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第4章 二次函数 综合素质评价
（时间：90分钟 总分： 120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若是关于的二次函数，则的值是（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 或3
2．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，已知关于的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②内，区域均含端点，则的值可能是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 5 0 …
从表中信息可知，下列说法中正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴是轴
B. 抛物线与轴的一个交点坐标为
C. 函数的最小值为5
D. 当时，随的增大而减小
5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知二次函数和是常数的图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
7．新定义：为二次函数,,,为实数的“图象数”，如：的“图象数”为.若点,在“图象数”为的二次函数的图象上，且,，则当时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8．安化黑茶历史悠久，是益阳最具代表性的茶叶之一.在某茶文化节上，为了展示安化黑茶的独特魅力，组织者设计了一个特别的展示活动.某茶杯过杯体最低点的竖直截面示意图如图所示，其中杯体竖直截面呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点，位于杯口处，且，点是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点 到 的距离）为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度（点 到 的距离）恰好为，则此时的长度为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图①，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图②是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
（第9题）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10．如图，已知抛物线,,为常数，且的对称轴为直线,且该抛物线与轴交于点,与轴的交点在,之间（不含端点）,则下列结论：;;;④若方程 的两根为,,则.正确的个数为（ ）
（第10题）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每题3分，共24分）
11．四边形的对角线，互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．如果三点，和在抛物线上，那么，，之间的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
13．若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是_ _ _ _ .
14．下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（两相邻整数之间）
… 0 1 …
… 1 2 1 …
15．如图，点，和点，分别在和的图象上.若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是_ _ _ _ .
16．神舟二十二号载人飞船发射成功后，某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在小火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离与飞行时间近似满足函数表达式.关于小火箭的飞行过程有以下推论：①点火后 和点火后 小火箭与地面的距离相同；②点火后 小火箭落于地面；③小火箭飞行过程中第二次距离地面 时，飞行时间为；④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为.
其中正确的推论是_ _ _ _ （填序号）.
17．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即 时 的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即 与 的差值），则当时，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（第17题）
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且过点，连接，，.
（第18题）
（1） 点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若点是抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分）
19．已知抛物线.
（1） 将抛物线的表达式化为顶点式；
（2） 在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线；
… …
… …
（3） 结合图象，当时，的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
20．已知二次函数的图象经过点,且当时，有最大值6.
（1） 求该二次函数的表达式;
（2） 当时，若的最大值与最小值之和为2，求的值.
21．已知函数为常数.
（1） 当时，设函数图象与轴交于，两点（点 在点 的左侧），与轴交于点，请判断的形状，并说明理由；
（2） 求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点.
22．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜.小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为的正方形、高为的长方体木桶作壶，投掷点到壶中心的水平距离为.下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点距离地面，飞行到离小明的水平距离为处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中.
（1） 求出小明投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式；
（2） 小颖投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式为,请判断小颖此次投掷能否成功进壶，并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，请你帮助小颖计算一下，这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离的范围.
23．已知，是抛物线为常数上的两点，当时，总有．
（1） 求的值；
（2） 将抛物线平移后得到抛物线．当时，若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围．
24．已知抛物线为常数经过点.
（1） 求的值；
（2） 过点与轴平行的直线交抛物线于,两点，且点为线段的中点，求的值；
（3） 设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线,之间.若直线,之间的距离为16，求的最大值.
25．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏.
（1） 当时，菜园面积最大为_ _ _ _ ；
（2） 求菜园的最大面积（用含 的代数式表示）；
（3） 在第（2）问的条件下，存在和时，菜园的最大面积之和为，且，直接写出所有满足条件的，的值.
26．如图，抛物线与直线相交于,两点，与轴相交于另一点.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 点是直线上方抛物线上的一个动点（不与,重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标.
（3） 抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】B
【点拨】因为抛物线开口向上，所以.因为对称轴为直线,所以易得，同号，所以.因为抛物线与轴的交点在，之间（不含端点），所以,所以,故①不正确；因为对称轴为直线,且该抛物线与轴交于点,所以该抛物线与轴交于另一点,所以当时,,故②不正确；因为抛物线与轴交于点，，所以方程的两个根为或,所以,所以.因为,所以,所以,故③正确；若方程的两根为,,则直线与该抛物线的两个交点的横坐标为,.因为直线过第一、二、三象限，且过点,所以直线与该抛物线的交点在第一、三象限，由图象可知,故④正确.综上所述，正确的结论有,故选.
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】.
14．【答案】或
15．【答案】24
16．【答案】①③④
17．【答案】
【点拨】因为，所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.因为，即与的差值为7，所以.因为，所以.所以.所以.因为，所以当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.所以当时，有最大值，最大值为;当时，有最小值，最小值为.所以，则其对称轴为直线.所以当时，随的增大而增大.所以当时，有最小值，最小值为4；当时，有最大值，最大值为.综上所述，.
18．【答案】（1）
（2） 或
【解析】
（1） 令，解得，.因为点在轴的正半轴上，所以.
（2） 【点拨】
在中，令，得，
即.设直线的表达式为，把，的坐标分别代入，得解得所以直线的表达式为.设交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点.在中，令，得，则.所以的面积为.又因为，所以.易得抛物线的对称轴为直线，所以设.当点在的上方时，，即，解得，故；当点在的下方时，，即，解得，故.综上，点的坐标为或.
19．【答案】（1） 解：.所以抛物线的顶点式为.
（2） 列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
抛物线如图所示.
（3）
20．【答案】
（1） 解：由题意可设所求的二次函数的表达式为.
因为二次函数的图象经过点,
所以,解得.
所以该二次函数的表达式为.
（2） 解：根据题意，分两种情况：
①当时，此时，有最小值;，有最大值.
因为的最大值与最小值之和为2，
所以，即，
解得或（舍去）；
②当时，此时，有最大值为6.
因为的最大值与最小值之和为2，
所以的最小值为，所以，
解得或（舍去）.
综上所述，的值为或.
21．【答案】
（1） 解：为等腰直角三角形.理由如下：
对于函数，当时，有.当时，.所以.所以.
当时，有，解得，.
又因为点在点的左侧，所以，.
所以.所以.
易知 .
所以，.
所以,.
所以为等腰直角三角形.
（2） 证明：①当时，函数为一次函数，令，则，
即此时一次函数图象与轴的交点为.
②当时，函数为二次函数，
令，则.
所以.
所以有解.
所以函数图象与轴有交点.
综上所述，无论取何值，函数图象与轴一定有交点.
22．【答案】
（1） 解：由题意可得抛物线的对称轴为直线,经过点,,设小明投掷时箭头运动路线对应的函数表达式为,
所以解得
由题意可知,
所以小明投掷时箭头运动路线对应的函数表达式为.
（2） 解：小颖此次投掷不能成功进壶，理由：
当时，,
解得,（不符合题意，舍去）,
所以,
所以小颖此次投掷不能成功进壶.
小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖所在的方向移动，移动距离的范围是，即.
23．【答案】
（1） 解：由题意知，.因为当时，总有，
所以当时，，
整理得.
因为，所以.
所以.所以.
（2） 解：由（1）知抛物线的表达式为，
将代入，得,将代入，得.
如图①，当抛物线过点时，
将点的坐标代入，得，解得或（舍去）.
如图②，当抛物线过点时，将点的坐标代入，得，
解得或（舍去）.
综上所述，的取值范围为.
24．【答案】
（1） 解：把代入，
得，解得.
（2） 解：由（1）可知，
所以对称轴为直线.
因为过点与轴平行的直线交抛物线于,两点，所以,关于对称轴对称，,的纵坐标均为.
又因为点为线段的中点，所以，
所以，所以，
将代入，
得，所以.
（3） 解：因为，所以抛物线的顶点坐标为，
如图，易知当直线恰好经过抛物线的顶点，,为另一条直线与抛物线交点的横坐标时，此时取得最大值.
所以.
所以.
当时，解得,，
所以,，
所以的最大值为8.
25．【答案】（1） 80
（2） 解：设菜园垂直于墙的边为，菜园面积为，则.因为，所以，所以当时，有最大值，最大值为，即菜园的最大面积为.
（3） 或或
【解析】
（3） 【点拨】当时，菜园的最大面积为，当时，菜园的最大面积为.由题意得，整理得，所以.因为,都是正整数，所以是16的因数，所以，，，，，所以 或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）.又因为，所以 或或
26．【答案】
（1） 解：把的坐标代入，
得，所以.
把，的坐标代入，得解得
所以抛物线的表达式为.
（2） 解：设，则，.
因为，
所以，
解得或（此时不在直线上方，舍去）.
当时，.
所以点的坐标为.
（3） 解：存在，点的坐标为，，,,或，.
【解析】
【点拨】过点作轴交直线于点，在中，令，得，解得或.又因为，所以.所以.又因为，所以.设，则，所以所以.因为的面积等于面积的一半，所以.所以.所以或，解得或.所以点的坐标为，，，或，.
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