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广东省揭阳市普宁市 2025 — 2026学年度下学期 八年级数学 期末模拟卷
北京师范大学出版社—八年级下册
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
注意事项：
1. 全卷共23道题，考试用时120分钟，满分120分.
2. 请用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案.
3. 不准使用涂改液.
4. 不按以上要求作答的答案无效.
阅卷人 一、单选题（每小题3分，请将正确选项填写在对应括号内.）
得分
1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
3．下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式，
则不等式有①，②；⑤，一共有3个，
故选：B．
【分析】利用一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式）逐项分析判断即可.
4．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上，
∴O为三条角平分线的交点．
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠C=30°，∠CAE=20°，则∠DAC的度数为（　　)
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，∠C=30°，∠CAE=20°
∴∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，∠C=∠E=30°
∴∠B=∠ADE=80°
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠E=70°
∵∠CAE=20°
∴∠DAC=50°
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，∠C=∠E=30°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠ADE=80°，再根据三角形内角和定理可得∠DAE，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为，
③当时，；
④方程的解为；
⑤不等式的解集是．
其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：①根据函数图象可知，在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①错误；
②根据函数图象可知，一次函数与的交点坐标为，
∴方程组的解为，故②正确；
③根据函数图象可知，一次函数与轴的交点为，
∴当时，，故③错误；
④根据函数图象可知，一次函数与轴的交点为，
∴方程的解为，故④正确；
⑤根据函数图象可知，一次函数图象在的图象下方的时，有，故⑤正确；
综上所述，结论正确的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象及性质判断①错误；根据一次函数与二元一次方程的关系，结合两函数的交点坐标判断②正确；根据一次函数与轴的交点判断③错误；根据一次函数与轴的交点判断④正确；根据一次函数与不等式的关系，结合函数图象判断⑤正确.
7．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，则AF的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AF与点G，连接EF
∵ 四边形ABCD为矩形
∴∠D=90°，BC=AD
∴AD⊥CD
∵ AE平分∠DAF，AF⊥GE
∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°
∵点E为CD的中点
∴DE=CE
∴DE=EG=CE
∴在Rt△AGE与Rt△ADE中
∴AE=AE，DE=EG
∴
同理
∴AD=AG，GF=CF=1
∵BF=4，CF=1
∴BC=BF+CF=5
∴AG=5
∴AF=AG+GF=6
故答案为：C。
【分析】利用矩形的性质，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好辅助线，再利用角平分线的性质，得到EG=CE，再利用证明直角三角形全等的判定HL，即可得到，，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根据BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先根据完全平方公式进行变形，计算，进而可得答案．
9．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G。∠C=∠EFB=90°，∠A=60°，∠E=45°，现将图中的△ABC绕点F按每秒9°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，当AC的对应边A'C'所在直线与DE垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，
BF与AH交点为K，
∴∠HKB=90°-∠EBF= 45°，
∵∠HKB=∠FKC，BC⊥A'H，
∴∠KFC’=45°，
∴∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，
∴旋转时间为
故答案为：A.
【分析】如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，BF与AH交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得出∠HKB=90°-∠EBF= 45°，进而得出∠KFC’=45°，进一步得出∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，再根据旋转速度为每秒9°，即可得出旋转时间。
10．如图，在△ABC中， AB=AC=12，∠C=75°， P、Q分别是线段AB上的两个动点，则BP+PQ的最小值为（　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'Q⊥AB于点Q，则PB=PB'，∠BDP=∠BDC=90°
∴BP+PQ=B'P+PQ=B'Q取得最小值
∵AB=AC=12，∠C=75°
∴∠ABC=∠C=75°，∠CBD=180°-∠BDC-∠C=15°
∴∠A=180°-2∠C=30°
∴AP=2PQ
设AQ=x，则
∵
∴
∴
∵∠APQ=∠B'PC，∠AQP=∠B'DP=90°
∴∠B'=∠A=30°
∴∠PBB'=∠B=30°
∴∠ABP=∠ABC-∠B'BP-∠CBD=30°，BB'=2BQ
∴∠ABP=∠A=30°
∴AP=BP
∵
∴
∴
解得：
∴
∴B'Q=PQ+B'P=18，即BP+PQ的最小值为18
故答案为：D
【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'Q⊥AB于点Q，则PB=PB'，∠BDP=∠BDC=90°，则BP+PQ=B'P+PQ=B'Q取得最小值，根据等边对等角可得∠ABC=∠C=75°，根据三角形内角和定理可得∠CBD，∠A，根据含30°角的直角三角形性质可得AP=2PQ，设AQ=x，则，根据勾股定理可得AQ，解直角三角形可得PQ，根据角之间的关系可得∠ABP=∠A=30°，再根据等角对等边可得AP=BP，根据勾股定理可得B'Q，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
阅卷人 二、填空题（每小题3分，请将正确答案填写在对应横线上.）
得分
11．当　 　时（填写一个满足题意的数即可），分式有意义．
【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
∴，
∴当时，分式有意义，故时，分式有意义.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，结合题目得，解出，即当时，分式有意义，即可得答案.
12．山西省榆次区的怀仁村因酿醋而闻名，享有“山西酿醋第一村”的美誉．某专卖店从怀仁村采购五斤装度和度的陈醋共壶，其零售价如图所示，若能全部售出；且总销售收入不低于元，则最多可购入五斤装度的陈醋　 　壶．
【答案】1200
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购入五斤装6.7度的陈醋x壶，则购入五斤装7.0度的陈醋壶
依题意得：27x+34(2000-x)≥59600
解得：x≤1200，
∵x为整数
∴x的最大值为1200
故答案为：1200
【分析】设购入五斤装6.7度的陈醋x壶，则购入五斤装7.0度的陈醋壶，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
13． 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的. 随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，连接OC. 若，则CD的长是　 　.
【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，
∴点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OD＝OC，∠DOC360°＝60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD＝OC＝1，
故答案为：1
【分析】先根据正多边形的性质结合题意得到点O是正六边形ABCDEF的中心，则OD＝OC，∠DOC360°＝60°，再根据等边三角形的判定与性质即可求解。
14．回文美在美文回 汉文之优美，历数不尽.如具有对称性的“回文”诗句、对联，百般精彩.例如：
客上天然居，居然天上客.
人过大佛寺，寺佛大过人.
游人赏读，更添雅兴.
整数中有此“对称”特点的，也称“回文数”，如99，818，2002，….请写出五位数中含有约数3 和11的最小回文数：　 　.(小知识：11的倍数的特征是奇数位的数字之和与偶数位的数字之和相等或相差11的倍数.)
【答案】13431
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
根据回文数的特点，设这五位数为10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c，
因为这个数含有约数3，则a+b+c+b+a=2a+2b+c是3的倍数
因为10001a+1010b+100c=11(909a+92b+9c)+2a-2b+c，
这个数含有约数11， 则 2a-2b+c能整除11，
设2a-2b+c=11k，
则2a+c=2b+11k(0≤k≤2），
∴2a+2b+c=4b+11k=3(b+3k)+b+2k，
∴b+2k能被3整除，
当k=0时，b=3最小，这时a最小为1，c为5；
当k=1时，b=1最小，这时a最小为2，c为8；
当k=2时，b=2最小，这时a最小为8，c为8；
所以4B是3的倍数，
故最小回文数为13431，
故答案为：13431.
【分析】先设五位数为10000a+1000b+100c+10b+a，根据题意可得2a+2b+c是3的倍数，2a-2b+c能整除11，设2a-2b+c=11k，可得0≤k≤2，根据k的取值得到整数a和b的最小值解答即可.
15．如图△ABC中， ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N
∵∠CAB=45°，∠AMC=90°
∴∠CAB=∠ACM=45°
∵
∴AM=CM=1
由题意可得，BC=BD，∠CBD=90°
∴∠CBM+∠DBN=90°
∵∠CBM+∠BCM=90°
∴∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN
在△BCM和△DBN中
∴△BCM≌△DBN(ASA)
∴BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4
∴
故答案为：
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，根据等腰直角三角形性质可得AM=CM=1，根据角之间的关系可得∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△DBN(ASA)，则BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4，再根据勾股定理即可求出答案.
阅卷人 三、解答题（一）（每小题7分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
16．解不等式组： 并写出所有整数解.
解：解不等式①得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为 ▲ ，
所以，原不等式组的整数解为 ▲ .
【答案】解：解不等式①得x≥1，
解不等式②得x<3，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为1≤x<3，
所以，原不等式组的整数解为1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题的解题思路是：先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再通过数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有整数解。核心是掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法。
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为．
（1）点的坐标为________，请画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．
【答案】（1），
（2）解：所作如图所示：
（3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据对称性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
18．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度数．
【答案】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF=6，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50°，
在Rt△BDC中，BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，
则BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°+50°=140°．
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据点E、F分别是边AB、AD的中点，即可联想到三角形的中位线，所以辅助线就出来了，连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可得到EF∥BD，BD=2EF=12，利用平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得到∠ADB=∠AFE=50°，再利用勾股定理的逆定理得到BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，所以BD2+CD2=BC2，即可得到∠BDC=90°，所以∠ADC=90°+50°=140°。即可得到答案。
阅卷人 四、解答题（二）（每小题9分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
19．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少 100元，且 4000元购进甲种茶叶的重量与 5000元购进乙种茶叶的重量相同.
（1）求甲、乙两种茶叶的进价；
（2）某商店计划购进两种茶叶共 30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的求商店至少购进甲种茶叶多少千克
【答案】（1）解：设甲种茶叶的进价为x元，乙种茶叶的进价为(x+100)元，
由题意得：
解得x=400，
经检验，x=400是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+100=400+100=500，
答：每千克甲种茶叶的进价为400元，每千克乙种茶叶的进价为500元
（2）解：设购进甲种茶叶m千克，则购进乙种茶叶(30-m)千克，
由题意得：
解得m≥12，
答：商店至少购进甲种茶叶12千克
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲种茶叶每千克的进价为x元，根据甲、乙两种茶叶进价的关系表示出乙种茶叶的进价，再根据“4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同”这一条件列出分式方程求解；
(2)设购进甲种茶叶m千克，根据两种茶叶的总重量表示出乙种茶叶的重量，再根据甲种茶叶重量与乙种茶叶重量的关系列出不等式求出m的取值范围，进而得到m的最小值.
20．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识.整理如下：对于正数a、b，有≥0，所以即（当且仅当a=b时取到等号）.特别地，2（当且仅当a=1时取到等号）.因此，当a>0时，有最小值2，此时a=1.
（1）【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他.
函数的最小值是　 　；
（2）对于函数当x=　 　时，y有最大值，最大值为　 　；
（3）【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时x的值.
【答案】（1）4
（2）3；-4
（3）解：∵，
∴，
当时，函数取得最小值，最小值为，
解得（舍去）或，
∴当时，函数取得最小值，最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴
∴函数的最小值是4；
故答案为：4；
（2）解：同（1）得，
∴当时，取得最小值6，
解得或（舍去），
∴当时，函数取得最大值，最大值为；
故答案为：3；-4；
【分析】（1）利用“基本不等式”计算即可；
（2）利用“基本不等式”计算即可；
（3）把原式化为，根据“基本不等式”的方法解答即可．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
（1）当t=4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形 说明理由；
（2）当PQ=17时，求t的值.
【答案】（1）解：四边形PQCD为平行四边形，理由是：
根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-2t.
当t=4.8时，PD=24-2×4.8=14.4，CQ=3t=3×4.8=14.4，
∴PD=CQ，
∵AD||BC，
即PQ||CD，
∴四边形PQCD为平行四边形
（2）有两种情况：
①如图1，过A作AE||PQ，交BC于E，
∵AP||EQ，
∴四边形AEQP是平行四边形，
∴AP=EQ=2t，
∴BE=26-5t，
Rt△ABE中，.
∴BE=15，
即26-5t=15，
解得：
②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E，
同理得AE=15，即
∵P运动的总时间为24÷2=12，Q运动的总时间为：
综上，当PQ=17时，t的值为秒或秒.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；平行四边形的判定；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】(2)当时，分两种位置讨论.
第一种位置：过A作交BC于E，
则四边形APQE是平行四边形，
所以.
又，，
所以.
在Rt△ABE中，，，
所以.
于是，
解得.
第二种位置：过B作交AD于E，
同理可得.
此时，，
所以，
因此，解得.
又P到达D需要秒，Q到达B需要秒，
运动时间，且，
所以两个值都符合题意.
故答案为：秒或秒.
【分析】(1)根据路程=速度×时间表示AP、CQ，再求PD.当且时，可判定四边形PQCD是平行四边形.
(2)时，线段PQ可能在四边形内出现两种位置，需要分类讨论：第一种位置：过A作交BC于E；第二种位置：过B作交AD于E，.分别构造直角三角形，用勾股定理求出水平距离15，再根据距离与时间的关系建立关于t的方程求解，并记得检验时间范围.
阅卷人 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
22．在中，点为上一点，用下列方法作射线：
如图1，①以点为圆心，适当长度为半径画弧，交线段和线段于，两点；
②以点为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心，线段长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点；
④作射线．
（1）与的位置关系为___________；
（2）如图2，在射线上找一点，使，连接，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，如图3，交于点，交的中点于点，．若，，求的值．
【答案】（1）
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：如图，过点作，垂足为，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵平分
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据尺规作图的步骤可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据尺规作图的步骤可知，，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点作，垂足为，连接，根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，，，再根据角之间的关系可得∠BDQ，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠DAG，再根据直线平行性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠DGA，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得AB=3AD，再根据等边三角形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：根据尺规作图的步骤可知，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：如图，过点作，垂足为，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵平分
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
23．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______
【探究发现】
（1）填写表中空格：
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有　 　．（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形．
（3）【拓展应用】
如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
（4）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数．
【答案】（1）；；
（2）①③
（3）解：由题意，得，
其正整数解为或．
（4）解：∵正五边形的内角为，
∴，．
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】（1）解：正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
故答案为：；；．
（2）解：由（1）可求，
正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）根据正多边形内角和即可求出答案.
（2）根据正多边形的每一个内角度数的整数倍是，逐项进行判断即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，根据x，y为正整数解方程即可求出答案.
（4）根据正多边形内角和求出正五边形的每个内角，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
故答案为：；；．
（2）解：由（1）可求，
正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：①③．
（3）解：由题意，得，
其正整数解为或．
（4）解：∵正五边形的内角为，
∴，．
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广东省揭阳市普宁市 2025 — 2026学年度下学期 八年级数学 期末模拟卷
北京师范大学出版社—八年级下册
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
注意事项：
1. 全卷共23道题，考试用时120分钟，满分120分.
2. 请用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案.
3. 不准使用涂改液.
4. 不按以上要求作答的答案无效.
阅卷人 一、单选题（每小题3分，请将正确选项填写在对应括号内.）
得分
1．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
3．下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．以上都不是
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠C=30°，∠CAE=20°，则∠DAC的度数为（　　)
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为，
③当时，；
④方程的解为；
⑤不等式的解集是．
其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，则AF的长为（　　）
A．5 B． C．6 D．
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
9．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G。∠C=∠EFB=90°，∠A=60°，∠E=45°，现将图中的△ABC绕点F按每秒9°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，当AC的对应边A'C'所在直线与DE垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
10．如图，在△ABC中， AB=AC=12，∠C=75°， P、Q分别是线段AB上的两个动点，则BP+PQ的最小值为（　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
阅卷人 二、填空题（每小题3分，请将正确答案填写在对应横线上.）
得分
11．当　 　时（填写一个满足题意的数即可），分式有意义．
12．山西省榆次区的怀仁村因酿醋而闻名，享有“山西酿醋第一村”的美誉．某专卖店从怀仁村采购五斤装度和度的陈醋共壶，其零售价如图所示，若能全部售出；且总销售收入不低于元，则最多可购入五斤装度的陈醋　 　壶．
13． 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的. 随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，连接OC. 若，则CD的长是　 　.
14．回文美在美文回 汉文之优美，历数不尽.如具有对称性的“回文”诗句、对联，百般精彩.例如：
客上天然居，居然天上客.
人过大佛寺，寺佛大过人.
游人赏读，更添雅兴.
整数中有此“对称”特点的，也称“回文数”，如99，818，2002，….请写出五位数中含有约数3 和11的最小回文数：　 　.(小知识：11的倍数的特征是奇数位的数字之和与偶数位的数字之和相等或相差11的倍数.)
15．如图△ABC中， ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=　 　.
阅卷人 三、解答题（一）（每小题7分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
16．解不等式组： 并写出所有整数解.
解：解不等式①得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为 ▲ ，
所以，原不等式组的整数解为 ▲ .
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为．
（1）点的坐标为________，请画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．
18．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度数．
阅卷人 四、解答题（二）（每小题9分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
19．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少 100元，且 4000元购进甲种茶叶的重量与 5000元购进乙种茶叶的重量相同.
（1）求甲、乙两种茶叶的进价；
（2）某商店计划购进两种茶叶共 30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的求商店至少购进甲种茶叶多少千克
20．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识.整理如下：对于正数a、b，有≥0，所以即（当且仅当a=b时取到等号）.特别地，2（当且仅当a=1时取到等号）.因此，当a>0时，有最小值2，此时a=1.
（1）【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他.
函数的最小值是　 　；
（2）对于函数当x=　 　时，y有最大值，最大值为　 　；
（3）【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时x的值.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
（1）当t=4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形 说明理由；
（2）当PQ=17时，求t的值.
阅卷人 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，请将正确答案写在每题下方位置.）
得分
22．在中，点为上一点，用下列方法作射线：
如图1，①以点为圆心，适当长度为半径画弧，交线段和线段于，两点；
②以点为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心，线段长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点；
④作射线．
（1）与的位置关系为___________；
（2）如图2，在射线上找一点，使，连接，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，如图3，交于点，交的中点于点，．若，，求的值．
23．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______
【探究发现】
（1）填写表中空格：
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有　 　．（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形．
（3）【拓展应用】
如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
（4）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
2．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
3．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式，
则不等式有①，②；⑤，一共有3个，
故选：B．
【分析】利用一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式）逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上，
∴O为三条角平分线的交点．
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，∠C=30°，∠CAE=20°
∴∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，∠C=∠E=30°
∴∠B=∠ADE=80°
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠E=70°
∵∠CAE=20°
∴∠DAC=50°
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，∠C=∠E=30°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠ADE=80°，再根据三角形内角和定理可得∠DAE，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：①根据函数图象可知，在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①错误；
②根据函数图象可知，一次函数与的交点坐标为，
∴方程组的解为，故②正确；
③根据函数图象可知，一次函数与轴的交点为，
∴当时，，故③错误；
④根据函数图象可知，一次函数与轴的交点为，
∴方程的解为，故④正确；
⑤根据函数图象可知，一次函数图象在的图象下方的时，有，故⑤正确；
综上所述，结论正确的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象及性质判断①错误；根据一次函数与二元一次方程的关系，结合两函数的交点坐标判断②正确；根据一次函数与轴的交点判断③错误；根据一次函数与轴的交点判断④正确；根据一次函数与不等式的关系，结合函数图象判断⑤正确.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AF与点G，连接EF
∵ 四边形ABCD为矩形
∴∠D=90°，BC=AD
∴AD⊥CD
∵ AE平分∠DAF，AF⊥GE
∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°
∵点E为CD的中点
∴DE=CE
∴DE=EG=CE
∴在Rt△AGE与Rt△ADE中
∴AE=AE，DE=EG
∴
同理
∴AD=AG，GF=CF=1
∵BF=4，CF=1
∴BC=BF+CF=5
∴AG=5
∴AF=AG+GF=6
故答案为：C。
【分析】利用矩形的性质，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好辅助线，再利用角平分线的性质，得到EG=CE，再利用证明直角三角形全等的判定HL，即可得到，，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根据BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。
8．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先根据完全平方公式进行变形，计算，进而可得答案．
9．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，
BF与AH交点为K，
∴∠HKB=90°-∠EBF= 45°，
∵∠HKB=∠FKC，BC⊥A'H，
∴∠KFC’=45°，
∴∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，
∴旋转时间为
故答案为：A.
【分析】如图，当A'C’⊥DE时，设DE与A'C’交点为H，BF与AH交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得出∠HKB=90°-∠EBF= 45°，进而得出∠KFC’=45°，进一步得出∠CFC’=180°-∠KFC’=135°，再根据旋转速度为每秒9°，即可得出旋转时间。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'Q⊥AB于点Q，则PB=PB'，∠BDP=∠BDC=90°
∴BP+PQ=B'P+PQ=B'Q取得最小值
∵AB=AC=12，∠C=75°
∴∠ABC=∠C=75°，∠CBD=180°-∠BDC-∠C=15°
∴∠A=180°-2∠C=30°
∴AP=2PQ
设AQ=x，则
∵
∴
∴
∵∠APQ=∠B'PC，∠AQP=∠B'DP=90°
∴∠B'=∠A=30°
∴∠PBB'=∠B=30°
∴∠ABP=∠ABC-∠B'BP-∠CBD=30°，BB'=2BQ
∴∠ABP=∠A=30°
∴AP=BP
∵
∴
∴
解得：
∴
∴B'Q=PQ+B'P=18，即BP+PQ的最小值为18
故答案为：D
【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'Q⊥AB于点Q，则PB=PB'，∠BDP=∠BDC=90°，则BP+PQ=B'P+PQ=B'Q取得最小值，根据等边对等角可得∠ABC=∠C=75°，根据三角形内角和定理可得∠CBD，∠A，根据含30°角的直角三角形性质可得AP=2PQ，设AQ=x，则，根据勾股定理可得AQ，解直角三角形可得PQ，根据角之间的关系可得∠ABP=∠A=30°，再根据等角对等边可得AP=BP，根据勾股定理可得B'Q，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则，
∴，
∴当时，分式有意义，故时，分式有意义.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，结合题目得，解出，即当时，分式有意义，即可得答案.
12．【答案】1200
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购入五斤装6.7度的陈醋x壶，则购入五斤装7.0度的陈醋壶
依题意得：27x+34(2000-x)≥59600
解得：x≤1200，
∵x为整数
∴x的最大值为1200
故答案为：1200
【分析】设购入五斤装6.7度的陈醋x壶，则购入五斤装7.0度的陈醋壶，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，
∴点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OD＝OC，∠DOC360°＝60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD＝OC＝1，
故答案为：1
【分析】先根据正多边形的性质结合题意得到点O是正六边形ABCDEF的中心，则OD＝OC，∠DOC360°＝60°，再根据等边三角形的判定与性质即可求解。
14．【答案】13431
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
根据回文数的特点，设这五位数为10000a+1000b+100c+10b+a=10001a+1010b+100c，
因为这个数含有约数3，则a+b+c+b+a=2a+2b+c是3的倍数
因为10001a+1010b+100c=11(909a+92b+9c)+2a-2b+c，
这个数含有约数11， 则 2a-2b+c能整除11，
设2a-2b+c=11k，
则2a+c=2b+11k(0≤k≤2），
∴2a+2b+c=4b+11k=3(b+3k)+b+2k，
∴b+2k能被3整除，
当k=0时，b=3最小，这时a最小为1，c为5；
当k=1时，b=1最小，这时a最小为2，c为8；
当k=2时，b=2最小，这时a最小为8，c为8；
所以4B是3的倍数，
故最小回文数为13431，
故答案为：13431.
【分析】先设五位数为10000a+1000b+100c+10b+a，根据题意可得2a+2b+c是3的倍数，2a-2b+c能整除11，设2a-2b+c=11k，可得0≤k≤2，根据k的取值得到整数a和b的最小值解答即可.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N
∵∠CAB=45°，∠AMC=90°
∴∠CAB=∠ACM=45°
∵
∴AM=CM=1
由题意可得，BC=BD，∠CBD=90°
∴∠CBM+∠DBN=90°
∵∠CBM+∠BCM=90°
∴∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN
在△BCM和△DBN中
∴△BCM≌△DBN(ASA)
∴BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4
∴
故答案为：
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，根据等腰直角三角形性质可得AM=CM=1，根据角之间的关系可得∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△DBN(ASA)，则BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】解：解不等式①得x≥1，
解不等式②得x<3，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为1≤x<3，
所以，原不等式组的整数解为1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题的解题思路是：先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再通过数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有整数解。核心是掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法。
17．【答案】（1），
（2）解：所作如图所示：
（3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据对称性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
18．【答案】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF=6，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50°，
在Rt△BDC中，BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，
则BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°+50°=140°．
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据点E、F分别是边AB、AD的中点，即可联想到三角形的中位线，所以辅助线就出来了，连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可得到EF∥BD，BD=2EF=12，利用平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得到∠ADB=∠AFE=50°，再利用勾股定理的逆定理得到BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，所以BD2+CD2=BC2，即可得到∠BDC=90°，所以∠ADC=90°+50°=140°。即可得到答案。
19．【答案】（1）解：设甲种茶叶的进价为x元，乙种茶叶的进价为(x+100)元，
由题意得：
解得x=400，
经检验，x=400是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+100=400+100=500，
答：每千克甲种茶叶的进价为400元，每千克乙种茶叶的进价为500元
（2）解：设购进甲种茶叶m千克，则购进乙种茶叶(30-m)千克，
由题意得：
解得m≥12，
答：商店至少购进甲种茶叶12千克
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲种茶叶每千克的进价为x元，根据甲、乙两种茶叶进价的关系表示出乙种茶叶的进价，再根据“4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同”这一条件列出分式方程求解；
(2)设购进甲种茶叶m千克，根据两种茶叶的总重量表示出乙种茶叶的重量，再根据甲种茶叶重量与乙种茶叶重量的关系列出不等式求出m的取值范围，进而得到m的最小值.
20．【答案】（1）4
（2）3；-4
（3）解：∵，
∴，
当时，函数取得最小值，最小值为，
解得（舍去）或，
∴当时，函数取得最小值，最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴
∴函数的最小值是4；
故答案为：4；
（2）解：同（1）得，
∴当时，取得最小值6，
解得或（舍去），
∴当时，函数取得最大值，最大值为；
故答案为：3；-4；
【分析】（1）利用“基本不等式”计算即可；
（2）利用“基本不等式”计算即可；
（3）把原式化为，根据“基本不等式”的方法解答即可．
21．【答案】（1）解：四边形PQCD为平行四边形，理由是：
根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-2t.
当t=4.8时，PD=24-2×4.8=14.4，CQ=3t=3×4.8=14.4，
∴PD=CQ，
∵AD||BC，
即PQ||CD，
∴四边形PQCD为平行四边形
（2）有两种情况：
①如图1，过A作AE||PQ，交BC于E，
∵AP||EQ，
∴四边形AEQP是平行四边形，
∴AP=EQ=2t，
∴BE=26-5t，
Rt△ABE中，.
∴BE=15，
即26-5t=15，
解得：
②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E，
同理得AE=15，即
∵P运动的总时间为24÷2=12，Q运动的总时间为：
综上，当PQ=17时，t的值为秒或秒.
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；平行四边形的判定；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】(2)当时，分两种位置讨论.
第一种位置：过A作交BC于E，
则四边形APQE是平行四边形，
所以.
又，，
所以.
在Rt△ABE中，，，
所以.
于是，
解得.
第二种位置：过B作交AD于E，
同理可得.
此时，，
所以，
因此，解得.
又P到达D需要秒，Q到达B需要秒，
运动时间，且，
所以两个值都符合题意.
故答案为：秒或秒.
【分析】(1)根据路程=速度×时间表示AP、CQ，再求PD.当且时，可判定四边形PQCD是平行四边形.
(2)时，线段PQ可能在四边形内出现两种位置，需要分类讨论：第一种位置：过A作交BC于E；第二种位置：过B作交AD于E，.分别构造直角三角形，用勾股定理求出水平距离15，再根据距离与时间的关系建立关于t的方程求解，并记得检验时间范围.
22．【答案】（1）
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：如图，过点作，垂足为，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵平分
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据尺规作图的步骤可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据尺规作图的步骤可知，，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点作，垂足为，连接，根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，，，再根据角之间的关系可得∠BDQ，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠DAG，再根据直线平行性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠DGA，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得AB=3AD，再根据等边三角形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）解：根据尺规作图的步骤可知，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：如图，过点作，垂足为，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵平分
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
23．【答案】（1）；；
（2）①③
（3）解：由题意，得，
其正整数解为或．
（4）解：∵正五边形的内角为，
∴，．
【知识点】二元一次方程的解；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】（1）解：正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
故答案为：；；．
（2）解：由（1）可求，
正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：①③．
【分析】（1）根据正多边形内角和即可求出答案.
（2）根据正多边形的每一个内角度数的整数倍是，逐项进行判断即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，根据x，y为正整数解方程即可求出答案.
（4）根据正多边形内角和求出正五边形的每个内角，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
故答案为：；；．
（2）解：由（1）可求，
正三角形每个内角的度数为，
正五边形每个内角的度数为，
正六边形每个内角的度数为，
正七边形每个内角的度数为，
正八边形每个内角的度数为，
∵，，，
∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③，
故答案为：①③．
（3）解：由题意，得，
其正整数解为或．
（4）解：∵正五边形的内角为，
∴，．
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