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第3章 一元二次方程 综合素质评价
（时间：90分钟 总分： 120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若方程中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是,,,则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 5
2．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A. 2 B. C. 2或 D. 0
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 尺）如果设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．若菱形两条对角线的长度是方程的两个根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知,是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A. 4 053 B. 4 052 C. 2 026 D. 1
8．《代数学》中记载，形如的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为.”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9．使得关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根的所有整数的值之和为（ ）
A. 35 B. 30 C. 26 D. 21
10．对于一元二次方程，有下列说法：①若方程有两实数根为1，，则 分解因式得；②若 ，则方程有两个不相等的实数根；③若，则方程一定有一个根为；④若方程有两个不等于0的实数根，，则方程 一定有两实数根 ，．其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为_ _ _ _ _ _ ．
12．已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为_ _ _ _ _ _ .
14．若方程的两根为，，则方程的两根为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中的值为_ _ _ _ .
（第15题）
16．如图，等边三角形中，在射线上，连接.若，的长为方程的两根，且为符合题意的最大的整数，则不同位置的点共有_ _ _ _ 个.
（第16题）
17．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中，是实数），则可求得_ _ _ _ ．
18．已知关于的一元二次方程与，称其为“同族二次方程”.如与是“同族二次方程”.若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是_ _ _ _ .
三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分）
19．解方程：
（1） ；
（2） ;
（3） ．
20．已知关于的一元二次方程．
（1） 求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2） 若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求的值．
21．阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为，解得，.当时，，所以；当时，，所以.所以原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学中的转化思想．
（1） 试用上述方法解方程，得原方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（2） 解方程．
22．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
（1） 图①中的灰色正方形有：（个）；
图②中的灰色正方形有：（个）；
图③中的灰色正方形有：（个）；
图④中的灰色正方形有：（个）；…；
图中的灰色正方形有：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 图①中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多1个；图②中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多2个；图③中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多3个；…；则图中的白色正方形有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 个.
（3） 若图中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图中白色正方形的个数.
23．阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1） 配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如：.因为，所以．则代数式的最小值为_ _ _ _ ，这时相应的的值是_ _ _ _ _ _ ;
【尝试应用】
（2） 求代数式的最小值或最大值；
【拓展提高】
（3） 已知，，是的三边长，满足，求的取值范围．
24．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如下表：
纪念品 文创 恤 纪念湘绣
进货价/（元/件） 59 66
销售价/（元/件） 79 88
（1） 该店铺购进“文创恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4 900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
（2） 该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，能使“文创恤”平均每天销售利润为256元？
25．某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2024年该产品各部分成本所占比例约为为整数.且2024年该产品的技术成本为400万元.
（1） 若2024年产品总成本超过1 800万元，但不超过2 000万元，确定的值；
（2） 在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2025年及2026年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2026年的销售成本将在2024年的基础上提高，经过以上变革，预计2026年该产品总成本仅为2024年该产品总成本的，求的值.
26．如图，在中， ，，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点做匀速运动，到达点停止运动.设运动时间为秒.
（1） 如图①，过点作，交于，若与的面积和是的面积的，求的值；
（2） 如图②，点在射线上，且，以线段为边向上作正方形.在运动过程中，若正方形与重叠部分的面积为8，求的值.
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】A
【点拨】解方程，得，.如图，四边形为菱形，，所以，.因为四边形是菱形，所以 ，，.
由勾股定理得，即菱形的边长为.故选.
6．【答案】B
7．【答案】A
【点拨】由题意得，,,所以.所以原式.
在遇到求值问题时，遇到高次代数式，可根据条件进行降次，再整体代值计算.
8．【答案】A
【点拨】因为阴影部分的面积为64，所以.先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，故选.
9．【答案】B
【点拨】整理不等式组得由①得，由②得.因为不等式组有且只有4个整数解，所以不等式组的4个整数解是3，2，1，0，所以，解得.因为关于的一元二次方程有实数根，所以,且，解得且.所以，且.所以满足条件的整数有6，7，8，9.所以满足条件的所有整数的值之和为.
10．【答案】C
【点拨】若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误；若，则，则方程有两个不相等的实数根,故②正确；当时，，所以若，则方程一定有一个根为,故③正确；因为方程有两个不等于0的实数根,，所以,.所以.所以方程为一元二次方程.因为,，所以,，所以方程一定有两实数根,，故④正确.故选.
11．【答案】
12．【答案】（答案不唯一）
13．【答案】24或15
14．【答案】，
【点拨】，则.所以.所以.所以，.
15．【答案】30
16．【答案】3
【点拨】由题意，得，解得.因为为符合题意的最大的整数，所以.所以，所以，.当时，，所以点在的延长线上，如图①.当时，，所以点在线段上，有两种情况，如图②，在和的位置.综上所述，不同位置的点共有3个.
17．【答案】16
【点拨】根据题意得方程的两根为和,由根与系数的关系得,.由题意得,则，即.由“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方”,得,所以.因为,所以,解得．
18．【答案】2 027
【点拨】由“同族二次方程”的定义，可知可以转化为.因为，所以解得则，所以代数式能取得的最大值是 2 027.
19．【答案】（1） 方程中，,,，，所以，所以,.
（2） ，
两边都加上17，得，
所以.
所以.
所以，.
（3） 方程变形得.
分解因式得，
即或.解得，.
20．【答案】（1） 【证明】因为,所以无论实数取何值，方程总有两个实数根.
（2） 由题意得，.
又因为的斜边，
所以，所以，即，
所以，解得，.
因为，为两个正根，所以.
21．【答案】（1） ，
（2） 【解】设，则原方程变为,
解得，.
当时，，解得.
当时，，即，
，所以此方程无实数解.
所以原方程的解为.
22．【答案】（1） （个）
（2）
（3） 【解】由题图可知，图 中等边三角形的个数为个.因为图 中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，所以，解得或（舍去）.当时，，所以图 中白色正方形的个数为66个.
23．【答案】（1） 2；
（2） 【解】.
因为，所以，
所以代数式有最小值.
（3） 因为，，是的三边长，满足，所以.所以易得.所以，.所以，.因为，所以.
24．【答案】（1） 【解】设购进“文创恤”件，则购进“纪念湘绣”件，根据题意得，解得，设利润为元，则，要使利润最大，则取最小值.因为，为正整数，所以.所以当购进“文创恤”55件，“纪念湘绣”25件时，有最大利润，最大利润为（元）.
（2） 设“文创恤”销售价定为每件元，则有，解得，.因为要尽快售完，所以.
答：“文创恤”销售价定为每件67元，能使“文创恤”平均每天销售利润为256元.
25．【答案】
（1） 【解】由题意得，解得.
因为为整数，所以.
（2） 由（1）可得2024年产品总成本为（万元），
则2024年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）.
由题意得.
令，则，
所以，
整理得，解得，，
所以，（舍去），
则.
26．【答案】
（1） 【解】因为中， ,,
所以 ,.
因为,所以.因为,所以,
所以与的面积和为.
因为与的面积和是的面积的，
所以,解得,.
（2） 因为,,所以.
设正方形与重叠部分的面积为.
①如图①，当时，，解得,（不合题意，舍去）.
②如图②,当时，，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）.
③如图③，当时，，解得,（不合题意，舍去）.综上，的值为或.
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