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第4章 数据的集中趋势和离散程度
4.4 数据的离散程度
九上数学 SK
1.掌握离差平方和、方差的概念，会计算一组简单数据的离差平方
和、方差，理解它们的统计意义.
2.会用计算器求一组数据的方差.
3.能运用样本的方差估计总体的方差，进一步体会用样本估计总体
的思想.
4.了解方差是刻画数据离散程度的统计量，并能在具体情境中加以
应用，形成数据观念.
5.经历数据的分组活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数
据进行分组的方法.
#2.2.3.1
典例1 体育老师随机选取九年级两个班各10名同学测量身高
单位： ，数据如下：
九（2）班：154 161 149 158 162 155 160 152 156 163；
九（5）班：148 150 166 168 152 155 158 149 165 159.
（1）分别计算两组数据的离差平方和；
解：计算平均身高：
九（2）班：
.
九（5）班： .
计算离差平方和：九（2）班： .
九（5）班：
.
（2）根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大.
解： ，
九（5）班身高数据离散程度更大.
标准差
在统计中，也常用方差的算术平方根，即
来描述一组数据的
离散程度，并把它叫作这组数据的标准差.标准差的单位与原始数
据的单位相同.#1.5
典例2 教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动
员参加比赛,两人在相同条件下各打了5发子弹，甲的命中环数分别
为9，8，7，7，9,乙的命中环数分别为10，8，9，7，6，则成绩比
较稳定的运动员是( )
A
A.甲 B.乙
C.甲、乙的稳定性相同 D.无法确定
解析：由题意可得，甲的成绩的平均数为 （环）,乙
的成绩的平均数为 （环）,甲的成绩的方差为
环 ，乙的成绩的方差为
环, 射击运动
员甲的成绩比较稳定.
用计算器计算一组数据的方差的操作顺序如下：
1.打开计算器开关键.
2.按下计算器菜单设置按钮，选择进入统计模式后选择单变量统计．
3.输入第1个数据后按等号键确认，注意输入的数值对应的频数默
认值均为1.
4.重复3的操作，直到输完所有数据.
5.按下选择键，选择单变量计算，此时计算器显示的数字即为这组
数据的方差.
计算器型号不同，按键顺序也有所不同，注意参考说明书.
典例3 用计算器求出下列各组数据的方差:
（1）45，46，75，48，18，46，60，51，52，47；
（2）80，91，92，88，86，75，74，38，68，24；
（3）111，124，108，114，150，129，131，128；
（4），，，，，，，， .
解：经计算器计算，（1）显示结果为180.96；（2）显示结果为
476.44；（3）显示结果约为161.23；（4）显示结果约为1.75.
故各组数据的方差分别为；（2） ；
（3）；（4） .
1.组内离差平方和
一般地，有个数据,, ,，如果把这些数据分为两组，前
个数据为第一组，后个数据为第二组，记为,, ,
的平均数，为,, , 的平均数，那么这些数据分组后
各组的离差平方和为：
第一组的离差平方和
，
第二组的离差平方和
，
则 称为组内离差平方和（在解决实际问题时，组内离差平
方和可以利用计算机软件求得，从而更快捷地完成分组工作）.
2.数据的分组标准
研究表明，当 达到最小时，分组较合理，可以将“组内离差
平方和达到最小”作为数据的分组标准.
典例4 10个番茄的直径单位： 如下：
80 69 81 80 70 65 78 76 76 75
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，将上面10个番茄按直径大
小分为两组.
解：将10个数据由小到大排序：65,69,70,75,76,76,78,80,80,81.
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据 ，第二组
9个数据；第一组2个数据 ，第二组8个数据
第一组9个数据 ，第二组1个数据
.
计算各组离差平方和，结果如下：
分组情况 第一组 1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 9个
第二组 9个 8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个
组内离差平方和 146. 889 98 48 74. 25 98 107. 583 136. 095 182. 375 218
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.因此把10个番茄
按直径大小分成两组是， .

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