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浙教版新版八上第一单元 新知超前
1.4 全等三角形（解析版）
1. 全等图形
能够重合的两个图形称为全等图形（congruent figures）。全等图形的形状和大小完全相同。
2. 全等三角形
能够重合的两个三角形叫作全等三角形（congruent triangles）。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫作全等三角形的对应边，互相重合的角叫作全等三角形的对应角。
3. 全等三角形的表示
"全等"用符号"≌"表示。如△ABC和△A'B'C'全等，记作"△ABC≌△A'B'C'"，读作"三角形ABC全等于三角形A'B'C'"。用符号"≌"表示两个三角形全等时，常把对应顶点的字母写在对应位置上。
4. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是由全等三角形的定义直接得到的性质，也是判定两个三角形全等后推导其他结论的依据。
考点1、全等图形
【解题思路】全等图形形状和大小完全相同，能够完全重合。
例1．下列选项中表示两个全等的图形的是（　　）
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
【答案】D
【分析】全等图形：能够完全重合的平面图形。特点是形状、大小相同．
【详解】解：A、形状相同的两个图形，大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；
B、周长相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；
C、面积相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；
D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
变式1．如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
【答案】A
【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同．
【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同．
故选：A．
变式2．下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选∶B．
考点2、全等三角形的概念
【解题思路】理解全等三角形中对应顶点、对应边、对应角的概念，能准确找出对应元素。
例2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　）
B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案．
【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点，
∴边的对应边是，
故选：B．
变式1．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可．
【详解】解：观察图形可知：，，
∴和是对应边，
而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边，
∴边的对应边为．
故选D．
变式2．下列结论：①三角形按边分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②两个图形关于某条直线对称，则对应边所在的直线一定交于一点；③能够完全重合的两个图形一定全等．其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的分类、轴对称的性质、全等的判定，根据三角形的分类、轴对称的性质、全等的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形，故①说法错误，不符合题意；
两个图形关于某直线对称，那么它们的对应线段或延长线可能平行，也可能相交，如果相交，那么交点一定在对称轴上，故②说法错误，不符合题意；
能够完全重合的两个图形一定全等，故③说法正确，符合题意；
综上所述，正确的有③，共1个，
故选：B．
考点3、全等三角形的表示
【解题思路】用"≌"表示全等，记作△ABC≌△A'B'C'，对应顶点写在对应位置。
例3．下列说法不正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
【答案】A
【分析】根据全等图形的判定以及性质、全等三角形的性质解决此题．
【详解】解：A．面积相等的两个图形不一定是全等图形，故A符合题意．
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等，说法正确，故B不符合题意．
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，说法正确，故C不符合题意．
D．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，说法正确，故D不符合题意．
故选：A．
变式1．有下列说法：
①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的定义全等三角形的周长，平行线的性质．根据平行线的性质和定义，全等三角形的周长，逐项进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原说法正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
④全等三角形的周长相等，原说法正确；
⑤面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，原说法正确．
综上分析可知，正确的有①③④⑥，共4个．
故选：C．
变式2．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角．
(1)，对应边是 ，对应角是 ；
(2)，对应边是 ，对应角是 ；
(3)，对应边是 ，对应角是 ；
(4)，对应边是 ，对应角是 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
（4）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：，对应边是，
对应角是；
故答案为：；；
（2）解：，对应边是，
对应角是；
故答案为：；；
（3）解：，对应边是，
对应角是；
故答案为：；；
（4）解：，对应边是，
对应角是．
故答案为：；．
考点4、全等三角形的性质
【解题思路】全等三角形的对应边相等，对应角相等。利用此性质可求边长、角度。
例4．如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
变式1．如图，，，，则的度数是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：C．
变式2．如图，，其中，，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，根据三角形的内角和为180度，求出，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
一、选择题
1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．
先根据三角形全等得到，再求得的长度即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，，如果，，，那么的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等可知，边长为m和边长为n的两条边的夹角相等，即，据此可得答案．
【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，
∴，
故选：A．
二、填空题
4．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，若，则_____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知图中的两个三角形全等，则________°．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数．
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数．
【详解】解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角为，根据全等三角形对应角相等，所以．
故答案为：．
6．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝_____．
【答案】13
【分析】本题考查全等三角形的性质、代数式求值，根据全等三角形的对应边相等求得x、y值，进而相加即可求解．
【详解】解：∵三条边长分别为4、7、x的三角形与三条边分别为y、4、6的三角形全等，
当，，
∴．
当，时两个三角形不全等，舍去．
故答案为：13．
三、解答题
7．（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，进而求得的值，然后由求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
8．90．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等结合角的和差关系推导是解题的关键．
由得，，再通过 “角的和差关系”，用大角减去对应小角即可得出．
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，
即．
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1.4 全等三角形（原卷版）
1. 全等图形
能够______的两个图形称为全等图形（congruent figures）。全等图形的形状和大小完全相同。
2. 全等三角形
能够______的两个三角形叫作______（congruent triangles）。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的______，互相重合的边叫作全等三角形的______，互相重合的角叫作全等三角形的______。
3. 全等三角形的表示
"全等"用符号"______"表示。如△ABC和△A'B'C'全等，记作"______"，读作"三角形ABC全等于三角形A'B'C'"。用符号"≌"表示两个三角形全等时，常把______的字母写在______上。
4. 全等三角形的性质
全等三角形的______，______。这是由全等三角形的定义直接得到的性质，也是判定两个三角形全等后推导其他结论的依据。
考点1、全等图形
【解题思路】全等图形形状和大小完全相同，能够完全重合。
例1．下列选项中表示两个全等的图形的是（　　）
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
变式1．如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
变式2．下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2、全等三角形的概念
【解题思路】理解全等三角形中对应顶点、对应边、对应角的概念，能准确找出对应元素。
例2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　）
A． B． C． D．
变式1．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
B． C． D．
变式2．下列结论：①三角形按边分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②两个图形关于某条直线对称，则对应边所在的直线一定交于一点；③能够完全重合的两个图形一定全等．其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点3、全等三角形的表示
【解题思路】用"≌"表示全等，记作△ABC≌△A'B'C'，对应顶点写在对应位置。
例3．下列说法不正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
变式1．有下列说法：
①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角．
(1)，对应边是 ，对应角是 ；
(2)，对应边是 ，对应角是 ；
(3)，对应边是 ，对应角是 ；
(4)，对应边是 ，对应角是 ．
考点4、全等三角形的性质
【解题思路】全等三角形的对应边相等，对应角相等。利用此性质可求边长、角度。
例4．如图，已知，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
变式1．如图，，，，则的度数是（ ）
B． C． D．
变式2．如图，，其中，，则（ ）
B． C． D．
一、选择题
1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．5
2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，，如果，，，那么的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，若，则_____．
（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知图中的两个三角形全等，则________°．
6．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝_____．
三、解答题
7．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，．求证：．
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