资源简介

四川省达州市宣汉县2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A 分母是x，是字母！符合 “分母含字母” 的条件，A正确； B 这个式子是多项式，根本没有单独的分母，更别说分母里的字母了，所以它是整式，B错误；
C 分母是数字5，没有字母，是多项式的一种形式，C错误；
D 分母是数字9，也没有字母，同样是整式，D错误；
故答案选：A．
【分析】本题考查的是分式的定义：分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．据此判断即可．
2．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，A不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，B不符合题意；
C．该图是中心对称图形，C符合题意；
D．该图不是中心对称图形，D不符合题意．
故答案选：C．
【分析】依据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形。
3．在中，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：在中，与为邻角，因此，
已知，代入得，
故选：B．
【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB 是这两条平行线的截线，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，这两个邻角加起来一定是 180°，也就是∠A + ∠B = 180°因为∠A 是 80°，那直接代入上式子算出∠B。
4．研究表明，运动时将心率控制在最佳燃脂心率（次）范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．已知最佳燃脂心率最高值为，最低值为，则20岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：最高值为；
最低值为；
因此，20岁的人最佳燃脂心率范围为，
故选：C．
【分析】先把年龄 20 代入，算出心率最低值以及最高值，心率 p 就在 120 到 140 之间，写成不等式就是 120 ≤ p ≤ 140；
5．将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（　　）
A．是的一条角平分线 B．是的一条高线
C．是的一条中线 D．垂直平分边
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：点的对应点是点
根据折叠的性质，折痕垂直平分对，
又点和点重合，
垂直平分，
故选：．
【分析】本题考查了折叠的性质，折叠前后图形全等，对应点被折痕垂直平分， 折叠的时候，折痕就是两个对应点连线的垂直平分线就像把纸对折，折痕会把两个点之间的线段分成两半，而且跟这条线段是 90 度垂直的。
6．小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
，
∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉．
故选：D．
【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)进行因式分解即可．
7．某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为．根据方程在题干中省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误8天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误8天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前8天完成了这一任务
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，
∵所列方程为，
∴提高工作效率后比原计划提前8天完成这一任务，
∴省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务．
故选：A．
【分析】设原计划每天绿化 x 万平方米，总工程量是 60 万㎡，所以 就是原计划完成工程的总天数。实际效率是 (1+25%)x，这里的 1+25% 说明：实际效率比原计划提高了 25%。对应的，(1+25%)x60 就是实际完成工程，整个方程 说明原计划用的时间比实际多 8 天，也就是实际比原计划提前 8 天完成。
8．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：A．因为，所以，A不符合题意；
B．因为，，所以，B不符合题意；
C．因为，所以，C符合题意；
D．因为，，所以，D不符合题意．
故选：C．
【分析】不等式两边乘 / 除以负数时，不等号方向要变号；乘 / 除以正数，方向不变。 不等式两边加 / 减同一个数，不等号方向永远不变。 数轴上右边的数永远比左边的数大。
9．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，，
∴四边形，四边形为平行四边形，
由条件可知，，，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】大平行四边形被对角线分成两半，先算出一半的面积；两个已知的小平行四边形，各自被对角线分成两半，算出里面三角形的面积；用大三角形的面积，减去两个小三角形的面积，剩下的就是要求的四边形面积。
10．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得，根据角之间的转换可得，故①正确；当时，根据全等三角形判定定理可得，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】 解：由图可知，当时，，
即不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】题目给的不等式是：axkx+b，在交点的右边（x> 2）：y2 在y1 的下方，也就是 ax12．如图，在正五边形中，连接，则的度数是　 　度．
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的各条边相等，各个内角都相等可得AB=BC=DE=AE，∠B=∠E=∠BAE==108°，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAC=∠DAE=36°，最后根据角的构成，由∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE列式计算即可.
13．如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】18
【知识点】平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵将沿射线方向平移，得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
阴影部分的面积为
故答案为：．
【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，根据将沿射线方向平移，得到，平移有个关键性质：平移前后图形的形状、大小完全不变，对应点的平移距离都相等，得，， 根据勾股定理求出，梯形的一条底是 AA'， 梯形的另一条底是 CB'，再运用梯形的面积公式列式计算。
14．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，取中点K，连接，
∵P，Q分别为的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，QK是 △ADE 的中位线 ，PK是 △ABD 的中位线，由三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边且第三边长度的一半 推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长．
15．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则　 　．
【答案】12
【知识点】因式分解的应用；分式的乘除法；质数与合数
【解析】【解答】解：
，
、、是大于1的正整数，
∴不妨设，
∴，，
∴，
∵为整数，
∴，
当时，则，不符合题意，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
【分析】不妨设，根据缩放法求出，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，得到，求出；当，得到，则，然后求和解答即可．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）解分式方程：；
（2）先因式分解，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：方程变形为，
两边同乘得：，
去括号：，
移项、合并同类项：，
解得：，
检验：当时，，
故是原方程的解；
（2）解：原式，
当，时，
原式
【知识点】因式分解﹣公式法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查的知识点是解分式方程、公式法因式分解、已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握相关运算．
（1）先将方程变形为，再去分母、去括号、移项、合并同类项后即可求解，注意需检验；
（2）a2 2ab+b2=(a b)2，其中 a=x，b=2y，因此：x2 4xy+4y2=(x 2y)2．再代入数值即可。
17．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】解：解不等式组，解第一个不等式：，
，
，
，
解第二个不等式：，
，
，
，
∴不等式组的解集为，
数轴表示：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先按照整式方程的解题步骤解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并表示在数轴上即可．
18．先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值．
【答案】解：
，
∵且，，且为整数，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出a=2，最后将a的值代入计算求解即可.
19．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
与为直角三角形，
在与中，
，
.
（2）解：，
，
，，
，
．
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用“HL”证出即可；
（2）先利用角的运算求出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出∠ACF的度数即可.
（1）证明：，
与为直角三角形，
在与中，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
20．如图，在四边形中，，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，平分，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，∴，
平分，
，
∴，则
在中，由勾股定理，得，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出∠EAC=∠B=30°，可利用我肚饿的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，再根据平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
平分，
，
∴，则
在中，由勾股定理，得，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．
（1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出；
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出；
（3）画出关于原点成中心对称的．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析；
（3）作图见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
（1）绘制结果如下图所示：
（2）绘制结果如下图所示．
（3）绘制结果如下图所示．
【分析】
（1）首先根据点平移后的对应点坐标为，确定出图形的平移规律，再依据平移的性质完成作图即可；
（2）根据旋转的性质，找到对应点后顺次连接，即可作出所求图形；
（3）根据中心对称的性质，找到各顶点的对称点后顺次连接，即可得到所求作的中心对称图形．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
22．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，且，求的面积.
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
（1） 首先，∠ACB 是 100°，它和∠ACD 在一条直线上，加起来是 180°，所以∠ACD 就是 80°。
再看右边的△CEH，EH 垂直于 BD，所以它是个直角三角形，∠CEH 给了是 50°，那剩下的∠DCE 就是 40°。∠ACD -∠DCE 即可。
（2）首先，BE 是∠ABC 的平分线，E 在角平分线上，它到两边 AB 和 BD 的距离 EM 和 EH 肯定相等由第一问可知∠ACE 和∠DCE 都是 40°，说明 CE 也是个角平分线，平分了∠ACD。那 E 到两边 AC 和 CD 的距离 EN 和 EH 也肯定相等。E 点到∠CAF 两边的距离相等，那根据角平分线的判定，AE 就是∠CAF 的平分线了。
（3）△ABE 的底 AB 是 10，重点求出高 EM 的长度，面积就出来了。△ACD 的面积，它可以分成△ACE 和△DCE 两部分，这两个三角形的高，EN 和 EH。所以△ACD 的面积则为 (AC+CD) 再乘x。△ACD 的面积是 24，代入进去EM 就是 3，求△ABE 的面积。
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分；
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为．
23．某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同．
（1）求每千克牛肉干的进货价．
（2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共．
①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？
②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，
依题意得：，
解得，
经检验是原方程的解．
答：每千克牛肉干进货价为元
（2）解：①设购进牛肉干，则干香菇，则，
，
解得，
答：最少购进牛肉干
②利润，
由得，
，
∴，
则W随y的增大而增大，
当时，最大，即购进牛肉干，干香菇
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，首先‘用 6000 元买牛肉干的质量，和 4800 元买香菇的质量相同’，质量等于总价除以单价，就得到方程 =.
（2）①设购进牛肉干，则干香菇， 先算每千克的利润：牛肉干卖 160，进价 100，每千克赚 60；香菇卖 120，进价 80，每千克赚 40，总利润就是 60y + 40 (200-y)，总利润需要≥10800 元，解这个不等式 ；
②利润， 20 - a 是正数，一次函数 W 随 y 的增大而增大，所以 y 取最大值 150 的时候，利润最大 ，则当时，利润最大．
（1）解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，
依题意得：，
解得，
经检验是原方程的解．
答：每千克牛肉干进货价为元．
（2）解：①设购进牛肉干，则干香菇，
则，
，
解得，
答：最少购进牛肉干
②利润，
由得，
，
∴，
则W随y的增大而增大，
当时，最大，即购进牛肉干，干香菇．
24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例1：因式分解：．
例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）因式分解：_____；
（2）若满足，求的值；
（3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
，，
．
（3）解：∵
，
又∵，，
∴当，原式有最小值，
即时，有最小值为16．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
（1）
解：
；
【分析】
（1）先利用配方法把原多项式表示平方差的形式再分解因式即可；
（2）先利用配方法把原多项式的左边表示成两个完全平方式的和，又因为这两个完全平方式互为相反数，则可得，，最后再求幂即可；
（3）先利用配方法把原多项式转化成两个完全平方式与一常数和的形式，再根据完全平方式的非负性求出最小值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，，
．
（3）解：∵
，
又∵，，
∴当，原式有最小值，
即时，有最小值为16．
25．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点．
（1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请求出的长．
【答案】（1）.
（2）解：结论成立，理由如下：
连接，，如图：
是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC
同理：∠DAE=60°，DA=AE
∴∠ACE=180°-∠ACB=120°
∴
，
由题意可知：∠CEF=120°，CE=EF
∴DB=EF
∵
四边形是平行四边形
.
（3）解：如图：当点在的延长线上时，作于，连接
由（1）知：AC=BC=6，∠BAC=60°
在Rt△ACG中，
∵
由（2）知：
∵是等边三角形
∴
∴
如图：当点在上时，作于
同上知：AG=，GC=3
∴EG=GC-EC=3-2=1
在Rt△AEG中，
由（2）知：
∵是等边三角形
∴
综上所述：的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形∴AB=AC，
∵点是的中点
∴AE平分∠BAC
∴=30°
是等边三角形
，AD=AE
∴M为DE的中点
故答案为：.
【分析】（1）先根据是等边三角形 ，点是的中点，得到AE平分∠BAC，=30°，再根据是等边三角形，得到，因而，再根据等腰三角形三线合一，得到DM=EM.
（2）连接，DF，根据和是等边三角形，得到∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∠DAE=60°，DA=AE，从而，因此，，，再根据同旁内角互补，两直线平行，得到：，可得：四边形是平行四边形，因此.
（3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于时，根据AC=BC=6，可得，在Rt△ACG中，根据勾股定理计算出AG的长，即：，再求出EG=5，最后根据勾股定理求出AE的长，即：，然后根据（2）中的结论，求出DM的长，当点在上时，作于，同上解析即可.

（1）解：是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：结论成立，证明如下：
连接，，如图，
和是等边三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图，
，
∴
，
，
，
由（2）知：，
和是等边三角形，
∴
当点在上时，作于，如图，
同上知：和是等边三角形，
∴，
，
，
，
∵
∴
，
综上所述：的长为或．
1 / 1四川省达州市宣汉县2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在中，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．研究表明，运动时将心率控制在最佳燃脂心率（次）范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．已知最佳燃脂心率最高值为，最低值为，则20岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
5．将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（　　）
A．是的一条角平分线 B．是的一条高线
C．是的一条中线 D．垂直平分边
6．小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：美、我、宣、汉、丽、爱．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．宣汉美 B．爱宣汉 C．我爱宣汉 D．美丽宣汉
7．某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变……设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为．根据方程在题干中省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误8天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误8天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前8天完成了这一任务
8．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
12．如图，在正五边形中，连接，则的度数是　 　度．
13．如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则　 　．
15．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）解分式方程：；
（2）先因式分解，再求值：，其中，．
17．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
18．先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值．
19．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，在四边形中，，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，平分，求四边形的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．
（1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出；
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出；
（3）画出关于原点成中心对称的．
22．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，且，求的面积.
23．某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同．
（1）求每千克牛肉干的进货价．
（2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共．
①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？
②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？
24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例1：因式分解：．
例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）因式分解：_____；
（2）若满足，求的值；
（3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
25．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点．
（1）如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请求出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A 分母是x，是字母！符合 “分母含字母” 的条件，A正确； B 这个式子是多项式，根本没有单独的分母，更别说分母里的字母了，所以它是整式，B错误；
C 分母是数字5，没有字母，是多项式的一种形式，C错误；
D 分母是数字9，也没有字母，同样是整式，D错误；
故答案选：A．
【分析】本题考查的是分式的定义：分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．据此判断即可．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是轴对称图形，A不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，B不符合题意；
C．该图是中心对称图形，C符合题意；
D．该图不是中心对称图形，D不符合题意．
故答案选：C．
【分析】依据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：在中，与为邻角，因此，
已知，代入得，
故选：B．
【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB 是这两条平行线的截线，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，这两个邻角加起来一定是 180°，也就是∠A + ∠B = 180°因为∠A 是 80°，那直接代入上式子算出∠B。
4．【答案】C
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：最高值为；
最低值为；
因此，20岁的人最佳燃脂心率范围为，
故选：C．
【分析】先把年龄 20 代入，算出心率最低值以及最高值，心率 p 就在 120 到 140 之间，写成不等式就是 120 ≤ p ≤ 140；
5．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：点的对应点是点
根据折叠的性质，折痕垂直平分对，
又点和点重合，
垂直平分，
故选：．
【分析】本题考查了折叠的性质，折叠前后图形全等，对应点被折痕垂直平分， 折叠的时候，折痕就是两个对应点连线的垂直平分线就像把纸对折，折痕会把两个点之间的线段分成两半，而且跟这条线段是 90 度垂直的。
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
，
∴结果呈现的密码信息可能是：美丽宣汉．
故选：D．
【分析】本题考查了因式分解的应用．先运用提公因式法，再运用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)进行因式分解即可．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，
∵所列方程为，
∴提高工作效率后比原计划提前8天完成这一任务，
∴省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成了这一任务．
故选：A．
【分析】设原计划每天绿化 x 万平方米，总工程量是 60 万㎡，所以 就是原计划完成工程的总天数。实际效率是 (1+25%)x，这里的 1+25% 说明：实际效率比原计划提高了 25%。对应的，(1+25%)x60 就是实际完成工程，整个方程 说明原计划用的时间比实际多 8 天，也就是实际比原计划提前 8 天完成。
8．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：A．因为，所以，A不符合题意；
B．因为，，所以，B不符合题意；
C．因为，所以，C符合题意；
D．因为，，所以，D不符合题意．
故选：C．
【分析】不等式两边乘 / 除以负数时，不等号方向要变号；乘 / 除以正数，方向不变。 不等式两边加 / 减同一个数，不等号方向永远不变。 数轴上右边的数永远比左边的数大。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，，
∴四边形，四边形为平行四边形，
由条件可知，，，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】大平行四边形被对角线分成两半，先算出一半的面积；两个已知的小平行四边形，各自被对角线分成两半，算出里面三角形的面积；用大三角形的面积，减去两个小三角形的面积，剩下的就是要求的四边形面积。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，，
，故①正确；
若，
由①得，
，
，故②正确；
若，则可得，
，
D为中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得，
故，
当时，
；
当，
，故④不正确，
所以正确的为①②③，为3个，
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得，根据角之间的转换可得，故①正确；当时，根据全等三角形判定定理可得，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】 解：由图可知，当时，，
即不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】题目给的不等式是：axkx+b，在交点的右边（x> 2）：y2 在y1 的下方，也就是 ax12．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据正多边形的各条边相等，各个内角都相等可得AB=BC=DE=AE，∠B=∠E=∠BAE==108°，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAC=∠DAE=36°，最后根据角的构成，由∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE列式计算即可.
13．【答案】18
【知识点】平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵将沿射线方向平移，得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
阴影部分的面积为
故答案为：．
【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，根据将沿射线方向平移，得到，平移有个关键性质：平移前后图形的形状、大小完全不变，对应点的平移距离都相等，得，， 根据勾股定理求出，梯形的一条底是 AA'， 梯形的另一条底是 CB'，再运用梯形的面积公式列式计算。
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，取中点K，连接，
∵P，Q分别为的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，QK是 △ADE 的中位线 ，PK是 △ABD 的中位线，由三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边且第三边长度的一半 推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长．
15．【答案】12
【知识点】因式分解的应用；分式的乘除法；质数与合数
【解析】【解答】解：
，
、、是大于1的正整数，
∴不妨设，
∴，，
∴，
∵为整数，
∴，
当时，则，不符合题意，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
【分析】不妨设，根据缩放法求出，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，得到，求出；当，得到，则，然后求和解答即可．
16．【答案】（1）解：方程变形为，
两边同乘得：，
去括号：，
移项、合并同类项：，
解得：，
检验：当时，，
故是原方程的解；
（2）解：原式，
当，时，
原式
【知识点】因式分解﹣公式法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题考查的知识点是解分式方程、公式法因式分解、已知字母的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握相关运算．
（1）先将方程变形为，再去分母、去括号、移项、合并同类项后即可求解，注意需检验；
（2）a2 2ab+b2=(a b)2，其中 a=x，b=2y，因此：x2 4xy+4y2=(x 2y)2．再代入数值即可。
17．【答案】解：解不等式组，解第一个不等式：，
，
，
，
解第二个不等式：，
，
，
，
∴不等式组的解集为，
数轴表示：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先按照整式方程的解题步骤解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并表示在数轴上即可．
18．【答案】解：
，
∵且，，且为整数，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出a=2，最后将a的值代入计算求解即可.
19．【答案】（1）证明：，
与为直角三角形，
在与中，
，
.
（2）解：，
，
，，
，
．
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用“HL”证出即可；
（2）先利用角的运算求出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出∠ACF的度数即可.
（1）证明：，
与为直角三角形，
在与中，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，∴，
平分，
，
∴，则
在中，由勾股定理，得，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出∠EAC=∠B=30°，可利用我肚饿的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，再根据平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
平分，
，
∴，则
在中，由勾股定理，得，
∴．
21．【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析；
（3）作图见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
（1）绘制结果如下图所示：
（2）绘制结果如下图所示．
（3）绘制结果如下图所示．
【分析】
（1）首先根据点平移后的对应点坐标为，确定出图形的平移规律，再依据平移的性质完成作图即可；
（2）根据旋转的性质，找到对应点后顺次连接，即可作出所求图形；
（3）根据中心对称的性质，找到各顶点的对称点后顺次连接，即可得到所求作的中心对称图形．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
（3）解：如图所示．
22．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
（1） 首先，∠ACB 是 100°，它和∠ACD 在一条直线上，加起来是 180°，所以∠ACD 就是 80°。
再看右边的△CEH，EH 垂直于 BD，所以它是个直角三角形，∠CEH 给了是 50°，那剩下的∠DCE 就是 40°。∠ACD -∠DCE 即可。
（2）首先，BE 是∠ABC 的平分线，E 在角平分线上，它到两边 AB 和 BD 的距离 EM 和 EH 肯定相等由第一问可知∠ACE 和∠DCE 都是 40°，说明 CE 也是个角平分线，平分了∠ACD。那 E 到两边 AC 和 CD 的距离 EN 和 EH 也肯定相等。E 点到∠CAF 两边的距离相等，那根据角平分线的判定，AE 就是∠CAF 的平分线了。
（3）△ABE 的底 AB 是 10，重点求出高 EM 的长度，面积就出来了。△ACD 的面积，它可以分成△ACE 和△DCE 两部分，这两个三角形的高，EN 和 EH。所以△ACD 的面积则为 (AC+CD) 再乘x。△ACD 的面积是 24，代入进去EM 就是 3，求△ABE 的面积。
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分；
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为．
23．【答案】（1）解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，
依题意得：，
解得，
经检验是原方程的解．
答：每千克牛肉干进货价为元
（2）解：①设购进牛肉干，则干香菇，则，
，
解得，
答：最少购进牛肉干
②利润，
由得，
，
∴，
则W随y的增大而增大，
当时，最大，即购进牛肉干，干香菇
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，首先‘用 6000 元买牛肉干的质量，和 4800 元买香菇的质量相同’，质量等于总价除以单价，就得到方程 =.
（2）①设购进牛肉干，则干香菇， 先算每千克的利润：牛肉干卖 160，进价 100，每千克赚 60；香菇卖 120，进价 80，每千克赚 40，总利润就是 60y + 40 (200-y)，总利润需要≥10800 元，解这个不等式 ；
②利润， 20 - a 是正数，一次函数 W 随 y 的增大而增大，所以 y 取最大值 150 的时候，利润最大 ，则当时，利润最大．
（1）解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，
依题意得：，
解得，
经检验是原方程的解．
答：每千克牛肉干进货价为元．
（2）解：①设购进牛肉干，则干香菇，
则，
，
解得，
答：最少购进牛肉干
②利润，
由得，
，
∴，
则W随y的增大而增大，
当时，最大，即购进牛肉干，干香菇．
24．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
，，
．
（3）解：∵
，
又∵，，
∴当，原式有最小值，
即时，有最小值为16．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
（1）
解：
；
【分析】
（1）先利用配方法把原多项式表示平方差的形式再分解因式即可；
（2）先利用配方法把原多项式的左边表示成两个完全平方式的和，又因为这两个完全平方式互为相反数，则可得，，最后再求幂即可；
（3）先利用配方法把原多项式转化成两个完全平方式与一常数和的形式，再根据完全平方式的非负性求出最小值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，，
．
（3）解：∵
，
又∵，，
∴当，原式有最小值，
即时，有最小值为16．
25．【答案】（1）.
（2）解：结论成立，理由如下：
连接，，如图：
是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC
同理：∠DAE=60°，DA=AE
∴∠ACE=180°-∠ACB=120°
∴
，
由题意可知：∠CEF=120°，CE=EF
∴DB=EF
∵
四边形是平行四边形
.
（3）解：如图：当点在的延长线上时，作于，连接
由（1）知：AC=BC=6，∠BAC=60°
在Rt△ACG中，
∵
由（2）知：
∵是等边三角形
∴
∴
如图：当点在上时，作于
同上知：AG=，GC=3
∴EG=GC-EC=3-2=1
在Rt△AEG中，
由（2）知：
∵是等边三角形
∴
综上所述：的长为或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形∴AB=AC，
∵点是的中点
∴AE平分∠BAC
∴=30°
是等边三角形
，AD=AE
∴M为DE的中点
故答案为：.
【分析】（1）先根据是等边三角形 ，点是的中点，得到AE平分∠BAC，=30°，再根据是等边三角形，得到，因而，再根据等腰三角形三线合一，得到DM=EM.
（2）连接，DF，根据和是等边三角形，得到∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∠DAE=60°，DA=AE，从而，因此，，，再根据同旁内角互补，两直线平行，得到：，可得：四边形是平行四边形，因此.
（3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于时，根据AC=BC=6，可得，在Rt△ACG中，根据勾股定理计算出AG的长，即：，再求出EG=5，最后根据勾股定理求出AE的长，即：，然后根据（2）中的结论，求出DM的长，当点在上时，作于，同上解析即可.

（1）解：是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：结论成立，证明如下：
连接，，如图，
和是等边三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图，
，
∴
，
，
，
由（2）知：，
和是等边三角形，
∴
当点在上时，作于，如图，
同上知：和是等边三角形，
∴，
，
，
，
∵
∴
，
综上所述：的长为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑