔的数量一定是整数，
∴不符合题意．
故嘉嘉搞错了．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】设每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可解决问题．
17．如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．
（1）请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______；
（2）求圆周角的度数．
【答案】（1）
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
答：∠ADC的度数为45°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）
解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
【分析】
（1）根据网格图的特征和垂径定理可得：的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，连接，根据勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形可求解．
（1）解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，
所以圆心P的坐标为；
故答案为：
（2）解：弧弧，
，
连接，
，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
．
18．某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 m 1.1 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】
（1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值．
【应用模型】
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求b的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，把，代入得：
，
∴．
∴，
∴顶点坐标为，
当时，；
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴b的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，把，代入，用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，设解析式为，当时，，当时，，求出b的取值范围．
19．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再根据中点得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2） 根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而结合菱形或者矩形的判定即可求解。
（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
20．今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差
型号 14和16 15 1.4
型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____，_____．
（2）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
（3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
【答案】（1），
（2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）；
（3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值，
，
型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件，
中位数为．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，进而画出树状图，从而得到共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，再根据概率公式即可求解；
（3）根据众数、平均数、中位数的定义结合题意即可求解。
（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值，
，
型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件，
中位数为．
（2）解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）；
（3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）
21．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．
已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
任务1：
（1）某一时刻测得米，
①请直接写出________；
②请求出此时影子的长度；
任务2：
（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
【答案】任务①；
②如图，过点作于点，过点作于点，
结合题意可得：四边形为矩形，
由条件可知米，
在中，，
又，
解得：米，
此时影子的长度为米；
任务2：小明会被照射到．理由如下：
如图，过点作交于点
由条件可知，
由条件可知是等边三角形，
米
米，
.
米，
米，
当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到.
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍，
（米），
如图，过作于，而，
故答案为：；
【分析】任务1：①过作于，根据等腰三角形的性质可得再根据勾股定理求得，根据三角函数的定义即可求解；
②过点作于点，过点作于点，根据题意可得，根据三角函数的定义可得，根据角之间的关系可得，得到，最后利用三角函数即可得出的长度；
任务2：过点作交于点，由题意可得，是等边三角形，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可．
22．若一次整式A，B满足（k，t是常数，），我们称整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
如：对于一次整式，，因为，所以整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为11．
（1）为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式A 整式B A与B关联系数 关联结果
　
　 　
　 16
（2）请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
①猜想一次整式B与A“按序关联”的系数及结果，并说明理由；
②猜想一次整式A与nB（常数）“按序关联”的系数及结果；
（3）已知一次整式与关联系数为，关联结果为，A与2B关联系数为，关联结果为．若，，且总存在x的值，使整式A与的值相等，求a，b的取值范围．
【答案】（1）8，，，
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
【分析】（1）先理解“按序关联”的定义，再根据定义，逐个求解计算即可；
（2）①根据“按序关联”的定义，可得，分析然后求解即可；②根据“按序关联”的定义，可得，再根据定义对式子进行变形，求解即可；
（3）根据“按序关联”的定义，由（2）可得，，，结合， 求得，，从而得到，再根据题意，求解即可．
（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
23．综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则________．
（2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）．
（4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）如图，连接、、，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米），
由（1）可知，，
∴（米）．
∴小河最短是沿线段修建，距离为米．
（3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，
∵为的直径，，
∴点、点都在上，为的直径，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
（4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、，
∵，，点是的中点，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可求得：，
由（1）可知，
∴，
∴；
如图，当点在直线的右侧时，连接、，
同理可知，，
设，则，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
综上所述，线段与的数量关系是或．
【分析】（1）根据题意结合小吴同学方法得到，进而将AC和BC代入计算即可求解；
（2）先根据圆周角定理得到，进而即可得到，再根据勾股定理得到米，从而根据（1）即可求解；
（3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，先根据圆周角定理得到，进而根据正方形的判定与性质得到，，由（1）可知，，再结合题意根据勾股定理即可求解；
（4）根据题意分类讨论：点在直线的左侧和右侧，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理结合（1）中的结论即可求解。
1 / 1

展开更多......

收起↑