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第2章 锐角的正弦、余弦、正切 综合素质评价
（时间：90分钟 总分： 120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在中， ,于,下边各组边的比不能表示的是（ ）
（第1题）
A. B. C. D.
2．在中，，都是锐角，且，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
3．， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4．菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架等，为兼顾美观性和实用性，活动角 的取值范围宜为 （如图①），亮亮选购了折叠后如图②所示的伸缩衣架，则其拉伸长度的适宜范围最接近（ ）
（第4题）
A. B.
C. D.
5．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则的值为（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为， ， ，则该机器人的最高点距地面的高度约为（参考数据：，，）（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图，在平面直角坐标系中，点,分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，,连接,过点作交的延长线于.若,则（ ）
（第7题）
A. B. C. D. 3
8．如图，在中， ，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，长为半径作弧交于点，作射线交于点.若，，则的长为（ ）
（第8题）
A. B. 3 C. D.
9．如图，在中， ， ，，为上任意一点，为的中点，连接，在上且 ，连接，则的最小值为（ ）
（第9题）
A. B. C. D. 3
10．如图，若和的面积分别为，，则（ ）
（第10题）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．在中， ，，若将的三边都扩大3倍得到，则_ _ _ _ _ _ .
12．直线与轴负半轴的夹角为 ，则的值为_ _ _ _ _ _ .
13．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．如图，坡角 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成 角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为4米，则大树的高为_ _ _ _ _ _ _ _ 米．
（第14题）
15．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，如果，，那么_ _ _ _ .
（第15题）
16．如图，在中，，，为边的中点，线段的垂直平分线交边于点.设，，则与满足的关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
17．在平面直角坐标系中，用12个含有 角的直角三角形拼成如图所示的图形，若，则图中与位似的三角形的直角顶点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第17题）
18．在中， ，，的平分线交于点，且，则斜边的长是_ _ _ _ _ _ .
三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分）
19．计算：
（1） ；
（2） .
20．通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对，如图①，在中，，底角的邻对记作，这时，则一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的.根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：
（1） _ _ _ _ ；
（2） 如图②，已知在中，，，，求的周长.
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1） 在方格纸中，画出（点 在格点上），满足，且的面积是5；
（2） 在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值.
22．如图，在中， ，，点在边上，且，于点，连接．
（1） 求的长；
（2） 求的值．
23．我国设计并建造了大量的世纪工程，如三峡大坝及三峡水电工程、秦岭隧道工程、港珠澳跨海大桥工程……每天的工程建设都在如火如荼地进行着.某天一台塔吊正对新建的大楼进行封顶施工，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如图，若此时平衡臂与地面平行，，工人在楼顶处测得吊钩处的俯角为 ，测得塔吊，两点的仰角分别为 和 ，此时米，塔吊需向处吊运材料参考数据：，，
（1） 求楼顶到平衡臂的距离.（结果保留根号）
（2） 吊钩需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达处？（结果保留根号）
24．（1） 如图，在中， ,,是线段上的点，满足，求的值.
（2） 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”.在“等对角四边形”中， ， ，，.求对角线的长.
25．如图，在东西方向的海岸线上有一长为的码头，在码头西端的正西方向处有一观察站，某时刻测得处的西偏北 且与相距的处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船沿南偏东 的方向航行，经过，又测得该轮船位于处的东偏北 的处.（参考数据：，，，）
（1） 填空：_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 求轮船航行的速度；（结果精确到）
（3） 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头靠岸？请说明理由.
26．【问题背景】如图①，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图②所示.
【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作：（以下操作均能实现）
①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图③所示；
②连接，过点作直线交射线于点，交于点，如图④所示；
③在边上取一点，分别连接，，，如图⑤所示.
【问题解决】请解决下列问题：
（1） 如图③，_ _ _ _ ；
（2） 如图④，求证：；
（3） 如图⑤，若， ，求证：.
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】C
【点拨】如图，过点作轴于点.因为,所以,,所以,所以.因为 ,所以,所以.因为,所以.所以,所以.故选.
8．【答案】A
【点拨】由作图过程知，平分，过点作的垂线，垂足为.因为在中，，所以设，则.又因为,所以，解得（负值已舍去）所以，.因为平分， ，，所以因为，即，所以.
9．【答案】C
【点拨】取的中点，连接，.因为为的中点，所以.因为 ， ，，所以，所以.因为 ，为的中点，所以.当，，三点共线时，的值最小，所以.
10．【答案】C
【点拨】如图，过作于，过作交的延长线于.因为，所以 ，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，所以，所以.
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】4
16．【答案】
【点拨】过点作于点，过点作于点，连接.因为，，，所以，.因为的垂直平分线交于点，，所以.因为，，所以.又因为为的中点，所以.所以，.在中，由勾股定理得，即.
17．【答案】
【点拨】易知与位似的三角形为.由题意，得，， ， ，，所以易得，，即.所以与位似的三角形的直角顶点坐标为.
18．【答案】
【点拨】如图，平分，过点作于点，于点，所以， .又因为 ，所以四边形为正方形.所以， .在中，.因为，所以.因为在中，，，，所以，即.又因为，所以.因为在中，，所以.因为在中，，所以.所以.所以，所以，即（负值已舍去）.
19．【答案】（1） 【解】.
（2） .
20．【答案】（1）
（2） 【解】过点作于点.
因为，所以可设，则.
因为，，所以，.
所以.因为，
所以，解得（负值已舍去）.
所以，.
所以的周长.
21．（1） 【解】如图所示.
（2） 如图所示.
【解析】
（2） 【点拨】如图，作，则，所以，所以，即，所以，，所以，所以，所以.
22．（1） 【解】因为，，所以.
因为 ，，
所以，.
因为,所以.
所以.
（2） 过点作，垂足为，如图.在中，因为 ，所以.
所以.所以.
所以.
23．（1） 【解】设，交于点，如图.
由题意知， ， ，
所以 .
因为，
所以 ，
所以，
所以米.
易知，所以（米）.
因为楼顶到平衡臂的距离与的长度相等，
所以楼顶到平衡臂的距离为米.
（2） 由（1）知，米， ，
所以（米）.
所以米，
所以吊钩需向右移动7米、向上移动米才能将材料送达处.
24．【答案】
（1） 【解】因为，所以.
所以可设，.
设，则.
在中，由勾股定理得,
即，
解得，所以.
（2） ①如图①，当 时，延长，相交于点,所以 .因为 , ，所以 ,所以,,所以.因为,所以,所以,所以;
②如图②,当 时，过点作于点,于点,则 .易得四边形是矩形.因为 , ,所以 ,所以,所以,,所以,所以,所以,
所以.
综上，的长为或.
25．【答案】（1） ；90
（2） 【解】在中，， ， ,所以.所以轮船航行的速度.
答：轮船航行的速度约为.
（3） 轮船能正好至码头靠岸.理由：如图，设轮船的航线与海岸线交于点，过点作，交的延长线于点，所以 .因为 ，所以.所以.所以 .所以,设，则，.又因为，所以.在中，因为 ，所以.所以.所以，解得.所以.因为，，所以.所以.所以轮船能正好至码头靠岸.
26．【答案】（1） 90
（2） 【证明】易知.
所以,.
所以是等腰直角三角形.
所以 .
所以 .
因为直线，即 ，
所以.
所以.所以.
因为 ，点在线段上，所以.
因为,，所以.
所以.
又因为，所以.
（3） 【证明】因为 ，所以.
因为，
所以设，则,.
在中，，.
过点作于点，过点作于点，所以，，
即，解得.
因为，
所以.
所以，即，
解得.因为，
所以，即，
解得，.
因为, ，
所以.
所以.
所以.
所以,，
即，且.所以.
所以.所以.
【解析】
【点拨】因为四边形是平行四边形，所以.易得 ，所以 .易知，所以 .
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