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云南省2026年中考数学真题
1．中国陆地领土面积约为9600000km2，数据9600000用科学记数法表示为（　　）
A．9.6×106 B． C． D．
2．如图，点O在直线AB上.若∠AOC＝110°，则∠BOC＝（　　）
A．100° B．70° C．60° D．40°
3．点（2，5）所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列计算正确的为（　　）
A． B． C．3a－a＝2a D．
5．下列四个图形中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
6．某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（　　）
A． B．
C． D．
8．按一定规律排列的代数式：2x，4x，6x，8x，10x，…，第n个代数式为（　　）
A．x B．2x C．2nx D．n2x
9．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（　　）
A．10° B．26° C．409 D．52°
10．若在实数范围内有意义；则实数x的取值范围为（　　）
A．x＞4 B．x≠3 C．x＜3 D．x≥10
11．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为的面积为若则（　　）
A． B． C． D．
12．分解因式：（　　）
A．x＋8 B．（x＋8）（x－8）
C．x－8 D．x（x－64）
13．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩.若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
14．方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若则AB＝（　　）
A． B． C． D．
16．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝　 　.
17．若函数的图象经过点（2，m），则m＝　 　.
18．中国是历史上最早认识和使用负数的国家.某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高　 　摄氏度.
19．某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到.若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为　 　.
20．如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点.
求证：△ABE≌△DCE.
21．某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动.学校从全校学生中随机抽取了n名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求n的值；
（2）若该校有学生1500人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数.
22．计算：
23．某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B两种生日系列花束.已知A种花束每束的价格比B种花束每束的价格少8元，用480元购买A种花束的数量与用560元购买B种花束的数量相同.求每束A种花束的价格.
24．如图，在四边形ABCD中，AC.，BD相交于点O，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAD＝2∠ABC，求∠ACB的度数.
25．问题提出
云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短.这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆.近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸。
该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低。
问题解决
在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用.具体收费方案为：
甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费；
乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费。
根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司
26．已知某二次函数表示的图象为抛物线M，抛物线M经过两点.函数y＝（2x＋4）（3x－24）表示的图象为抛物线T.x轴上有这样的点，它既在抛物线M上，又在抛物线T上.
（1）求抛物线T与x轴的公共点的坐标；
（2）比较S与的大小.
27．如图，⊙O是的外接圆，AB.是⊙O的直径.点P在BA的延长线上，且点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与⊙O相交于点D，与线段BC相交于点N..于点H，线段DH与线段BC相交于点F，连接OF.记.的面积为的面积为
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB求线段PA的长；
（3）观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：你认为哪个正确 请证明你认为正确的那个结论.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵原数9600000的整数位数为7位，
∴将小数点向左移动6位可得到满足条件的，对应，
即
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法的表示规则。解题时需先明确科学记数法的标准结构为，其中a的取值必须满足，据此可先排除不符合a取值要求的选项；再根据原数的整数位数，通过小数点向左移动的位数确定指数n的大小，原数有7位整数，小数点向左移动6位后得到符合要求的a，对应n的值为6，由此即可选出正确选项。
2．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵点O在直线AB上，
∴与互为邻补角，两角之和为，
∵，
∴
故答案为：B
【分析】本题考查邻补角的性质与角度计算。解题时先根据点在直线上的条件，判断两个角组成平角，满足和为的邻补角关系，再用平角的度数减去已知角的度数，即可求出未知角的度数，对应选出正确选项。
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴该点位于第一象限。
故答案为：A
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的象限判定。解题时需掌握四个象限对应的横纵坐标符号规律，分别判断给定点的横、纵坐标的正负性，再将符号特征与象限对应规则匹配，即可确定该点所在的象限。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的规则，，计算错误；
B、根据同底数幂相除，底数不变、指数相减的规则，，计算错误；
C、合并同类项时，系数相加减、字母及指数不变，，计算正确；
D、根据积的乘方规则，积的每个因式分别乘方再相乘，，计算错误
故答案为：C
【分析】本题考查整式的幂运算与同类项合并规则。解题时需分别对四个选项运用对应的运算法则验证：同底数幂乘除分别对应指数的加减运算，积的乘方需要将系数和字母分别乘方，合并同类项仅调整系数、保留字母部分，通过逐一计算排查错误选项，最终确定计算正确的选项。
5．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义为：沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形。
依次判断四个选项，选项A、B、C均无法找到满足条件的直线，折叠后两侧无法完全重合；选项D存在这样的直线，折叠后直线两旁的部分可完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形的概念识别。解题时需依据轴对称图形的定义，对每个选项尝试寻找对称轴，判断是否存在一条直线使得图形折叠后两侧完全重合，不存在对应直线的图形就不是轴对称图形，由此筛选出符合定义的选项。
6．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：求一组数据的中位数，需先将数据按从小到大的顺序排列。
将数据7，8，9，9，9从小到大排列后，共有5个数据，为奇数个，
∴中位数为排序后处于最中间位置的数，即第3个数据9
故答案为：D
【分析】本题考查中位数的计算方法。解题时首先要对原始数据进行升序排序，再根据数据总个数的奇偶性确定中位数：数据个数为奇数时，中位数是排序后正中间的那个数；数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。本题数据个数为奇数，排序后取中间位置的数值即可得到中位数。
7．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从几何体正上方向下观察得到的平面图形。
三棱锥的俯视图为三角形（含内部顶点），不符合要求；
正方体的六个面均为正方形，从上方观察得到的俯视图为正方形，符合要求；
圆柱的俯视图为圆形，不符合要求；
球的三视图均为圆形，俯视图也为圆，不符合要求。
故答案为：B
【分析】本题考查几何体的三视图判断，具体为俯视图的识别。解题时需明确俯视图的观察视角是从物体正上方向下投影，分别回忆常见几何体的俯视图形状，逐一对比各选项几何体的俯视图特征，最终选出俯视图为正方形的几何体。
8．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察该组代数式，所有代数式的字母部分均为，仅系数发生变化。
第1个代数式系数为，
第2个代数式系数为，
第3个代数式系数为，
以此类推，第个代数式的系数为，
∴第个代数式为
故答案为：C
【分析】本题考查代数式的规律探究，需分别分析系数与字母部分的变化规律。解题时先观察字母部分，发现所有项的字母及指数均保持不变；再分析系数的变化，可发现系数是连续的偶数，且第k项的系数恰好是序号k的2倍，由此归纳出第n项的系数，组合字母部分即可得到第n个代数式。
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查圆周角定理的应用。解题时先判断两个角分别对应同一段弧的圆周角与圆心角，再依据圆周角定理，即同弧所对的圆心角度数为圆周角度数的2倍，用已知圆周角的度数乘2，即可求出对应圆心角的度数。
10．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴被开方数，
解得。
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件。解题时需明确二次根式的被开方数必须大于或等于0，据此列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围，对应选出正确选项。
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，(两直线平行，内错角相等)，
∴(两角分别相等的两个三角形相似)。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比，
∴
故答案为：C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合平行线的性质求解面积比。解题时先由两直线平行推出内错角相等，依据两角对应相等判定两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，将已知的边长比平方后即可得到两个三角形的面积比。
12．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：观察原式，可变形为，符合平方差公式的形式。
将，代入公式，得：
。
故答案为：B
【分析】本题考查利用平方差公式分解因式。解题时先将原式转化为两个数的平方相减的形式，识别出符合平方差公式的结构，再套用平方差公式进行因式分解，即可得到分解后的结果，对应选出正确选项。
13．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积等于其侧面展开扇形的面积，且圆锥的母线长等于展开扇形的半径。
已知扇形半径，圆心角，
根据扇形面积公式，代入得：
。
故答案为：A
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，需结合扇形面积公式求解。解题时先明确圆锥侧面展开图为扇形，母线长对应扇形的半径，再将已知的圆心角与半径代入扇形面积公式，计算后即可得到圆锥的侧面积。
14．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
①+②，得，解得。
将代入①，得，解得。
∴原方程组的解为。
故答案为：A
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，适合用加减消元法求解。解题时先观察方程组中未知数的系数特征，发现y的系数互为相反数，因此将两个方程左右两边分别相加即可消去y，先求出x的值；再将x的值代入任意一个原方程，即可求出y的值，最终得到方程组的解。
15．【答案】C
【知识点】勾股定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在中，，
根据正切的定义：，
∵，，
∴。
由勾股定理，代入得：
。
故答案为：C
【分析】本题考查解直角三角形，结合正切的定义与勾股定理求解斜边长。解题时先根据锐角正切的定义，即直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边得到，结合已知的邻边长度与正切值求出另一条直角边的长度；再利用勾股定理，将两条直角边的长度代入计算即可得到。
16．【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，
∴。
故答案为：7
【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。
17．【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴该点坐标满足函数解析式，将，代入解析式，
得。
故答案为：2
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征。解题时需明确函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此将点的横坐标代入函数表达式，计算后即可得到纵坐标m的值。
18．【答案】8
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：规定零上温度为正，则最高气温为，最低气温为。
最高气温比最低气温高的度数为：（摄氏度）。
故答案为：8
【分析】本题考查有理数减法的实际应用，结合正负数的意义求解温差。解题时先用正负数表示出两个温度，再根据“温差=最高气温-最低气温”列出算式，依据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，计算后即可得到温差结果。
19．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取一种赠书，所有等可能的结果共有4种，其中抽到劳技类赠书的结果有1种。
∴抽到劳技类赠书的概率为。
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算。解题时先确定所有等可能的结果总数，再确定目标事件包含的结果数，将两者代入概率计算公式，即事件发生的概率等于符合条件的结果数除以总结果数，计算后即可得到对应概率。
20．【答案】证明：∵E为BC的中点
∴BE＝EC
又：AB＝DC
AE＝DE
∴△ABE≌△DCE（SSS）
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查三角形全等的SSS判定方法。解题时先根据E是线段BC中点的条件，得出BE=CE的结论；再结合题目给出的AB=DC、AE=DE两组边相等的已知条件，整理得到两个三角形的三组对应边分别相等，依据边边边的全等判定定理，即可证明△ABE与△DCE全等。
21．【答案】（1）n＝36+24+32+18+40＝150
（2）1500×＝360（人）
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本题考查条形统计图的数据分析与用样本估计总体的统计方法。解题时需明确样本容量n是所有类别参与人数的总和，将条形统计图中五项活动对应的人数依次相加，计算后即可得到n的值；
（2）解题时先计算样本中想参加唱歌活动的人数占总样本的比例，再用全校总人数乘这个样本比例，即可估计出全校想参加唱歌活动的总人数，体现用样本特征推断总体特征的统计思想。
22．【答案】原式
＝1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖绝对值、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂与二次根式的运算。解题时需分别对每一项进行化简：根据绝对值的性质化简绝对值项，代入45°角的正弦值计算三角函数项，依据负整数指数幂法则计算负指数项，依据零指数幂法则计算零次项，根据二次根式的平方运算规则计算最后一项；再将所有化简后的结果按照实数加减运算法则依次计算，最终得到原式的结果。
23．【答案】解：设每束A种花的价格为x元
解得x＝48
答：A种花束的价格为48元。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于销售类数量问题。解题时先设每束A种花束的价格为未知数，根据两种花束的价格差表示出B种花束的单价；再根据“总价÷单价=数量”的关系，分别表示出480元买A种花束的数量与560元买B种花束的数量，利用两者数量相等的等量关系列出分式方程；解方程后对结果进行检验，确认解既满足方程又符合实际意义，即可得到A种花束的单价。
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵， 平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定与性质，结合平行线、角平分线的性质综合求解。解题时先由两角互补的条件推出AD与BC平行，结合AD=BC的条件，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形；再利用平行线的内错角相等与角平分线的定义，推导出∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明；
（2）解题时先利用两角互补与两角的倍数关系，列方程求出∠ABC的度数；再结合菱形对角线平分内角的性质，得到AC平分∠BCD，结合平行四边形对角相等的性质求出∠BCD的度数，取其一半即可得到∠ACB的度数。
25．【答案】解：设印制张专用介绍贴纸，
由题意，甲印制公司所需费用为元，乙印制公司所需费用为元，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
综上：当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、不等式的实际应用，属于方案选择类问题。解题时先设印制贴纸的数量为未知数，分别根据两家公司的收费方案，列出总费用关于印制数量的代数式；再分三种情况讨论：令两家费用相等，列方程求出费用相同时的印制数量；令甲公司费用更高，列不等式求出对应数量范围；令甲公司费用更低，列不等式求出对应数量范围；最后根据数量范围给出对应的选择结论，数量小于临界值选乙公司，等于临界值两家均可，大于临界值选甲公司。
26．【答案】（1）解：由题意，当时，解得，
∴抛物线与轴的公共点的坐标为，；
（2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，；
∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上，
∴或，
①当时，整理得，解得，
将代入得：
∵，
∴，即.
② 当时，整理得，
解得，
∴，两边除以得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
综上：当时，；当时，.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；两二次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数与代数式求值的综合问题，结合抛物线与坐标轴交点、代数式化简比较大小进行考查。解题时求抛物线与x轴的交点，只需令函数值y=0，解对应的一元二次方程，分别令两个一次因式为0，求出x的两个解，即可得到抛物线T与x轴的两个公共点坐标；
（2）解题时先根据两抛物线在x轴上有公共点的条件，可知抛物线M与x轴的交点B必然是抛物线T与x轴的两个交点之一，因此分两种情况列方程求解m的值；第一种情况令B点横坐标为-2，解方程得到m的值，代入S的表达式计算出S的值，再通过平方法与比较大小；第二种情况令B点横坐标为8，解方程得到m的两个值，再通过降次变形化简S的表达式，求出S的值后同样用平方法比较大小，最后分情况给出S与的大小关系。
27．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵O为的中点，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵点是线段的中点，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
由（1）知，
设，则 ，
∵，即，
∴，
∵，即，解得，
∴；
（3），证明如下：
如图2，连接，
∵O为的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题是圆的综合题，涵盖切线判定、相似三角形、三角形中位线、面积比较等多个知识点。解题时先连接OC，将已知的等积式转化为比例式，结合公共角相等，依据两边对应成比例且夹角相等判定△PCB与△PAC相似，得到∠PCA=∠PBC；再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合OA=OC推出的等角关系，通过角的和差推导得到∠OCP=90°，即OC垂直于PC，依据切线的判定定理即可证明PC是⊙O的切线；
（2）解题时先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由M是BE中点得到CM=BM，推出等角关系，结合第一问的等角结论推导得到∠ABE=90°，进而判定△PCO与△PBM相似，求出相似比；再结合第一问的相似三角形比例关系，设未知数表示PA与PC的长度，利用切割线定理对应的等积式表示出PB的长度，最后根据PB-PA=AB的线段和差关系列方程求解，得到未知数的值后代入即可求出PA的长度；
（3）解题时先由O、M分别是AB、BE中点，判定OM是△ABE的中位线，得到OM平行于AE，推出OM垂直于BC；再结合DH垂直于AB的条件，通过同角的余角相等推导出∠ODF=∠OBF，结合OD=OB推出的等角关系，通过角的差得到∠BDF=∠DBF，进而得到DF=BF；最后在直角三角形BFH中利用斜边大于直角边的性质，得到BF>FH，即DF>FH，由于△OFD与△OFH共享同一条高OH，面积比等于底的比，因此可推出的结论。
1 / 1云南省2026年中考数学真题
1．中国陆地领土面积约为9600000km2，数据9600000用科学记数法表示为（　　）
A．9.6×106 B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵原数9600000的整数位数为7位，
∴将小数点向左移动6位可得到满足条件的，对应，
即
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法的表示规则。解题时需先明确科学记数法的标准结构为，其中a的取值必须满足，据此可先排除不符合a取值要求的选项；再根据原数的整数位数，通过小数点向左移动的位数确定指数n的大小，原数有7位整数，小数点向左移动6位后得到符合要求的a，对应n的值为6，由此即可选出正确选项。
2．如图，点O在直线AB上.若∠AOC＝110°，则∠BOC＝（　　）
A．100° B．70° C．60° D．40°
【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵点O在直线AB上，
∴与互为邻补角，两角之和为，
∵，
∴
故答案为：B
【分析】本题考查邻补角的性质与角度计算。解题时先根据点在直线上的条件，判断两个角组成平角，满足和为的邻补角关系，再用平角的度数减去已知角的度数，即可求出未知角的度数，对应选出正确选项。
3．点（2，5）所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴该点位于第一象限。
故答案为：A
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的象限判定。解题时需掌握四个象限对应的横纵坐标符号规律，分别判断给定点的横、纵坐标的正负性，再将符号特征与象限对应规则匹配，即可确定该点所在的象限。
4．下列计算正确的为（　　）
A． B． C．3a－a＝2a D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的规则，，计算错误；
B、根据同底数幂相除，底数不变、指数相减的规则，，计算错误；
C、合并同类项时，系数相加减、字母及指数不变，，计算正确；
D、根据积的乘方规则，积的每个因式分别乘方再相乘，，计算错误
故答案为：C
【分析】本题考查整式的幂运算与同类项合并规则。解题时需分别对四个选项运用对应的运算法则验证：同底数幂乘除分别对应指数的加减运算，积的乘方需要将系数和字母分别乘方，合并同类项仅调整系数、保留字母部分，通过逐一计算排查错误选项，最终确定计算正确的选项。
5．下列四个图形中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义为：沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形。
依次判断四个选项，选项A、B、C均无法找到满足条件的直线，折叠后两侧无法完全重合；选项D存在这样的直线，折叠后直线两旁的部分可完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形的概念识别。解题时需依据轴对称图形的定义，对每个选项尝试寻找对称轴，判断是否存在一条直线使得图形折叠后两侧完全重合，不存在对应直线的图形就不是轴对称图形，由此筛选出符合定义的选项。
6．某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：求一组数据的中位数，需先将数据按从小到大的顺序排列。
将数据7，8，9，9，9从小到大排列后，共有5个数据，为奇数个，
∴中位数为排序后处于最中间位置的数，即第3个数据9
故答案为：D
【分析】本题考查中位数的计算方法。解题时首先要对原始数据进行升序排序，再根据数据总个数的奇偶性确定中位数：数据个数为奇数时，中位数是排序后正中间的那个数；数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。本题数据个数为奇数，排序后取中间位置的数值即可得到中位数。
7．下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从几何体正上方向下观察得到的平面图形。
三棱锥的俯视图为三角形（含内部顶点），不符合要求；
正方体的六个面均为正方形，从上方观察得到的俯视图为正方形，符合要求；
圆柱的俯视图为圆形，不符合要求；
球的三视图均为圆形，俯视图也为圆，不符合要求。
故答案为：B
【分析】本题考查几何体的三视图判断，具体为俯视图的识别。解题时需明确俯视图的观察视角是从物体正上方向下投影，分别回忆常见几何体的俯视图形状，逐一对比各选项几何体的俯视图特征，最终选出俯视图为正方形的几何体。
8．按一定规律排列的代数式：2x，4x，6x，8x，10x，…，第n个代数式为（　　）
A．x B．2x C．2nx D．n2x
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察该组代数式，所有代数式的字母部分均为，仅系数发生变化。
第1个代数式系数为，
第2个代数式系数为，
第3个代数式系数为，
以此类推，第个代数式的系数为，
∴第个代数式为
故答案为：C
【分析】本题考查代数式的规律探究，需分别分析系数与字母部分的变化规律。解题时先观察字母部分，发现所有项的字母及指数均保持不变；再分析系数的变化，可发现系数是连续的偶数，且第k项的系数恰好是序号k的2倍，由此归纳出第n项的系数，组合字母部分即可得到第n个代数式。
9．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（　　）
A．10° B．26° C．409 D．52°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查圆周角定理的应用。解题时先判断两个角分别对应同一段弧的圆周角与圆心角，再依据圆周角定理，即同弧所对的圆心角度数为圆周角度数的2倍，用已知圆周角的度数乘2，即可求出对应圆心角的度数。
10．若在实数范围内有意义；则实数x的取值范围为（　　）
A．x＞4 B．x≠3 C．x＜3 D．x≥10
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴被开方数，
解得。
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件。解题时需明确二次根式的被开方数必须大于或等于0，据此列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围，对应选出正确选项。
11．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为的面积为若则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，(两直线平行，内错角相等)，
∴(两角分别相等的两个三角形相似)。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比，
∴
故答案为：C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合平行线的性质求解面积比。解题时先由两直线平行推出内错角相等，依据两角对应相等判定两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，将已知的边长比平方后即可得到两个三角形的面积比。
12．分解因式：（　　）
A．x＋8 B．（x＋8）（x－8）
C．x－8 D．x（x－64）
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：观察原式，可变形为，符合平方差公式的形式。
将，代入公式，得：
。
故答案为：B
【分析】本题考查利用平方差公式分解因式。解题时先将原式转化为两个数的平方相减的形式，识别出符合平方差公式的结构，再套用平方差公式进行因式分解，即可得到分解后的结果，对应选出正确选项。
13．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩.若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积等于其侧面展开扇形的面积，且圆锥的母线长等于展开扇形的半径。
已知扇形半径，圆心角，
根据扇形面积公式，代入得：
。
故答案为：A
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，需结合扇形面积公式求解。解题时先明确圆锥侧面展开图为扇形，母线长对应扇形的半径，再将已知的圆心角与半径代入扇形面积公式，计算后即可得到圆锥的侧面积。
14．方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
①+②，得，解得。
将代入①，得，解得。
∴原方程组的解为。
故答案为：A
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，适合用加减消元法求解。解题时先观察方程组中未知数的系数特征，发现y的系数互为相反数，因此将两个方程左右两边分别相加即可消去y，先求出x的值；再将x的值代入任意一个原方程，即可求出y的值，最终得到方程组的解。
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若则AB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在中，，
根据正切的定义：，
∵，，
∴。
由勾股定理，代入得：
。
故答案为：C
【分析】本题考查解直角三角形，结合正切的定义与勾股定理求解斜边长。解题时先根据锐角正切的定义，即直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边得到，结合已知的邻边长度与正切值求出另一条直角边的长度；再利用勾股定理，将两条直角边的长度代入计算即可得到。
16．在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝　 　.
【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，
∴。
故答案为：7
【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。
17．若函数的图象经过点（2，m），则m＝　 　.
【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴该点坐标满足函数解析式，将，代入解析式，
得。
故答案为：2
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征。解题时需明确函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式，因此将点的横坐标代入函数表达式，计算后即可得到纵坐标m的值。
18．中国是历史上最早认识和使用负数的国家.某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高　 　摄氏度.
【答案】8
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：规定零上温度为正，则最高气温为，最低气温为。
最高气温比最低气温高的度数为：（摄氏度）。
故答案为：8
【分析】本题考查有理数减法的实际应用，结合正负数的意义求解温差。解题时先用正负数表示出两个温度，再根据“温差=最高气温-最低气温”列出算式，依据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，计算后即可得到温差结果。
19．某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到.若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机抽取一种赠书，所有等可能的结果共有4种，其中抽到劳技类赠书的结果有1种。
∴抽到劳技类赠书的概率为。
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算。解题时先确定所有等可能的结果总数，再确定目标事件包含的结果数，将两者代入概率计算公式，即事件发生的概率等于符合条件的结果数除以总结果数，计算后即可得到对应概率。
20．如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点.
求证：△ABE≌△DCE.
【答案】证明：∵E为BC的中点
∴BE＝EC
又：AB＝DC
AE＝DE
∴△ABE≌△DCE（SSS）
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查三角形全等的SSS判定方法。解题时先根据E是线段BC中点的条件，得出BE=CE的结论；再结合题目给出的AB=DC、AE=DE两组边相等的已知条件，整理得到两个三角形的三组对应边分别相等，依据边边边的全等判定定理，即可证明△ABE与△DCE全等。
21．某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动.学校从全校学生中随机抽取了n名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求n的值；
（2）若该校有学生1500人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数.
【答案】（1）n＝36+24+32+18+40＝150
（2）1500×＝360（人）
【知识点】条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本题考查条形统计图的数据分析与用样本估计总体的统计方法。解题时需明确样本容量n是所有类别参与人数的总和，将条形统计图中五项活动对应的人数依次相加，计算后即可得到n的值；
（2）解题时先计算样本中想参加唱歌活动的人数占总样本的比例，再用全校总人数乘这个样本比例，即可估计出全校想参加唱歌活动的总人数，体现用样本特征推断总体特征的统计思想。
22．计算：
【答案】原式
＝1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖绝对值、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂与二次根式的运算。解题时需分别对每一项进行化简：根据绝对值的性质化简绝对值项，代入45°角的正弦值计算三角函数项，依据负整数指数幂法则计算负指数项，依据零指数幂法则计算零次项，根据二次根式的平方运算规则计算最后一项；再将所有化简后的结果按照实数加减运算法则依次计算，最终得到原式的结果。
23．某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B两种生日系列花束.已知A种花束每束的价格比B种花束每束的价格少8元，用480元购买A种花束的数量与用560元购买B种花束的数量相同.求每束A种花束的价格.
【答案】解：设每束A种花的价格为x元
解得x＝48
答：A种花束的价格为48元。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于销售类数量问题。解题时先设每束A种花束的价格为未知数，根据两种花束的价格差表示出B种花束的单价；再根据“总价÷单价=数量”的关系，分别表示出480元买A种花束的数量与560元买B种花束的数量，利用两者数量相等的等量关系列出分式方程；解方程后对结果进行检验，确认解既满足方程又符合实际意义，即可得到A种花束的单价。
24．如图，在四边形ABCD中，AC.，BD相交于点O，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAD＝2∠ABC，求∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵， 平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定与性质，结合平行线、角平分线的性质综合求解。解题时先由两角互补的条件推出AD与BC平行，结合AD=BC的条件，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形；再利用平行线的内错角相等与角平分线的定义，推导出∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明；
（2）解题时先利用两角互补与两角的倍数关系，列方程求出∠ABC的度数；再结合菱形对角线平分内角的性质，得到AC平分∠BCD，结合平行四边形对角相等的性质求出∠BCD的度数，取其一半即可得到∠ACB的度数。
25．问题提出
云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短.这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆.近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸。
该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低。
问题解决
在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用.具体收费方案为：
甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费；
乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费。
根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司
【答案】解：设印制张专用介绍贴纸，
由题意，甲印制公司所需费用为元，乙印制公司所需费用为元，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
综上：当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、不等式的实际应用，属于方案选择类问题。解题时先设印制贴纸的数量为未知数，分别根据两家公司的收费方案，列出总费用关于印制数量的代数式；再分三种情况讨论：令两家费用相等，列方程求出费用相同时的印制数量；令甲公司费用更高，列不等式求出对应数量范围；令甲公司费用更低，列不等式求出对应数量范围；最后根据数量范围给出对应的选择结论，数量小于临界值选乙公司，等于临界值两家均可，大于临界值选甲公司。
26．已知某二次函数表示的图象为抛物线M，抛物线M经过两点.函数y＝（2x＋4）（3x－24）表示的图象为抛物线T.x轴上有这样的点，它既在抛物线M上，又在抛物线T上.
（1）求抛物线T与x轴的公共点的坐标；
（2）比较S与的大小.
【答案】（1）解：由题意，当时，解得，
∴抛物线与轴的公共点的坐标为，；
（2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，；
∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上，
∴或，
①当时，整理得，解得，
将代入得：
∵，
∴，即.
② 当时，整理得，
解得，
∴，两边除以得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
综上：当时，；当时，.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；两二次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数与代数式求值的综合问题，结合抛物线与坐标轴交点、代数式化简比较大小进行考查。解题时求抛物线与x轴的交点，只需令函数值y=0，解对应的一元二次方程，分别令两个一次因式为0，求出x的两个解，即可得到抛物线T与x轴的两个公共点坐标；
（2）解题时先根据两抛物线在x轴上有公共点的条件，可知抛物线M与x轴的交点B必然是抛物线T与x轴的两个交点之一，因此分两种情况列方程求解m的值；第一种情况令B点横坐标为-2，解方程得到m的值，代入S的表达式计算出S的值，再通过平方法与比较大小；第二种情况令B点横坐标为8，解方程得到m的两个值，再通过降次变形化简S的表达式，求出S的值后同样用平方法比较大小，最后分情况给出S与的大小关系。
27．如图，⊙O是的外接圆，AB.是⊙O的直径.点P在BA的延长线上，且点E在AC的延长线上.线段BE的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与⊙O相交于点D，与线段BC相交于点N..于点H，线段DH与线段BC相交于点F，连接OF.记.的面积为的面积为
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB求线段PA的长；
（3）观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：你认为哪个正确 请证明你认为正确的那个结论.
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵O为的中点，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵点是线段的中点，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
由（1）知，
设，则 ，
∵，即，
∴，
∵，即，解得，
∴；
（3），证明如下：
如图2，连接，
∵O为的中点，点是的中点，
∴是的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即．
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题是圆的综合题，涵盖切线判定、相似三角形、三角形中位线、面积比较等多个知识点。解题时先连接OC，将已知的等积式转化为比例式，结合公共角相等，依据两边对应成比例且夹角相等判定△PCB与△PAC相似，得到∠PCA=∠PBC；再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合OA=OC推出的等角关系，通过角的和差推导得到∠OCP=90°，即OC垂直于PC，依据切线的判定定理即可证明PC是⊙O的切线；
（2）解题时先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由M是BE中点得到CM=BM，推出等角关系，结合第一问的等角结论推导得到∠ABE=90°，进而判定△PCO与△PBM相似，求出相似比；再结合第一问的相似三角形比例关系，设未知数表示PA与PC的长度，利用切割线定理对应的等积式表示出PB的长度，最后根据PB-PA=AB的线段和差关系列方程求解，得到未知数的值后代入即可求出PA的长度；
（3）解题时先由O、M分别是AB、BE中点，判定OM是△ABE的中位线，得到OM平行于AE，推出OM垂直于BC；再结合DH垂直于AB的条件，通过同角的余角相等推导出∠ODF=∠OBF，结合OD=OB推出的等角关系，通过角的差得到∠BDF=∠DBF，进而得到DF=BF；最后在直角三角形BFH中利用斜边大于直角边的性质，得到BF>FH，即DF>FH，由于△OFD与△OFH共享同一条高OH，面积比等于底的比，因此可推出的结论。
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