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丽水市 2025 学年第二学期普通高中教学质量监控
高二数学试题卷（2026.06）
注意事项：
1．本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数 ，则
A． B． C． D．
4．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，且 为第二象限角，则
A． B． C． D．
6．圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
7．已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为
A． B． C． D．
高二数学试题卷 第 1页 共 4 页
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
9．已知随机事件 ， 满足 ， ， ，则
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是
棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，
且 平面 ，则点 的轨迹长度为 第 10 题图
A． B． C． D．
11．在人工智能训练的神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示
每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代
轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速
度为 ，且当训练迭代轮数为 时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不
含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ， ， ， 是曲线
与 从左往右依次连续相邻的三个交点，且 ，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
13．已知实数 ， ， ，且 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
14．已知 ， 是夹角为 的单位向量，且 ， ，则下列说法正确的是
A． B． 在 方向上的投影向量为
高二数学试题卷 第 2页 共 4 页
C． D．当 时， 与 的夹角为锐角
15．在矩形 中， ， ，沿矩形对角线 将 折起，在这个过程中，
下列结论正确的是
A．当 时，
B．直线 与平面 所成角可能为
C．当二面角 的大小为 时，四面体 的外接球的体积为
D．当四面体 的体积最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
16．样本数据：2，3，7，5，1，6，8，3，8 的第 60 百分位数为 ▲ .
17．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调递增，则关于 的不
等式 的解集是 ▲ .
18．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
，
则 ▲ .
19．在棱长为 2 的正方体 中，空间动点 满足 ，则
的取值范围是 ▲ .
四、解答题（本题共 6 小题，共 84 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（10 分）某地区有小学 18 所，初中 12 所，高中 6 所，现采取分层抽样的方法从这些
学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量；
（2）若从被抽到的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，求抽取的 2 所学
校均为小学的概率．
21．（12 分）已知函数 ．
高二数学试题卷 第 3页 共 4 页
（1）求 的值及函数 的单调递增区间；
（2）在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，且 ，
求 面积的最大值．
22．（13 分）已知 是公差不为零的等差数列， ，且 、 、 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列{ }的前 项和，求 ．
23．（15 分）如图，在三棱柱 中， ，D 为 BC 的中点，
平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）已知四边形 是边长为 2 的菱形，且 ，
求二面角 的余弦值．
第 23 题图
24．（17 分）已知 ， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，
且直线 的斜率与直线 的斜率之差是 ，记点 的轨迹为 ， 为坐标原点.
（1）求轨迹 的方程；
（2）点 ，过点 的直线交 于 ， 两点，直线 ， 与 的另一交点分
别为 ， 两点，记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，当 取得最大值
时，求直线 的方程．
25．（17 分）已知函数 ， ．
（1）当 ， 时，求 的值域；
（2）若 在 上有且仅有 3 个零点 ， ， ，
高二数学试题卷 第 4页 共 4 页
①证明： ；
②证明： ．
高二数学试题卷 第 5页 共 4 页丽水市 2025 学年第二学期普通高中教学质量监控
高二数学答案（2026.06）
一、单项选择题
BDDAA CABBD CB
二、多项选择题
13．ABD 14．AB 15．ACD
三、填空题
16． 17． 18． 19.
四、解答题
20．（满分 10 分）
（1）从小学抽取 所；
从初中抽取 所；
从高中抽取 所； ……………………5 分
（2）小学的 所学校编号为 ，初中的 所学校编号为 ，高中的 所学校编号为 ，
从中随机抽取 2 所学校，基本事件有：
，共 种，
其中抽取的 2 所学校均为小学的是： ，共 种，
所以抽取的 2 所学校均为小学的概率为 . ……………………10 分
21．（满分 12 分）
（1）
令 得
所以 的单调增区间为 ； …………5 分
（2）由 得 ，
又 ，由余弦定理得， ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号
所以 ，
即 面积的最大值为 ． ……………………12 分
高二数学试题答案 第 1页 共 5 页
22.（满分 13 分）
（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
由题意可得 ，即 ，
整理可得 ， ，解得 ，
因此， .……………………6 分
（2）由（1）知 ，
①
两边同乘公比 ： ②
①式减②式：
即 ． ……………………13 分
23．（满分 15 分）
（1）在三棱柱 中，
由 是 的中点，得 ，
而平面 平面 ，
且平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 .
所以 ； .……………………7 分
高二数学试题答案 第 2页 共 5 页
（2）过 作 的延长线于点 ，垂足为 ，
过 作 的延长线于点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，
则 为正三角形，连接 ，有 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
而 ，因此 平面 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
故 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ， ， ，
，
故二面角 的余弦值为 ． .……………………15 分
24．（满分 17 分）
（1）设 ，由 得 ，
化简得轨迹 的方程为 .……………………5 分
（2）因为 ，
所以直线 ： ，
高二数学试题答案 第 3页 共 5 页
即 ，化简得 ，
同理可得直线 ： ，
直线 ： ，
直线 ： ，
因为直线 过 点，可得 ，
直线 过 点，可得 ，同理
所以
所以 ，
要使 取得最大值，则 ，
所以 当且仅当 时取等号，
此时直线 直线方程为 .……………………17 分
24．（满分 17 分）
（1）当 时， 的图象关于直线 对称，
在 上单调递减，且 ， ，
所以当 时， 的值域为 ； .……………………5 分
（2）① 的图象关于直线 对称，且 ，
故 在 上有且仅有 3 个零点 ， ，
等价于 且 在 上有且仅有 1 个零点，
当 时， 在 上没有零点，不符题意；
当 ， 时， ， ，
高二数学试题答案 第 4页 共 5 页
所以 ， 在 上没有零点，不符题意；
当 ， 时，
因为 ，所以
又 ，所以 ， 在 上没有零点，不符题意；
所以 ； .……………………10 分
②因为 关于 对称，且 在 上有且仅有 3 个零点 ， ，
所以 ， ， ，且 ，所以 ，
所以
因为 ， ，所以
所以
所以 ． .……………………17 分
高二数学试题答案 第 5页 共 5 页

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