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山东省2026年数学中考真题试卷
1．下列实数中，比大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．山东是海洋大省，毗邻海域面积约为万平方公里．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线，直线分别交，于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两名同学分别记录了自己连续天的分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（　　）
A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为
C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙
9．在年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．对任意实数，总成立
D．若点，在抛物线上，则
11．计算：　 　．
12．如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于　 　．
13．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　．
14．如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，，若，则　 　．
15．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，若，，则的面积为　 　．
16．按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
18．在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
19．如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
20．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷问题你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？单选绘制校园平面地图读书长廊地面铺设设计测量校园内旗杆高度制定旅游最优路线体育运动与心率的关系探究问题假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？可多选查阅文献上网查询同伴合作寻求指导专业咨询问题问题你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的方式 A B C D E
选择人数 32 41 33 35 28
信息：问题调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
（4）【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
21．我国古代学者戴震在算学初稿中记载了一种可测量仰俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图，左矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，可知仰角，如图，右矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，则仰角　 　，　 　（结果精确到
（2）【应用探究】综合实践小组测量某景区城门楼如图的顶端到地面的距离的长度如图，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离结果精确到
22．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景如图甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分以下“花枪”均指花枪的中点．
（1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
23．在中，，．
（1）【观察与发现】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，求证：．
（2）【思考与探究】如图，过点作交于点点，分别在边，上，，连接，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展与延伸】如图，在的条件下，延长至点，使，连接，若，，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-2<0<0.5<1<
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的俯视图是
故答案为：C
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAM=180°-∠ABD=126°
由作图可得，AD平分∠BAM
∴
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=63°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠BAM，由作图可得，AD平分∠BAM，根据角平分线定义可得∠BAD，根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 由图可知，甲的成绩为：181，180，179，184，186，188；
乙的成绩为：177，179，181，183，188，188
A：第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，A错误；
B：甲的成绩中所有数据都出现1次，无众数，B错误；
C：甲的成绩从小到大排列为179，180，181，184，186，188，中位数为
乙的成绩从小到大排列为177，179，181，183，186，188，中位数为
∵182.5 > 182
∴甲的中位数大于乙，C错误；
D：甲成绩的平均数为：
方差为：
乙成绩的平均数为：
方差为：
∵
∴甲的跳绳成绩的方差小于乙，D正确
故答案为：D
【分析】根据众数，中位数，方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】 解：由题意，当0设小英的函数关系式为y=kx，则25k=2
解得：
∴
∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进
∴x≥40时，
设小杰的函数关系式为y=mx
又图象过(25，1.5)
∴25m＝1.5，解得：
∴小杰的函数关系式为
联立方程
解得：x=60
∴小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00
故答案为：C
【分析】由题意，当010．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，抛物线开口朝下，则a<0
∵顶点P(2，3)
∴对称轴为直线x=2，即
∴b=-4a，即4a+b=0，A错误；
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3
令x=0，则y=4a+3，即抛物线y轴的交点坐标为(0，4a+3)
由图象可得，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1下方
∴0<4a+3<1，解得：，B正确
根据图象，当x=2时，取得最大值为y=4a+2b+3
对任意实数t，
∴，C错误
∵对称轴为x=2
∴
当m=0时，两点到对称轴的距离相等
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系，对称性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据整式的加法即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意：该多边形为正六边形
∴内角和为：(6-2)×180°=720°
故答案为：720°
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴x-2=0或x-m=0
∴x=2或x=m
∵一个根为10，即m=10
另一个根为2
故答案为：2
【分析】根据仪式分解法解方程即可求出答案.
14．【答案】36
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：联立，解得：
∴点的坐标为：
∵点的坐标为：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
.....
∴
∴
故答案为：36
【分析】联立，解方程组可得点的坐标为：，根据两点间距离可得，建立方程，解方程可得，求出，，总结规律，即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DG，作FH⊥AD，CI⊥AD
∵AD=5，点E是边AD的中点
∴
由折叠可得，
∵GE∥AB，AB∥CD
∴EG∥CD
∴∠GEF=∠DFE
由折叠可得，∠DEF=∠GEF
∴∠DEF=∠DFE
∴
由折叠可得，
∴EG=DE=DF=GF
∴四边形DEGF是菱形
∴DG⊥EF
设DG，EF交点为J
∴J为DG中点
∴EJ∥AG，且
∴AG⊥DG
∵AD=5，AG=3
∴DG=4，JD=2
在△EDF中，
∴
解得：
设GF，CI交点为K
∵FH∥CI，KF∥HD
∴∠FDH=∠CFK，∠FHD=∠CID，∠CID=∠CKF
∴∠FHD=∠CKF
∴△FHD∽△CKF
∴
∵CD=AB=4
∴
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】连接DG，作FH⊥AD，CI⊥AD，根据线段中点可得，根据折叠可得，根据直线平行性质可得∠GEF=∠DFE，由折叠可得，∠DEF=∠GEF，则∠DEF=∠DFE，根据等角对等边可得，由折叠可得，，根据菱形判定定理可得四边形DEGF是菱形，则DG⊥EF，设DG，EF交点为J，根据三角形中位线定理可得EJ∥AG，且，根据边之间的关系可得DG，JD，根据三角形面积可得FH，设GF，CI交点为K，根据直线平行性质可得∠FDH=∠CFK，∠FHD=∠CID，∠CID=∠CKF，则∠FHD=∠CKF，根据相似三角形判定定理可得△FHD∽△CKF，则，代值计算可得CK，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，算术平方根性质，去括号法则化简，再计算加减即可求出答案.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
17．【答案】（1）证明：，
．
在中，点是的中点，
．
同理．
，
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
点，，是的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：
解得：
答：描金琉璃瓶单价元，内画瓶单价元．
（2）解：设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．
，
解得为整数．
设总费用为，则．
因，则随增大而增大，故当时，最小．
元
此时内画瓶数量为，最少费用为元．
答：购买个描金琉璃瓶和个内画瓶时总费用最少，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，根据题意建立不等式，解不等式可得m的取值范围，设总费用为，再根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：，
，
∴CD∥AB，
，
，
又是的直径，
是的切线．
（2）解：连接，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在中，，
，解得：，负值不合题意已经舍去，
，
设的半径为，即，则，
在中，，
，解得：，
答：的半径为
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直线平行判定定理可得CD∥AB，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，过点作，垂足为，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据正弦定义可得AC，根据勾股定理建立方程，解方程可得CH，设的半径为，即，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：参与调查的学生总数为人，
选择项目的学生人数为人，选择项目的学生人数为人，补全条形统计图如下：
（2）解：人
采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为人．
（3）解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域，
列表如下：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
由表可得，一共有种等可能的结果，其中选择同一领域的有种情况，
两人恰好选择同一领域的概率为．
（4）解：优先开设学生选择人数较多的主题“读书长廊地面铺设设计”和主题“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据①主题的人数与占比可得总人数，③，⑤主题的人数，再补全图形即可.
（2）根据500乘以对应占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出选择同一领域的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．【答案】（1）61°；1.8
（2）解：根据题意得：，，，，，，，
，
中，，
即，
，
设，则，
，
，
，
∴Rt△EMF中，，
即，
解得：，
，
答：城门楼的顶端到地面的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，AG⊥PQ，∠AQP=90°
∵∠DAE=29°
∴∠P=90°-∠DAE=61°
在正方形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠AED=90°-∠DAE=61°
∴∠P=∠AED
∴
故答案为：61°；1.8
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠P，∠AED，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据题意得：，，，，，，，根据正切定义可得EF=FN，设，则，根据角之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，建立平面直角坐标系．
由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
函数表达式为：．
当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
（2）解：当时，，
解得，（舍去，
丙的平均速度为（米秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①建立直角坐标系，由题意得，，设函数表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
②根据二次函数性质，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）将h=0代入解析式，解方程可得t值，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
（2）解：；理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
，
，
（3）解：延长，并取点，使，过点作于点，如图所示：
则，
，
为的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，根据旋转可得：，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠BAH，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠A，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据正切定义即可求出答案.
（3）延长，并取点，使，过点作于点，则，根据三角形中位线定理可得，，则，根据补角可得∠GNM，设，则，，，解直角三角形可得MN，GM，根据边之间的关系可得AM，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1山东省2026年数学中考真题试卷
1．下列实数中，比大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：-2<0<0.5<1<
故答案为：D
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．山东是海洋大省，毗邻海域面积约为万平方公里．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．如图所示几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的俯视图是
故答案为：C
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，直线，直线分别交，于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAM=180°-∠ABD=126°
由作图可得，AD平分∠BAM
∴
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=63°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠BAM，由作图可得，AD平分∠BAM，根据角平分线定义可得∠BAD，根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式即可求出答案.
8．甲、乙两名同学分别记录了自己连续天的分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（　　）
A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为
C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙
【答案】D
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 由图可知，甲的成绩为：181，180，179，184，186，188；
乙的成绩为：177，179，181，183，188，188
A：第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，A错误；
B：甲的成绩中所有数据都出现1次，无众数，B错误；
C：甲的成绩从小到大排列为179，180，181，184，186，188，中位数为
乙的成绩从小到大排列为177，179，181，183，186，188，中位数为
∵182.5 > 182
∴甲的中位数大于乙，C错误；
D：甲成绩的平均数为：
方差为：
乙成绩的平均数为：
方差为：
∵
∴甲的跳绳成绩的方差小于乙，D正确
故答案为：D
【分析】根据众数，中位数，方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．在年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】 解：由题意，当0设小英的函数关系式为y=kx，则25k=2
解得：
∴
∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进
∴x≥40时，
设小杰的函数关系式为y=mx
又图象过(25，1.5)
∴25m＝1.5，解得：
∴小杰的函数关系式为
联立方程
解得：x=60
∴小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00
故答案为：C
【分析】由题意，当010．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．对任意实数，总成立
D．若点，在抛物线上，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，抛物线开口朝下，则a<0
∵顶点P(2，3)
∴对称轴为直线x=2，即
∴b=-4a，即4a+b=0，A错误；
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3
令x=0，则y=4a+3，即抛物线y轴的交点坐标为(0，4a+3)
由图象可得，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1下方
∴0<4a+3<1，解得：，B正确
根据图象，当x=2时，取得最大值为y=4a+2b+3
对任意实数t，
∴，C错误
∵对称轴为x=2
∴
当m=0时，两点到对称轴的距离相等
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系，对称性质逐项进行判断即可求出答案.
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据整式的加法即可求出答案.
12．如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于　 　．
【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意：该多边形为正六边形
∴内角和为：(6-2)×180°=720°
故答案为：720°
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
13．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　．
【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴x-2=0或x-m=0
∴x=2或x=m
∵一个根为10，即m=10
另一个根为2
故答案为：2
【分析】根据仪式分解法解方程即可求出答案.
14．如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，，若，则　 　．
【答案】36
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：联立，解得：
∴点的坐标为：
∵点的坐标为：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
.....
∴
∴
故答案为：36
【分析】联立，解方程组可得点的坐标为：，根据两点间距离可得，建立方程，解方程可得，求出，，总结规律，即可求出答案.
15．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，若，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DG，作FH⊥AD，CI⊥AD
∵AD=5，点E是边AD的中点
∴
由折叠可得，
∵GE∥AB，AB∥CD
∴EG∥CD
∴∠GEF=∠DFE
由折叠可得，∠DEF=∠GEF
∴∠DEF=∠DFE
∴
由折叠可得，
∴EG=DE=DF=GF
∴四边形DEGF是菱形
∴DG⊥EF
设DG，EF交点为J
∴J为DG中点
∴EJ∥AG，且
∴AG⊥DG
∵AD=5，AG=3
∴DG=4，JD=2
在△EDF中，
∴
解得：
设GF，CI交点为K
∵FH∥CI，KF∥HD
∴∠FDH=∠CFK，∠FHD=∠CID，∠CID=∠CKF
∴∠FHD=∠CKF
∴△FHD∽△CKF
∴
∵CD=AB=4
∴
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】连接DG，作FH⊥AD，CI⊥AD，根据线段中点可得，根据折叠可得，根据直线平行性质可得∠GEF=∠DFE，由折叠可得，∠DEF=∠GEF，则∠DEF=∠DFE，根据等角对等边可得，由折叠可得，，根据菱形判定定理可得四边形DEGF是菱形，则DG⊥EF，设DG，EF交点为J，根据三角形中位线定理可得EJ∥AG，且，根据边之间的关系可得DG，JD，根据三角形面积可得FH，设GF，CI交点为K，根据直线平行性质可得∠FDH=∠CFK，∠FHD=∠CID，∠CID=∠CKF，则∠FHD=∠CKF，根据相似三角形判定定理可得△FHD∽△CKF，则，代值计算可得CK，再根据三角形面积即可求出答案.
16．按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，算术平方根性质，去括号法则化简，再计算加减即可求出答案.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
．
在中，点是的中点，
．
同理．
，
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
点，，是的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：
解得：
答：描金琉璃瓶单价元，内画瓶单价元．
（2）解：设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．
，
解得为整数．
设总费用为，则．
因，则随增大而增大，故当时，最小．
元
此时内画瓶数量为，最少费用为元．
答：购买个描金琉璃瓶和个内画瓶时总费用最少，为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，根据题意建立不等式，解不等式可得m的取值范围，设总费用为，再根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
∴CD∥AB，
，
，
又是的直径，
是的切线．
（2）解：连接，过点作，垂足为，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在中，，
，解得：，负值不合题意已经舍去，
，
设的半径为，即，则，
在中，，
，解得：，
答：的半径为
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直线平行判定定理可得CD∥AB，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，过点作，垂足为，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据正弦定义可得AC，根据勾股定理建立方程，解方程可得CH，设的半径为，即，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
20．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷问题你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？单选绘制校园平面地图读书长廊地面铺设设计测量校园内旗杆高度制定旅游最优路线体育运动与心率的关系探究问题假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？可多选查阅文献上网查询同伴合作寻求指导专业咨询问题问题你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息：将问题的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的方式 A B C D E
选择人数 32 41 33 35 28
信息：问题调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
（4）【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
【答案】（1）解：参与调查的学生总数为人，
选择项目的学生人数为人，选择项目的学生人数为人，补全条形统计图如下：
（2）解：人
采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为人．
（3）解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域，
列表如下：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
由表可得，一共有种等可能的结果，其中选择同一领域的有种情况，
两人恰好选择同一领域的概率为．
（4）解：优先开设学生选择人数较多的主题“读书长廊地面铺设设计”和主题“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据①主题的人数与占比可得总人数，③，⑤主题的人数，再补全图形即可.
（2）根据500乘以对应占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出选择同一领域的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．我国古代学者戴震在算学初稿中记载了一种可测量仰俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图，左矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，可知仰角，如图，右矩与视线重合，角度盘读数为，矩尺盘读数为，则仰角　 　，　 　（结果精确到
（2）【应用探究】综合实践小组测量某景区城门楼如图的顶端到地面的距离的长度如图，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离结果精确到
【答案】（1）61°；1.8
（2）解：根据题意得：，，，，，，，
，
中，，
即，
，
设，则，
，
，
，
∴Rt△EMF中，，
即，
解得：，
，
答：城门楼的顶端到地面的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，AG⊥PQ，∠AQP=90°
∵∠DAE=29°
∴∠P=90°-∠DAE=61°
在正方形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠AED=90°-∠DAE=61°
∴∠P=∠AED
∴
故答案为：61°；1.8
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠P，∠AED，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据题意得：，，，，，，，根据正切定义可得EF=FN，设，则，根据角之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
22．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景如图甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分以下“花枪”均指花枪的中点．
（1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．
【答案】（1）解：如图，建立平面直角坐标系．
由题意得，，设函数表达式为：，
把代入，得，
解得，
函数表达式为：．
当时，，
由题意得，，
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为；
当时，整理得，，
令，
当时，，
解得，，
的解集为或；
由题意得，，
综上所述，的取值范围为．
（2）解：当时，，
解得，（舍去，
丙的平均速度为（米秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①建立直角坐标系，由题意得，，设函数表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
②根据二次函数性质，建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）将h=0代入解析式，解方程可得t值，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
23．在中，，．
（1）【观察与发现】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，求证：．
（2）【思考与探究】如图，过点作交于点点，分别在边，上，，连接，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展与延伸】如图，在的条件下，延长至点，使，连接，若，，求线段的长度．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
（2）解：；理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
，
，
（3）解：延长，并取点，使，过点作于点，如图所示：
则，
，
为的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，根据旋转可得：，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠BAH，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠A，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据正切定义即可求出答案.
（3）延长，并取点，使，过点作于点，则，根据三角形中位线定理可得，，则，根据补角可得∠GNM，设，则，，，解直角三角形可得MN，GM，根据边之间的关系可得AM，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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