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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.3 证明（解析版）
1. 证明的意义
通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明（proof）。
注意：观察和实验不能代替证明，只有经过严格的逻辑推理才能确定一个命题的真假。
2. 证明的格式
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）分清命题的条件和结论，结合图形，在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论。
（2）在"证明"中写出推理过程。
证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由。
3. 三角形内角和定理的证明
三角形三个内角的和等于180°。
已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°。
证明：过点A作直线MN∥BC，则∠B＝∠MAB（两直线平行，内错角相等），∠C＝∠NAC（两直线平行，内错角相等）。故∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠MAB＋∠NAC＝180°。
注意：证明过程中每一步推理都要有依据。
4. 三角形的外角
由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫作三角形的外角。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。即∠ACD＝∠A＋∠B。
这是由三角形内角和定理直接推理得到的推论，推论也可以作为推理的依据。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
5. 证明的步骤与辅助线
证明几何命题的一般步骤：
第一步：分清命题的条件和结论，结合图形，在"已知"中写出条件，在"求证"中写出结论。
第二步：从条件出发，依据定义、基本事实、定理等，逐步推理，写出"证明"过程。
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中。辅助线通常画成虚线。
考点1、证明的意义
【解题思路】理解证明的必要性：观察、实验、归纳得出的结论不一定正确，需逻辑推理（证明）来确定真假。
例1．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例．
【答案】 证明 举反例 结论
【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．．
【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
故答案为：证明；举反例；结论．
变式1．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______．
【答案】 不一定， 证明
【解析】略
变式2．下列几个命题中正确的个数为（ ）
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；
④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.
个人年创利润/万元 10 8 5 3
员工人数 1 3 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理.
【详解】①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为不可能事件(骰子上各面点数依次为1,2,3,4,5,6)，故此选项错误；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误；
④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数，
故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误，
故正确的有1个.
故选；A.
考点2、证明的格式
【解题思路】证明格式："已知→求证→证明"，每步推理后括号内注明依据。
例2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
变式1．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
变式2．如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
【答案】垂线段最短.
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可；
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
考点3、三角形内角和定理的证明
【解题思路】过顶点作对边的平行线，利用平行线性质和平角的定义证明内角和为180°。
例3．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
变式1．在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论．
(1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：．
(2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？
【答案】(1)见解析
(2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度
【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键．
（1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案；
（2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：过点P作，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向，
∴，
∵C岛在B岛的北偏西方向，
∴，
∴，
∵B岛在A岛的北偏东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
；
答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度．
变式2．嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点A，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？）

(1)写出三个角、、的度数；
(2)补充完整嘉琪对于括号里的说明．
说明：，
；______
______（平角定义）
______（等量代换）
即三角形三个内角的和是______．
【答案】(1)，，；
(2)见解析．
【分析】（1）本题考查平行线的性质、平角定义，掌握相关性质，即可解题．
（2）本题考查平行线的性质、平角定义，掌握相关性质，即可解题．
【详解】（1）解： ，，，
，，
，
；
（2）说明：，
；，
，（平角定义）
，（等量代换）
即三角形三个内角的和是．
考点4、三角形的外角
【解题思路】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。利用此推论可求角度、判断三角形形状。
例4．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形的分类等知识点，掌握三角形外角的定义是解题的关键．
三角形的一个外角是锐角，根据外角性质，其相邻内角为钝角，因此三角形有一个钝角，为钝角三角形．
【详解】解：设三角形的一个外角为α，α为锐角，即．
∵ 外角与相邻内角互补，
∴ 相邻内角，
∵，
∴β为钝角，
∴ 三角形有一个内角为钝角，
∴ 此三角形为钝角三角形．
故选：C．
变式1．如图，中，，外角，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
由三角形的外角性质得到，由此求解即可．
【详解】解：，，
∴．
故选：B．
变式2．如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得，
．
故选D．
考点5、证明的步骤与辅助线
【解题思路】按"写已知求证→推理→检查"的步骤进行，需要时添加辅助线（虚线）。
例5．如图，在中，，，平分．

(1)在中，画出边上的高，并延长交于点；
(2)求和的度数；
(3)试说明：．
【答案】(1)见解析．
(2)，．
(3)见解析．
【分析】本题主要考查三角形的高的定义、角平分线的定义、三角形内角和、三角形的外角的性质，牢记三角形的高的定义、角平分线的定义、三角形内角和、三角形的外角的性质是解题的关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线段的方法作图即可．
（2）先求得和的度数，根据，即可求得答案．
（3）根据，即可求得答案．
【详解】（1）如图，过点作的垂线段，交于点，并延长交于点．

（2）∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（3）∵，，
∴．
变式1．抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为_____．
【答案】/122度
【分析】本题涉及平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
通过作辅助线，构造与已知角相关的角，利用平行线的性质求出这些角的度数，再根据三角形外角的性质求出所求角的度数．
【详解】解：如图，延长交于点．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
变式2．说出如图所示图形中和的度数：
【答案】，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数．
【详解】解：，
．
一、选择题
1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（ ）
A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购
C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，有③⑤可确定在A超市采购足球，在C超市采购排球，由②④可确定乙在C超市采购，在由①可得甲和乙所在的超市，据此可得答案．
【详解】解：由③⑤可知，在A超市采购足球，在C超市采购排球，
由②④可知，乙在C超市采购，
由①可知，甲在B超市采购，则丙在A超市采购，
∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
2．（2024八年级上·湖北十堰·专题练习）小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（ ）
A．小东 B．小雨 C．小丽
【答案】C
【分析】本题主要考查逻辑推理，关键是从二人的语言中找到名称的排列关系；即可求解.
【详解】解：根据题意，小丽说：我不是最后一名，那么小丽是第一名或第二名；
小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好，那么小雨是第二名，小丽是第一名，
故选：C.
二、填空题
3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）小师和小滨进行10次“剪刀石头布”对决，无平局．小师：3次石头，6次剪刀，1次布；小滨：2次石头，4次剪刀，4次布 ，则赢者是 ______．
【答案】小师
【分析】本题考查的是推理论证，方程组的应用，根据已知条件做出正确分析，注意每一步都有根据和理由．根据“剪刀石头布”的规则和无平局条件，通过建立方程求解小师和小滨出拳的匹配情况，计算小师和小滨的胜场数．
【详解】解：设小师出石头时，小滨出剪刀的次数为 ，出布的次数为 ，则 ，
小师出剪刀时，小滨出石头的次数为 ，出布的次数为 ，则 ，
小师出布时，小滨出石头的次数为 ，出剪刀的次数为 ，则 ，
小滨出石头 2 次，故 ，
小滨出剪刀 4 次，故 ，
小滨出布 4 次，故 ，
解得 ，，，，，，
小师胜场：小师出石头且小滨出剪刀 次，小师出剪刀且小滨出布 次，小师出布且小滨出石头 次，共 次，
小滨胜场：小滨出石头且小师出剪刀 次，小滨出剪刀且小师出布 次，小滨出布且小师出石头 次，共 次，
故小师赢，
故答案为：小师．
二、填空题
4．（2024·江西·一模）将一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为______．
【答案】/39度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图： 标注各顶点，

由题意得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴， 而，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，图中的等于________．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：
6．（24-25八年级上·浙江·期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为__________．
【答案】/度
【难度】0.85
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案．
【详解】，，
．
故答案为：．
三、解答题
7．（2024八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算．
【详解】解：∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
答：的度数为．
8．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，平分．
(1)求的度数；
(2)求与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，根据外角的性质得出；
（2）根据三角形外角的性质得出，由（1）得的度数，根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∴，
（2）解：∵是的外角，
∴，
∴，
∴．
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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.3 证明（原卷版）
1. 证明的意义
通过实验、观察、归纳得到的结论可能______，也可能______。要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的______出发，根据已知的______、______、______（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作______（proof）。
注意：观察和实验______代替证明，只有经过严格的______才能确定一个命题的真假。
2. 证明的格式
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）分清命题的______和______，结合图形，在"______"中写出条件，在"______"中写出结论。
（2）在"______"中写出推理过程。
证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的______。
3. 三角形内角和定理的证明
三角形三个内角的和等于______。
已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝______。
证明：过点A作直线MN∥BC，则∠B＝∠MAB（____________________），∠C＝∠NAC（____________________）。故∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠MAB＋∠NAC＝______。
注意：证明过程中每一步推理都要有______。
4. 三角形的外角
由三角形的一条边的______和另一条______的边组成的角，叫作三角形的外角。
三角形的外角等于与它______的两个内角的______。即∠ACD＝∠A＋∠B。
这是由____________________直接推理得到的______，______也可以作为推理的依据。
三角形的一个外角______任何一个与它不相邻的内角。
5. 证明的步骤与辅助线
证明几何命题的一般步骤：
第一步：分清命题的______和______，结合图形，在"______"中写出条件，在"______"中写出结论。
第二步：从条件出发，依据______、______、______等，逐步推理，写出"______"过程。
在解决几何问题时，有时需要添加______。添______的过程要写入证明中。辅助线通常画成______。
考点1、证明的意义
【解题思路】理解证明的必要性：观察、实验、归纳得出的结论不一定正确，需逻辑推理（证明）来确定真假。
例1．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例．
变式1．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______．
变式2．下列几个命题中正确的个数为（ ）
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；
④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.
个人年创利润/万元 10 8 5 3
员工人数 1 3 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、证明的格式
【解题思路】证明格式："已知→求证→证明"，每步推理后括号内注明依据。
例2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
变式1．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
变式2．如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
考点3、三角形内角和定理的证明
【解题思路】过顶点作对边的平行线，利用平行线性质和平角的定义证明内角和为180°。
例3．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
变式1．在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论．
(1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：．
(2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？
变式2．嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点A，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？）

(1)写出三个角、、的度数；
(2)补充完整嘉琪对于括号里的说明．
说明：，
；______
______（平角定义）
______（等量代换）
即三角形三个内角的和是______．
考点4、三角形的外角
【解题思路】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。利用此推论可求角度、判断三角形形状。
例4．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形
变式1．如图，中，，外角，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
变式2．如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点5、证明的步骤与辅助线
【解题思路】按"写已知求证→推理→检查"的步骤进行，需要时添加辅助线（虚线）。
例5．如图，在中，，，平分．

(1)在中，画出边上的高，并延长交于点；
(2)求和的度数；
(3)试说明：．
变式1．抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为_____．
变式2．说出如图所示图形中和的度数：
一、选择题
1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（ ）
A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购
C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购
2．（2024八年级上·湖北十堰·专题练习）小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（ ）
A．小东 B．小雨 C．小丽
二、填空题
3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）小师和小滨进行10次“剪刀石头布”对决，无平局．小师：3次石头，6次剪刀，1次布；小滨：2次石头，4次剪刀，4次布 ，则赢者是 ______．
4．（2024·江西·一模）将一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为______．
5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，图中的等于________．
6．（24-25八年级上·浙江·期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为__________．
三、解答题
7．（2024八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数．
8．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，平分．
(1)求的度数；
(2)求与之间的数量关系．
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